Диссертация (1102910), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

далее (35)). Взаимодействие с магнитным потоком Φ здесьвведено путем учета A2 в ковариантной производной D2 и являетсяпроявлением эффекта Ааронова–Бома [36]. В то же время внешнеемагнитное поле Bk существующее в том числе и на поверхности цилиндра также взаимодействует со спином квазичастиц и приводит кэффекту Зеемана. Магнитный момент вызванный реальным спиномфермионов взаимодействует с магнитным полем Bk не равным нулюна поверхности цилиндра.

Член описывающий зеемановское взаимодействие должен быть добавлен в (32).Учет свойств шестиугольных графеноподобных нанотрубок показывает, что фермионное поле ψ(t, ~r) удовлетворяющее условиям дляточки K должно подчиняться граничному условию [36, 61]1~ = e2πi(φ− 3 ν) ψK (x0 , ~r),ψK (x0 , ~r + L)(35)где ν = (0, ±1), а фаза φ задается выражением (33). Для точки ψK 0условия оказываются аналогичны, за исключением замены ν → −ν,1~ = e2πi(φ+ 3 ν) ψK 0 (x0 , ~r).ψK 0 (x0 , ~r + L)(36)30Спинорные поля удовлетворяющие условиям (35), (36) могут бытьзаписаны в виде ряда ФурьеAψ K  B ih 2(1)∞ ψK  1 X i x (n+φ)+p1 x1 +p0 x0ψR= Kn  ,eψ=(2)B L n=−∞−iψKψK 0 n0AiψK 0(37)где(1)ψKn =2ψA Kn  −i xR ( ν3 )BψKn(2)(38)ψK 0 n =eB2−iψK0n i xR ( ν3 )AiψK0ne.Что, при ν 6= 0 приводит к неисчезающей («полупроводниковой»)щели ∆E между валентной зоной и зоной проводимости для невзаимодействующих фермионов с исчезающей динамической массой.Действительно, азимутальная компонента импульса, p2 , равняетсяpνφ (n) =2πν(n + φ − ),L3(39)то есть∆E(n = φ = p1 = 0) = vF4π |ν|6= 0.L 3(40)С другой стороны, при ν = 0 несложно увидеть, что ∆E = 0, инанотрубка демонстрирует «металлическое» поведение [36, 61].

Очевидно, такая энергетическая щель увеличивается при наличии динамической массы m (возникновение динамической массы в различных четырехфермионных моделях рассматривалось например в31[62, 63, 64, 65], а в работах [66, 67] рассматривалось несколько конкурирующих механизмов четырехфермионного взаимодействия, приводящих к различным результатам), таким образом, чтоqE (p1 , pνφ (n)) = ± vF2 p21 + vF2 p2νφ (n) + (mvF2 )2 ,±(41)то естьs∆E(n = p1 = φ = 0) = 21.4vF22πL2 ν 2+ (mvF2 )2 .3(42)Модель Гросса–НевёТеперь перейдем к рассмотрению модели Гросса–Невё, которой исследование различных свойств которой является целью настоящейработы. Модель Гросса-Невё — модель квантовой теории поля с четырёхфермионным взаимодействием, описываемая действием:ZS=!2 NNXGGN XdD x ψk iγ µ ∂µ ψk +ψk ψk 2Nk=1(43)k=1(здесь N — число ароматов фермионов, D — размерность пространствавремени, суммирование по ароматам далее указываться не будет иNPзапись ψ Ôψ следует понимать какψ k Ôψk ).k=1Видно, что эта модель совпадает с (31), если положить в (31)e = GGN (индекс GN у константы связи в дальнейшемvF = 0, G = 0, Gписаться не будет).

