Диссертация (1102910), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Явно производя дифференцирование получим в результате следующую сумму:∂V(×) = 0.∂σ (117)σ=0∂ V(×) 2∂σ 24 ∂ Υ=2π ∂σ 2σ=04(−1) cos(2πnφ)− p.=2222π m=1 n=1β m +L n+∞ X+∞Xσ=0m(118)Об этой функции можно сказать, что как полилогарифм являетсяобобщением ζ-функции Римана, так же данная функция оказываетсяобобщением Z-функции Эпштейна.2.3Фазовые диаграммы системыИсследуем теперь вопрос о нарушении симметрии в системе с учётомвсех входящих в неё параметров (β, L и φ).∂Veff ∂σ = 0;σ=056∂ Veff 2∂σ 21 1 2 ln(2) ln(2 − 2 cos(2πφ)) 4 ∂ Υ= − +++2G GcπβπLπ ∂σ 2σ=0. (119)σ=0Характерным масштабом для β и L является критическая температура βc .

В дальнейшем, при построении графиков, если не указано11= 1, т.е. симметрия при β → ∞, L →Gc G∞ нарушена. Соответственно βc = 2 ln(2)/π.иное, будем считать, что−На рисунке 6 приведены фазовые диаграммы в плоскости (L, β)(закрашенная область — область симетричной фазы):Рис. 6: Фазовые диаграммы модели в плоскости (L, β) при различных значениях топологической фазыКак видно из графиков, при достаточно малой топологической57фазе, компактификация пространственного измерения способствуетнарушению симметрии, в то же время при φ = 0.5 картина оказывается симметричной по β и L, чего и следовало ожидать из формулы(72), в которую при такой топологической фазе температура и параметр компактификации входят симметрично.Рис.

7 демонстрирует фазовые диаграммы системы в плоскости(φ, β), при различных L, и более наглядно подтверждают сказанное ранее про существование критического значения топологическойфазы (зависящего, вообще говоря, от температуры и параметра компактификации), при котором компактификация пространственногоизмерения начинает способствовать восстановлению симметрии.2.4Оценка характерных значений физических величин, фигурирующих в рассмотренииОценим характерную величину магнитного поля, при котором возникают указанные в предыдущих частях эффекты.Для этого выпишем, чему равен нормированный магнитный поток:eA2 L.(120)2πТеперь перейдём от вектор-потенциала к среднему магнитномуφ=полю LA2 = 2πRA2 = πR2 H, где R — радиус цилиндра, H — средняя по сечению цилиндра напряжённость магнитного поля. Тогдавыражение для φ принимает вид:eR2 Hφ=2π.(121)58Рис.

7: Фазовые диаграммы модели в плоскости (φ, β) при различных значениях параметра компактификацииСоответственно2πφH=eR2= 2πφ m1eR2 m22.(122)Здесь мы домножили и разделили на массу электрона m. Посколькумы работаем в системе единиц ~ = c = 1, то комптоновская длинаволны электрона:hλ=mc2π~=mc2π=m.(123)59Выражая m через λ получаем выражение для магнитного поля:  2 2λφλ .==H0H=eR2 2πeR H0 =m2 /e 2πR2πφφm2(124)Здесь за H0 обозначено критическое магнитное поле, фигурирующеев лагранжиане Гейзенберга-Эйлера.В качестве оценки радиуса цилиндра используем величину R ∼10Å, что является вполне реалистичной величиной для углеродныхнанотрубок (реально синтезированы трубки с диаметром от 10 до1000 Å).Подставляя комптоновскую длину волны электрона, λ = 0.0242Å,получаем:HH0≈ 9.3 × 10−7 φ.(125)Рассмотренные в работе эффекты возникают при φ ∼ 10−1 , используя это значение и учитывая величину критического магнитногополя H0 ≈ 4.41 × 1013 Гс, получаем для величины магнитного поля:Htypical ∼ 4.1 × 106 Гс ∼ 410 Тл.(126)Рекордное полученное на данный момент постоянное магнитное поле равняется приблизительно 91.4 Тл, что, с одной стороны, говорито том, что эффект лежит вне области доступной на данный моментдля экспериментального исследования, с другой, позволяет надеяться, что при увеличении полей на один порядок эффекты станут доступны для экспериментального наблюдения.60С другой стороны, можно бы было использовать трубки большего диаметра (для трубок радиусом 100Å характерное магнитноеполе, при котором φ пробегает весь интересный диапазон значенийоказывается порядка 100 Тл, что лежит в приделах экспериментальных возможностей), однако реальные трубки большего диаметра какправило многослойны.Теперь найдём оценку для критической длины компактифицированного пространственного измерения.

