Диссертация (1102910), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Выпишем фермионныйлагранжиан, не акцентируя внимание на потенциальном члене и электромагнитном кинетическом члене (все компоненты электромагнит(0)ного вектор-потенциала кроме Ad считаем равными нулю):ZL=d+1dµxψ (iγ (∂µ − ieAµ )) ψ+... =Zdd+1 xψ (−γ µ (pµ − eAµ )) ψ+...(66)Либо, после перехода в импульсное представление (за L обозначена длина окружности компактифицированного измерения): Z dd p 1 X+∞eLAd2π−p̂ − γ d   n − ψ + ... (67)L=ψ(2π)d L n=−∞L2πОткуда видно, что наличие магнитного потока равнозначно введению нетривиального условия периодичности — топологической фазы:ψ(xd + L) = eiφ ψ(xd ), где φ =eLAd.(68)2πПодробно поведение такой модели без учёта температуры былорассмотрено в [77], а ещё раньше рассматривалось в [78].Стоит отметить, что рассмотрение модели Гросса–Невё также может приводить к топологически-нетривиальным решениям, рассмат-40ривавшимся например в [79], однако в настоящей работе подобныерешения рассматриваться не будут и влияние на топологию оказывает только магнитное поле и граничные условия, накладываемыепостроением углеродных нанотрубок, рассмотренные в разделах 1.5и 1.3 соответственно.412Модель Гросса–Невё на цилиндре с учетом конечной температуры2.1Общий вид эффективного потенциалаВновь выпишем лагранжиан:L = ψ (iγ µ Dµ − σ) ψ −Nσ2.2G(69)Теперь будем учитывать конечную температуру T = 1/β путем использования техники разложения по мацубаровским частотам p0,l =ωl = (2π/β) (l + 1/2) , (l = 0, ±1, ±2, .

. . ) и использовать обозначения pµ = (p0 , p1 , p2 ), L = 2πR (длина окружности компактифицироνванного измерения), p2,n = 2πL (n+φ− 3 ). Эффективный потенциалзаписывается в виде:σ2Veff =σ2=2G−i2G− i Tr Ln(iγ µ Dµ − σ) =Z dp 1 X+∞ 1 X+∞12π β m=−∞ L n=−∞trs Ln(−γ µ Pµ − σ),(70)где принято обозначение для обобщённого импульса Pµ = pµ − eAµ .Далее:trs Ln(−P̂ − σ) = ln det s (−P̂ − σ) = ln (σ 2 − P 2 )2 → 2 ln(σ 2 + PE2 ),(71)а значит:σ2Veff =2G−2+∞ 1 X+∞ XZ dp1 1 X 2 2π ln (m + 1/2)2 +2π β m=−∞ L n=−∞ s=±1β4222π sν22+n+φ−+ p1 + σ  .L32(72)Эта формула в дальнейшем будет различным образом преобразовываться для получения эффективного потенциала записанного втой или иной форме.

Однако уже в этой формуле можно отметитьнекоторые свойства, которыми обладает эффективный потенциал.Как можно видеть из (72) эффективный потенциал является четнойфункцией σ, чётен по φ (в чем можно убедиться произведя замену n → −n) и периодичен по φ с периодом равным 1 (посколькувозможно произвести замену n → n − 1 не меняя эффективногопотенциала). Кроме того в большей части настоящей работы будетрассматриваться случай ν = 0 поскольку результаты вычисленийтривиальным образом обобщаются на случай ν 6= 0 путем замены1hνν iVeff |ν6=0 =Veff |ν=0 φ → φ ++ Veff |ν=0 φ → φ −, (73)233в чем легко убедиться подставляя Veff из формулы (72).2.2Нарушение симметрии под влиянием эффекта Ааронова–БомаДля исследования свойств симметрии модели под воздействием эффекта Ааронова–Бома удобно записать эффективный потенциал всимметричном виде, что будет сделано в настоящем разделе. В дальнейших разделах оказывается удобнее использовать другую записьэффективного потенциала, не обладающую, однако, очевидной симметрией.