Несложно убедиться, что массовая размерностьконстанты связи оказывается равной:mdim(G) = 2 − D.(44)32Таким образом, при размерности пространства более чем 2 (или1 + 1) модель не является перенормируемой в рамках стандартнойтеории возмущений. Однако, как известно, многие неперенормируемые модели могут использоваться в качестве эффективных моделейдля рассмотрения явлений возникающих в более общих, но значительно более сложных, перенормируемых моделях. При этом параметр регуляризации, явным образом влияющий на результат, принимает смысл параметра, ограничивающего область применимостирассматриваемой модели.Тем не менее, для трёхмерного (2+1)-мерного пространствавремени, в рамках непертурбативного метода 1/N -разложения, перенормируемость модели Гросса-Невё была доказана [68, 69].1.4.1Модель Гросса-Невё в двух измеренияхРассмотрим двумерную модель Гросса-Невё, её действие имеет вид:ZG2S = d2 x ψiγ µ ∂µ ψ +ψψ  ,(45)2Nµ = 0, 1,γ µ = σ µ+1 (σ — матрицы Паули).Действие обладает U(N )-симметрией по ароматам, а также Z(2)киральной симметрией:ψL (x)0 = ±ψL (x), ψ L (x)0 = ±ψ L (x),ψR (x)0 = ∓ψR (x), ψ R (x)0 = ∓ψ R (x),(46)где1 ∓ γ21 ± γ2ψR,L (x) =2ψ, ψ R,L (x) = ψ2.33Следующим шагом бозонизируем действие ([70]).

Для этого произведем преобразование Хаббарда–Стратоновича и введем вспомогательное поле:Gσ(x) =Nψ(x)ψ(x).(47)После этого действие переписывается в виде:ZNσ2 .S = d2 x ψiγ µ ∂µ ψ + ψψσ +2G(48)Теперь производящий функционал записывается в виде гауссоваконтинуального интеграла (считаем, что уже совершён виков поворот и пространство имеет сигнатуру (−−)):ZZ=DψDψ exp −S ψ, ψ →ZDψDψDσ exp −S ψ, ψ, σ .(49)Далее, ограничимся первым порядком в разложении по степеням 1/N и будем полагать, что σ = const(x) =GN< ψψ > (данноеприближение также называется «приближением среднего поля»), вимпульсном представлении действие записывается в виде:1S=(2π)2Z2µd kψ(−k) [iγ kµ − σ] ψ(k) +NV2Gσ2,(50)где V — объём пространства-времени.

Переходя от производящегофункционала Z к эффективному потенциалу с использованием соотношенияZ = exp(−N V Veff ), получаем для него выражение:34Veff = −1Z(2π)21σ2.d2 k ln k 2 + σ 2 +2GУравнение щели для фермионов0=−1Z(2π)2∂Veff∂σd2 k(51)= 0 принимает вид:σ2σk2 + σ+2(52)Gи имеет нетривиальное решение, если:0=−1(2π)2Z2dk21k2 + σ2=−12π+Gln =−Λ22σ21 Zdk2π112k2 + σ2+G=1+G,(53)где для регуляризации интеграла введено обрезание по евклидовуимпульсу. Окончательно для значения σ находим:πσ = mψ = Λ2 exp −  .G(54)Таким образом симметрия динамически нарушается, и фермионыприобретают массу.Возвращаясь к эффективному потенциалу и проводя интегрирование по импульсам, получим выражение:σVeff (σ) =24π− ln Λ22 − 1 + ln σ 2 +2πG=σ4π ln σ2m2ψ − 1 .(55)35Как видно, в силу явной перенормируемости модели, итоговыйэффективный потенциал удается выразить через физическую массуфермионов.1.4.2Модель Гросса-Невё в трёх измеренияхДействие трёхмерной модели Гросса-Невё отличается лишь числомизмерений:ZS=d3 x ψiγ µ ∂µ ψ +G2N2ψψ  ,(56)µ = 0, 2.Существенное отличие, однако, заключается в том, что константасвязи имеет размерность длины (либо, что равнозначно, обратноймассы), что говорит о неперенормируемости модели в рамках разложения по степеням константы связи.Киральную Z(2) симметрию следует дополнить отражением пространственного измерения, поскольку матрица γ 3 теперь явно входитв лагранжиан:ψL (x0 , x1 , x3 )0 = ±ψL (x0 , x1 , −x3 ), ψ L (x0 , x1 , x3 )0 = ±ψ L (x0 , x1 , −x3 ),ψR (x0 , x1 , x3 )0 = ∓ψR (x0 , x1 , −x3 ), ψ R (x0 , x1 , x3 )0 = ∓ψ R (x0 , x1 , −x3 ).(57)Уравнение щели записывается в виде:0=−1(2π)3Z3dk2k 2 + σ021+G.(58)Введя импульс обрезания Λ3 и считая что Λ3 σ0 , можно получитьрешение уравнения в виде:361πΛ3 1Λ3 − σ0  ⇒ σ0 = 2π  −  .π22π2 G(59)Таким образом ненулевое решение уравнение щели существуетпри константе связи выше критического значения G > Gc = π 2 /Λ3 .C точностью до аддитивной константы, эффективный потенциал записывается в виде:σVeff (σ) =36π−22σ1G−1Gc.(60)В дальнейшем в настоящей работе будет использоваться приводимое 4-мерное представление γ-матриц (7, 8).