Для этого переведём величину размерности расстояния и температуру в энергетические единицы(без численных коэффициентов):E(L) ∼~cL,(127)kE(T ) ∼ kT ∼ .βЗдесь k — постоянная Больцмана. Приравнивая энергетическиемасштабы получаем:~cLcLc ∼~c∼ kTc ,∼ 2.3 × 10−3 м · К ×1∼ 10−2.6 м · К ×1.kTcTcTcСчитая, что, при отсутствии компактификации, восстановлениесимметрии возникает при температурах порядка комнатной Tc ∼300K ∼ 102.5 K, для критической длины компактифицированного измерения получаем:Lc ∼ 10−5 м ∼ 105 Å.(128)61Таким образом использовавшиеся прежде для оценки величинымагнитного поля толщины трубок ∼ 10Å оказываются существенноменьше критических L ∼ 10−4 Lc .Всюду выше мы работали с космологическими значениями ~и c, следует, однако, учесть, что при вычислениях связанных с графеном, роль скорости света играет скорость Ферми для графена.Экспериментально установлено, что vF ∼ 106 м/c [18], учтя это можно получить соответственно:H|φ=0.5 vF∼ 5 × 410 Тл ×   ∼ 7 Тл = 7 × 104 Гс,c(129) vFLc ∼ 105 Å ×   ∼ 300Å,cRc =Lc2π∼ 50Å.(130)Таким образом, критическое значение магнитного поля оказываетсяэкспериментально достижимым, а критический радиус компактифицированного измерения становится величиной того же порядка, чтои радиус реально синтезированных углеродных нанотрубок.2.5Поведение модели при отсутствии магнитногополяИз предыдущей части рассмотрения можно видеть, что особый интерес представляет случай φ = 0, соответствующий отсутствию маг-62нитного поля (фактически характерные значения магнитного поля оказались достижимы, но достаточно велики).

Однако, как было показано в предыдущих разделах, при строго периодических покомпактифицированному пространственному измерению граничныхусловиях (при φ = 0) взятые отдельно вторые производные чистокомпактификационной и перекрёстной частей содержат логарифмические расходимости, поэтому в этой части рассмотрения сконцентрируемся на этом случае и исследуем поведение системы.Не будем разделять, как это делалось прежде, компактификационную и перекрёстную части.

Для этого вернёмся к общему видуэффективного потенциала и не станем подвергать пересуммированию Пуассона (78) температурную часть:σ2Veff1 R∞ ds 2=+exp(−sσ)×2G 2π 0 s222 2+∞Ln2πPP 1 +∞ .×exp −exp −s   (m + 1/2)2  × 1 + 2β m=−∞β4sn=1(131)Чисто температурная, равно как и плоская, часть нас сейчас интересовать не будут (результаты для них можно взять из соответствующих частей данной работы), выпишем компактификационную63часть с учётом температуры:V(A+×)22 R∞ ds +∞L2 n2 P +∞P  2π 22=exp −s (m + 1/2) + σ  −=πβ 0 s2 m=0 n=1β4s22 22 R∞ +∞LnP +∞P 1  2πdsexp −   (m + 1/2)2 + σ 2  − s=.πβ 0sβ4m=0 n=1(132)Здесь мы перешли к переменной интегрирования s = 1/s. Интегралпо s берётся в спецфункциях ([81], ф.

