Диссертация (1102910), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Если же слой полимераописываемый данной моделью помещен на подложку, то взаимодействие экранировано и должно быть модифицировано на множитель2/(1 + ε), где ε — диэлектрическая проницаемость материала подложки [28]. Действие (20) может быть переписано в виде, в которомявно выписанны плотности электрического заряда ρ и тока ~j,ZZZhiε0 X4µν33~~S=−d xFµν F + d xL0 + d x A0 ρ − A · j ,4µ,ν=(0,..,3)(21)где лагранжиан L0 дан в (12), иρ = eψγ 0 ψ,3~j = evF ψ~γ ψ.(22)~ может быть учтен в гамильтониане квазиЭлектромагнитный векторный потенциал Aчастиц на решетке (1) путем замены Peierls’, т.е.

путем добавления фазового множителя~ в параметр перескока [19]. Схожим образом, путем модификации параметраexp(−ie~δi · A)перескока на атом следующий за соседним, может быть учтен и скалярный потенциал электростатического взаимодействия [18, 25, 27].22Если проинтегрировать чисто калибровочную часть лагранжиана покоординате z направленной перпендикулярно плоскости решетки, томожно получить выражение (см.

[26])ZX ε013 ~ · ~j + gauge termsFµν √F µν + L0 + A0 ρ − AS= dx −22−∂µ,ν=(0,..,3)(23)с нелокальным вкладом калибровочного поля.Рассмотрим, наконец, функцию распределения связанную с выписанным выше действием (23),ZZ = DψDψDµ [Aµ ] exp[iS],(24)где члены фиксирующие калибровку включены в меру интегрирования по траекториям Dµ [Aµ ]. Для дальнейшего рассмотрения, временно восстановим степени скорости света c в качестве множителей.

Интегрируя по калибровочному полю и пренебрегая релятивистскимипоправками порядка (vF /c)2 (например, для графена vF /c ∼ 1/300),возникающими из токов ~j, получим выражение включающее кулоновское взаимодействие фермионов на плоскости решеткиZZvF(3) 0(3)S = S0 −d xd x ψ(x0 , ~r)γ 0 ψ(x0 , ~r) U0C (x0 − x00 , |~r − ~r 0 |)2c000 0000ψ(x , ~r )γ ψ(x , ~r ) .(25)Здесь U0C , голый моментальный потенциал кулоновского взаимо-23действия, имеет видU0C (x0 , |~r|)e2 δ(x0 )=ε0 vFZ1d2 kαexp(i~k~r)=(2π)|~k| ε0cvFδ(x0 ),|~r|(26)где α ' 1/137 — постоянная тонкой структуры.

Поскольку для графена vF /c ∼ 1/300, и эффективная постоянная тонкой структуры ввыражении (26) оказывается порядка αeff = α vcF ∼ 2. Таким образом, шестиугольная решетка является примером интересной теориис сильной связью.Стоит отметить, что при конечной температуре и/или плотностиэффекты поляризации и дебаевское экранирование могут существенно изменить кулоновский потенциал [29, 30] и привести к полному(непертурбативному) выражению U C (x).Кроме того, решения уравнения Харти–Фока (уравнения щели)для нахождения эффективных масс фермионов и уравнения Bethe–Salpeter для связанных состояний экситонов, могут быть существенно упрощены если заменить неизвестный полный кулоновский потенциал U C (x) на δ-функцию контактного взаимодействия.

В частности,предположим, что в пропагатор фотона добавляется непертурбативная эффективная масса фотона M .4 В этом случае интеграл выражении (26) заменяется наZd2 k2π (2)~k~r) p 1exp(i−→δ (~r).(2π)2~k 2 + M 2 M 2 ~k2 M(27)Таким образом контактное взаимодействие при низких передачах4Масса фотона может возникнуть например из механизма Хиггса связанного с куперовски-ми парами (эффект Мейснера) и/или дебаевского экранирования. В дальнейшем, мы будемрассматривать M в качестве границы области низких энергий.24Рис. 3: Контактное приближение нелокального кулоновского взаимодействия: полный фотонный пропагатор D00 заменяется на локальное четырехфермионное взаимодействие с константой связиGc .импульса записывается какU C (x) =где Gc =2παε 0 vF M2πα (3)δ (x) ≡ Gc δ (3) (x),ε0 vF M(28)характеризует эффективную интенсивность взаимо-действия.