Воспользуемся формулой представления собственного вре-43мени:ln A = −Z∞ dssexp(−sA).(74)0Верную с точностью до несущественной аддитивной постоянной. Вприменении к логарифмам присутствующим в (72) применение данной формулы позволяет записать их в виде 2 22π sν 2 2π 2ln (m + 1/2) +n+φ−+ p21 + σ 2  =βL3  2 2∞Z ds2π  2π 2 (n − φ)2 + p21 + σ 2 exp −s (m + 1/2) +=− .sβL0(75)А выражение заключенное в (72) в фигурные скобки может бытьпереписано как ∞ZZ21 σds dp12=−− Veffexp(−sσ ) ×exp −sp21  × 2 2Gs2π0 2  2 +∞+∞2πn 2πφ   2πm π    1 X1 X  .exp −s+exp −s −××β m=−∞ββL n=−∞LL(76)Множитель, содержащий p1 , оказывается гауссовым интегралом:Z dp12πexp−sp211= √ .2 πs(77)Для преобразование сумм воспользуемся формулой (данная формула часто используется для выделения температурных, компакти-44фикационных и иных поправок, так, например, в [80] c её помощьювыделялись температурные поправки в SU (2)-КХД):2 2 2+∞+∞XX2πlBlB cos(BCl) .exp −s exp −+ C   = √ 1 + 2B4s2 πsl=−∞l=1(78)В температурном множителе B = β, C = π/β, а значит: 2 1 +∞P  2πm π  exp −s+=β m=−∞ββ22+∞β m1P cos(πm) =exp −= √ 1 + 24s2 πsm=122+∞1β mP .(−1)m exp −= √ 1 + 24s2 πsm=1(79)Во множителе связанном с компактификацией пространственного измерения и эффектом Ааронова–Бома B = L, C = −2πφ/L: 2 +∞1 X  2πn 2πφ exp −s−=L n=−∞LL(80)22+∞X1Ln cos(2πnφ) .= √1+2exp −4s2 πsn=1Окончательно для эффективного потенциала получаем выраже-45ние:σ2Veff =× 1 + 2+∞P2G1R∞ ds 2exp(−sσ)×4π 3/2 0 s5/2+2(−1)m exp −2β mm=14s × 1 + 2+∞Pn=1exp −2 2Ln4s cos(2πnφ) ,(81)которое для удобства разобьём на слагаемые (которые будем вдальнейшем именовать соответственно плоской, температурной, компактификационной и перекрёстной частями):Veff = V0 + V(T ) + V(A) + V(×) ,σ2V(0) =2G1+Z∞ ds4π 3/2s5/2exp(−sσ 2 ),(82)(83)0V(T )∞Z22+∞X1ds β m2m2− ,= 3/2exp(−sσ)×(−1)exp4s4πs5/2m=10(84)V(L)∞Z22+∞1ds Ln X2 − cos(2πnφ) ,= 3/2exp(−sσ)2exp4s4πs5/2n=10(85)4622+∞β mR∞ ds Pm2−2 ×(−1)expexp(−sσ)×4s4π 3/2 0 s5/2m=11V(×) =× 2+∞Pn=12 2exp −Ln4s cos(2πnφ) .(86)2.2.1Трёхмерная модель Гросса-Невё и её соответствиеклассическим результатамТрёхмерной модели Гросса-Невё без компактификации, температуры и эффекта Ааронова-Бома соответствуют слагаемые:σ2V(0) =2G1+Z∞ ds4π 3/2s5/2exp(−sσ 2 ).(87)0Выражение под интегралом является расходящимся.

Регуляризуем его, введя дополнительное слагаемое в показатель экспоненты:Z∞ dsZ∞ ds2α22exp(−sσ ) →exp −sσ − 2  ,(88)sΛs5/2s5/200где снятие регуляризации достигается при Λ → ∞, а числовой коэффициент α введён для удобства дальнейшего сравнения с работами,в которых используются различные типы регуляризации.Воспользуемся формулой ([81] c. 344, ф. 2.3.16.3):vu∞Zu π ∂n√−n−1/2 −px−q/xnt−2 pqe.xedx = (−1)p ∂q n0(89)47В нашем случае n = 2, а значит: √√ n∂2p q + p√√−2 pq−2 pq .e=en3/2∂q2q(90)Подставляя p = σ 2 , q = α2 /Λ2 и собирая малые по 1/Λ члены всимвол O, после упрощения получим:Z∞ ds π8α σ1α=−2α2 Λσ 2 + + O .−sσ 2 −expsΛ22α33Λs5/221/23 30(91)Восстанавливая множители и опуская малые по 1/Λ члены, дляпотенциала получим:σV(0) =33π22σ+1G−Λ2πα.(92)Данный результат не совпадает с приведённым в статье [85], аименно слагаемое с σ 3 имеет дополнительный множитель 2, что связано с использованием 4 × 4 представления гамма-матриц (см.