2.3.16.1, при α = 1):vuZ∞uqt√exp(−px − q/x) = 2K1 (2 pq).p(133)0Таким образом,V(A+×)q2228 (2π/β) (m + 1/2) + σ =×πβ m=0 n=1Ln+∞ X+∞X q2× K1 Ln (2π/β) (m + 1/2)2 + σ 2 .(134)Сумма ряда не является элементарной функцией (в широком смысле этих слов), однако, с учётом асимптотики функции Макдональe−xpда при больших аргументах Kν (x) ∝π/2 √ 1 + O(x−1 ) , схоx→∞xдимость ряда не вызывает сомнений.Чтобы продвинуться дальше, продифференцируем полученнуючасть эффективного потенциала по σ, и выпишем значения производных при σ = 0:64∂V(A+×) ∂σ = 0,σ=0∂ V(A+×) ∂σ 2 2σ=0(135)2πLn(m + 1/2)K  1β+∞+∞8 XX 1 =−πβ m=0 n=1 Ln 2π(m + 1/2)/βLn2πLn(m + 1/2)2πLn(m + 1/2)K 0  + K2  =−2ββ8=+∞ X+∞ XK1 [2π(L/β)n(m − 1/2)]πβ m=1 n=1 2π(L/β)n(m − 1/2)1− K0 [2π(L/β)n(m − 1/2)] −21− K2 [2π(L/β)n(m − 1/2)] .2(136)Выражение под знаком суммирования очевидно ведёт себя как e−O(mn) ,при m → ∞ и/или n → ∞, и его сходимость очевидна (причём выражение на самом деле сходится очень быстро, и для качественногопостроения графика оказывается достаточно учитывать лишь одинведущий член в двойной сумме, при m = n = 1, однако при построении графиков желательно не ограничиваться подобной низкойточностью).

Таким образом показано, что возникавшие при φ = 0расходимости на самом деле фиктивны и являются исключительноследствием искусственного разделения эффективного потенциала насоставные части.65В заключение очередной части рассмотрения приведём фазовуюдиаграмму в плоскости (L, β) аналогичную тем что приводились ранее. Как видно из диаграммы, она действительно практически неотличается от аналогичной диаграммы для φ = 0.05 построенной вразделе 2.3, однако её построение требует вычисления эффективногопотенциала в виде 134.Рис.

8: Фазовая диаграмма модели в плоскости (L, β) при периодических граничных условиях2.6Итоги и выводыВ настоящем разделе было проведено исследование фазовой структуры модели Гросса–Невё на цилиндре с учетом эффекта Ааронова–Бома и конечной температуры, а также выведено общее выражение66для эффективного потенциала, которое также будет использоватьсяв дальнейших разделах.В подразделе 2.1 было получено общее выражение для эффективного потенциала теории и отмечены некоторые его характеристики,такие как периодичность по топологической фазе φ, обусловленнойпроходящим через сечение исследуемого цилиндра магнитным потоком, а также возможность обобщения результатов, полученных дляграничных условий «металлических» нанотрубок, на случай «полупроводниковых» нанотрубок путем замены значения топологическойфазы в эффективном потенциале, что в дальнейшем позволяет существенно упростить ряд вычислений.В подразделе 2.2 получено преобразованное выражение для эффективного потенциала, после чего в частях 2.2.1–2.2.3 повторены иподвержены сравнению с работами других авторов ранее известныерезультаты, соответствующие рассмотрению модели Гросса–Невё вплоском пространстве при нулевой температуре (часть 2.2.1), в плоском пространстве при конечной температуре (часть 2.2.2) и в пространстве с компактификацией при нулевой температуре (часть 2.2.3).В части 2.2.4 вычислен дополнительный вклад позволяющий одновременно учитывать влияние температуры и эффективного потенциала.

Характеристики

Список файлов диссертации