Такое контактное приближение (см. рис. 3) приводит кследующему U (2Nf )-инвариантному лагранжиану взаимодействия5LCint = −2Gc vF ψ(x)γ 0 ψ(x) .2(29)Поскольку массовая размерность константы связи Gc равна [Gc ] =−1, теория основанная на лагранжиане взаимодействия (29) неперенормируема в рамках стандартной теории возмущений; однако, онаоказывается перенормируемой в разложении по степеням 1/Nf .Следует отметить, что U (2Nf ) симметрия нарушается, при добавлении членов учитывающих эффект Зеемана вызванный внешним5В силу подавления пространственных компонент токов и соответствующих эффектов вы-рождения, выражение (29) не является Лоренц-инвариантным и, таким образом, отличаетсяот модели Тирринга (Thirring) с vF = c рассмотренной в [31, 32].25магнитным полем (см.

далее). Кроме того U (2)vs симметрия долинподрешеток возникает при переходе к континуальному пределу и неявляется точной в гамильтониане с сильной связью H0 [33, 34]. Поэтой причине невозможно ожидать что U (2Nf ) симметрия, присущаялагранжиану L, соответствующему действию (25), или лагранжиануконтактного квазикулоновского взаимодействия (29), будет присущаполному эффективному лагранжиану.Кроме того, согласно [29, 35] кулоновское взаимодействие дополнительно включает в себя малый вклад:∆Lint =GvF(ψψ)2 ,2(30)явно нарушающий U (2Nf ) симметрию U (2Nf ) → U (Nf )t0 ⊗ U (Nf )t3 .Где группы U (Nf )ti имеют алгебру Ли соответствующую (18) с двумяненарушенными генераторами t0 , t3 .Аналогичный вклад, имеющий константу связи g, возникает приучете взаимодействия передаваемого через фононы и [36].

Объединяя выражения (29) и (30) и включая взаимодействие через фононы,запишем следующий лагранжиан взаимодействия нарушающий симметрию:e F1Gv02Lint = − Gc vF (ψγ ψ) +(ψψ)2 ,22e — эффективная константа связи Ge = G + g.где G(31)В контексте исследования электромагнитного взаимодействия фермионов следует отметить также иные подходы, основанные на уравнении Швингера–Дайсона [37] и использовании ренорм-группы [38,39], однако в данной работе мы ограничимся описанным в настоящем26разделе приближением как дополнительной мотивацией к исследованию четырехфермионных моделей в физике полимеров.1.2.4Внешнее магнитное полеДля учета внешнего магнитного поля произведем следующие замены∂0 → (∂0 − iµ),6 ∂k → (∂k + ieAk ) (k = 1, 2) в кинетической части L0в (12), т.е.hgL~ + iγ 1 vF (∂x + ieAx )ψ̄i/̃∂ψ → ψ̄ iγ 0 (∂0 − iµ + i µB ~σ · B)2i(32)2+iγ vF (∂y + ieAy ) ψ,где Ax и Ay — компоненты внешнего электромагнитного потенциала,~ в (32) является нерелятивистским зеа дополнительный вклад ∼ ~σ ·Bемановским вкладом в энергию, описывающим взаимодействие спи~ который долженна квазичастиц с внешним магнитным полем B,быть добавлен отдельно.