Важным отличиемздесь оказывается тот факт, что след единичной матрицы оказывается в два раза больше Tr I = 4 = 2 × 2, и, как следствие, слагаемое вэффективном потенциале, содержавшее интеграл, удваивается. Длятрёхмерной модели, это означает:σVeff (σ) =33π−22σ1G−1Gc,(61)πGc =2Λ3.Этот результат совпадает с приведённым в работе [71], где с самого начала использовалось 4 × 4 представление γ-матриц.371.5Калибровочное поле в пространстве с компактификациейВ этой части мы ненадолго отойдём от рассмотрения фермионныхмоделей и рассмотрим поведение калибровочного поля в пространстве с компактификацией на примере U(1) абелевого поля (мы сейчас не преследуем цели построения неабелевой калибровочной теории со спонтанно нарушенной симметрией и не станем углубляться вэти построения, те же результаты которые будут нами получены тривиально обобщаются на случай неабелевой симметрии.

Фактическимы повторим первые вычисления из [72] в максимально упрощённомвиде, после чего добавим в теорию фермионы).Следует отметить, что поведение квантовых полей в пространствах с компактификацией вызывает интерес ещё со времён работКалуцы и Клейна [1, 2]. При этом возникает чисто топологическиймеханизм генерации массы, и соответствующие массивные частицыпринято называть Калуца-Клейновскими модами. Из недавних работ влияние Калуца-Клейновских частиц на динамическую генерацию массы фермионов в маломерных моделях рассматривалось в[73, 74].Лагранжиан U(1) калибровочной теории в (d + 1)-мерном плоском пространстве без компактификации записывается в виде:L=−1Z4ddxZ1dxd F M N FM N = −4ZddxZdxd F µν Fµν + 2F dµ Fdµ38M, N = 0, d; µ, ν = 0, d − 1;FM N = ∂M AN − ∂N AM.(62)В некомпактифицированном пространстве, совершением калибровочного преобразования, всегда можно добиться Ad ≡ 0.

Соответствующая калибровка называется аксиальной, и для перехода к нейпараметр калибровочного преобразования следует выбрать в виде:Zxdα=dzAd (xµ , z) ⇒ A0d = Ad − ∂d α = 0.(63)0После компактификации одного из пространственных измерений (безпотери общности, можно считать что его индекс равен d), введём угловую координату φ = xd /R. Поле A можно разложить на Фурьекомпоненты:A = A(0) +∞PA(n) einφ + э.с.,n=1(64)A(n) = const(xd ).Однако теперь параметр калибровочного преобразования (63) вобщем случае не является периодическим, и тем самым не удовлетворяет граничным условиям.

Вместо него следует ввести параметр:Zxdα=(0)dz(Ad (xµ , z) − Ad ) ⇒ A0d = Ad − ∂d α = const(xd ).(65)0Таким образом, невозможно исключить постоянную по компактифицированному измерению компоненту вектор-потенциала путемкалибровочного преобразования, при этом в некомпактифицированных измерениях она ведёт себя подобно скалярному полю, на чём39основан механизм Хосотани спонтанного нарушения симметрии [75,76]. В случае если рассматриваемое пространство является обычным (2+1)-мерным цилиндром, вложенным в плоское (3+1)-мерноепространство-время, такой вид вектор-потенциала соответствует наличию внутри цилиндра магнитного потока.Наконец покажем, как наличие магнитного потока сказывается на фермионах находящихся на цилиндре.

Характеристики

Список файлов диссертации