(61)).Исследуем теперь вопрос о нарушении симметрии:∂V(0) = 0,∂σ (93)σ=0∂ V(0) 2∂σ 21=G−1Gc.(94)σ=0При G > Gc в точке σ = 0 имеется локальный максимум — симметрия нарушена.48Критическая константа связи, при которой возникает нарушениекиральной симметрии, при такой регуляризации оказывается равна:2παGc =2.2.2Λ.(95)Вычисление вклада, связанного с температуройВычислим поправку связанную только с конечностью температуры.Для вычисления соответствующего вклада в эффективный потенциал предварительно возьмем интеграл:Z∞ ds22+∞Xβ mm2− =24π 3/2 V(T ) =(−1)expexp(−sσ)×4ss5/2m=10∞Z ds2 2β m .−sσ 2 −=2exp(−1)m 5/24ssm=1+∞X(96)0Подставляя в соответствии с этим p = σ 2 и q = (βm/2)2 в формулу (90) и интегрируя по s получаем: √Z∞ dsβ 2 m2π2σ 2 βm/2 + σ2=exp −sσ −exp(−σβm)=4sσ2β 3 m3 /8s5/20√4 πβ3σβm + 1exp(−σβm)m3.(97)Таким образом результат интегрирования записывается в виде49суммы ряда+∞P4π 3/2 V(T ) = 2(−1)m m=1R∞0dss2exp −sσ 2 −5/22β m4s = √4 πσβm + 1==2(−1)m  3 exp(−σβm)3βmm=1+∞P=8π 1/2 +∞Pβ3m=1(−1)m exp(−σβm)σβm + 1m3(98)которую можно также переписать в специальных функциях:4π3/2V(T )8π 1/2 −σβ−σβ−e=−e+LiσβLi=32β3=−8π(99)1/2β3[σβ F1 (−σβ) + F2 (−σβ)] ,где Li и F соответственно полилогарифмы (в данном случае ди- итрилогарифмы) и интегралы Ферми-Дирака.Восстанавливая ранее опущенные множители, окончательно получим:2 V(T ) = 3 σβ Li2 −e−σβ + Li3 −e−σβ .πβС учетом вклада не зависящего от внешних параметров:1 112πα1,V(0) = σ 3 −  −  σ 2 ,Gc =3π2 Gc GΛ(100)(101)50а также вклада V(T ) в производные:∂V(T ) ∂σ ∂ V(T ) ∂σ 2 = 0,(102)σ=02=+2 ln(2).πβ(103)σ=0Вторая производная с учетом вклада зависящего исключительно оттемпературы запишется как:∂ (V(0) + V(T ) )∂σ 22При β <2 ln 21π ( G1c − G)1=G−1Gc+2 ln(2).πβ(104)σ=0(что равнозначно T > π1Gc−1G/2 ln 2) сим-метрия восстанавливается.

Данный результат был хорошо известени ранее, а его повторение демонстрирует соответствие применяемойсхемы вычислений ранее известным результатам.В заключение этой части рассмотрения приведём характерныеграфики Veff (σ) для модели без компактификации пространственныхизмерений, но с конечной температурой, изображенные на рис. 4.2.2.3Вычисление поправки связанной с компактификациейАналогичным образом можно вычислить вклад зависящий только откомпактификации пространственного измерения с учетом магнитного потока, создающего эффект Ааронова–Бома. Соответствующий51Рис. 4: Эффективный потенциал при конечной температуреинтеграл записывается как4π 3/2 V(L)Z∞ ds22+∞Ln X2 − cos(2πnφ) =2expexp(−sσ)=5/24ssn=10∞Z ds2 2Ln =−sσ 2 −=2(cos(2πnφ)) exp5/24ssn=1+∞X(105)0=+∞8π 1/2 XL3n=1(cos(2πnφ)) exp(−σLn)σLn + 1n3Вычисления аналогичны тем, что были рассмотрены в предыдущемподразделе, поэтому сразу выпишем сумму выраженную через специальные функции:4π3/2V(L)8π 1/2 1 σL Li2 (e−σL−2πiφ ) + σL Li2 (e−σL+2πiφ ) + Li3 (e−σL−2πiφ )+=3L 2+ Li3 (e−σL+2πiφ ) .(106)52И, соответственно, компактификационная часть эффективного потенциала:V(L) =1 σL Li2 (e−σL−2πiφ ) + σL Li2 (e−σL+2πiφ ) + Li3 (e−σL−2πiφ )+3πL2 −σL−2πiφ−σL−2πiφ+ Li3 (e−σL+2πiφ ) =σLReLi(e)+ReLi(e).23πL3(107)Вычисляя производные, получим:∂V(A) = 0,∂σ (108)σ=0∂ V(L) πL3∂σ 2 2= L2 (ln(1 − e2πiφ ) + ln(1 − e−2πiφ )) = 2L2 Re ln(1 − e2πiφ ) =σ=0= 2L2 ln |1 − e2πiφ | = 2L2 ln∂ V(L) ∂σ 2 2p2 − 2 cos(2πφ) = L2 (ln(2) + ln(1 − cos(2πφ))),(109)1=(ln(2) + ln(1 − cos(2πφ))).πL(110)σ=0Добавив вклад V(0) часть (но не температурный вклад, для корректного добавления которого требуется ещё учесть V(×) ), получимэффективный потенциал для трёхмерной модели Гросса-Невё с компактификацией при нулевой температуре:2 ∂ V1Λ1=−+(ln(2 − 2 cos(2πφ))).∂σ 2 G 2πα πLσ=0(111)53Приравнивая вторую производную нулю получаем выражениедля критической константы связи:2απLGc =,ΛL − 2α ln(2 − 2 cos(2πφ))(112)что при α = 1/2 совпадает с результатом, приведенным в [52], где используется другой метод регуляризации и, как следствие, параметрΛ отличается на численный множитель.На рис.

5 приведён график зависимомсти Gc (φ)Рис. 5: Зависимость критической константы связи от величинымагнитного потока2.2.4Перекрёстный вклад компактификации и температурыНаконец для того, чтобы одновременно учесть влияние и температуры и компактификации, требуется вычислить перекрестный вклад,в который одновременно входит и температура и параметр компактификации, для этого, как и в предыдущих случаях, требуется вы-54числить значение интеграла4π 3/2 V(×)Z∞ ds22+∞Xβ m2m ×=exp(−sσ ) × 2(−1) exp −4ss5/2m=10× 2+∞X2 2exp −n=1Ln4s cos(2πnφ) =∞Z+∞+∞XXdsmexp −sσ 2 −=4(−1) cos(2πnφ)5/2sm=1 n=101 β m +L ns4222 2(113)Вновь интегрируя по s аналогично предыдущим частям рассмотрения получим:4π3/2V(×) == 4h √ p2222(−1) cos(2πnφ) 4 π exp −σ β m + L n ×+∞P +∞Pnmm=1 n=1σ++1P +∞P√ +∞ = 16 π(−1)m cos(2πnφ) ×× p3m=1 n=1 β 2 m2 + L2 n2pβ 2 m2L2 n2p p σ β 2 m2 + L2 n2 + 1 × exp −σ β 2 m2 + L2 n2 p3  .2222β m +L n(114)Полученная сумма не берётся аналитически и не записывается через специальные функции, однако для удобства обозначим значениесуммы функцией четырёх переменных:+∞ X+∞ nh pXm2222Υ(β, L, φ, σ) =(−1) cos(2πnφ) exp −σ β m + L n ×m=1 n=155pσ β 2 m2 + L2 n2 + 1× p3  .2222β m +L n(115)Восстановив множители для перекрестной части эффективного потенциала получим:4V(×) = Υ(β, L, φ, σ).π(116)Как и прежде, в первую очередь нас будет интересовать втораяпроизводная искомого выражения в нуле.

Характеристики

Список файлов диссертации