Здесь gL — спектроскопический факторЛанде, а µB = e/(2m) — магнетон Бора.~ = (Bk , 0, B⊥ ) где компонента BkРассмотрим магнитное поле Bпараллельная плоскости решетки направлена вдоль оси x, а перпендикулярная плоскости компонента B⊥ направлена вдоль оси z.(Фазовые переходы в такой системе с наклонным магнитным полем недавно рассматривались в [40, 41, 42].) Удобно выбрать калибровку в которой трехмерный векторный потенциал имеет вид~ = (0, A2 +B⊥ x, Bk y) с постоянным A2 , и таким образом B~ = rot A.~A6Химический потенциал µ возникает в модели с «сильной связью» естественным образом,если в выражении (1) учесть взаимодействие с атомами следующими за соседними (т.е.

отPносящимися к одной и той же подрешетке)∆H0 = −t0(ψ +A (~ri )ψ A (~rj ) + ψ +B (~ri )ψ B (~rj )),i,jleading to µ = 3t0 . Clearly, such term violates the quasiparticle-hole symmetry.27Очевидно что перпендикулярная компонента B⊥ взаимодействует исо спином 12 σz и с орбитальным моментом Lz , в то время как параллельная плоскости компонента Bk взаимодействует только со спиномквазичастиц. Кроме того здесь мы ввели постоянную компонентувекторного потенциала A2 , которая будет востребована при рассмотрении модели на цилиндре (нанотрубке) с компактифицированнойкоординатой y: в такой модели постоянная компонента электромагнитного потенциала не может быть исключена из рассмотрения калибровочным преобразованием.

В частности A2 играет важную рольпри рассмотрении эффекта Ааронова–Бома (см. далее).Хорошо известно, что перпендикулярная компонента B⊥ приводит к возникновению уровней Ландау для фермионов и квантовомуэффекту Холла (см. например [43, 44, 45]). В настоящей работе, однако, всюду полагается B⊥ = 0 и рассматриваются свойства схематической модели Гросса–Невё.1.31.3.17Нанотрубки с шестиугольной решеткойГраничные условияИсследования углеродных нанотрубок, наравне с исследованиямиграфена, занимают одну из ведущих позиций в физике современной полимеров, что обусловлено, в частности тем, что углеродныенанотрубки были синтезированы раньше плоского листа графена.Теоретическое рассмотрение углеродных нанотрубок проводилось во7Помимо упомянутых выше, фазовые переходы в четырехфермионных моделях под влия-нием магнитного поля рассматривались во множестве работ, включая такие, как [46-58] .28множестве работ, в частности [58, 59].Рассмотрим случай когда одно из пространственных измеренийкомпактифицированно, что в приложении к полимерам моделируетнанотрубки, в которых лист с шестиугольной решеткой свернут в цилиндр.

Мы будем рассматривать такой цилиндр как (2+1)-мернуюбрану помещенную в (3+1)-мерное пространство-время (балк). Фермионы распространяются на бране и подвержены влиянию постоянного и однородного магнитного поля направленного вдоль оси цилиндра. В дальнейшем, из соображений удобства, в балке будут использоваться декартовы или цилиндрические координаты (x, y, z) или(ρ, ϕ, z), соответственно, а на бране (поверхности цилиндра) будутиспользоваться декартовы координаты (x1 , x2 ), такие что ось x1 параллельна оси z в балке, а координата x2 = Rϕ компактифицированна и соответсвующее измерение имеет длину окружности L = 2πRгде R — радиус цилиндра.

На поверхности цилиндра единичные векторы различных координатных систем подчиняются соотношениямe1 ≡ ez и e2 ≡ eϕ . Ось zв балке совпадает с осью цилиндра, а векторный потенциал постоянного и однородного магнитного поля направленного вдоль оси цилиндра H = H0 ez может быть записан~ = ρ H0 eϕ в балке и как A~ =как A2R2 H0 eϕна поверхности цилин-~ должно быть добавлено к частной производной длядра. Это поле Aформирования ковариантной производной ∂2 → D2 = ∂2 + ieA2 влагранжиане. В качестве альтернативы, возможно также сохранитьв лагранжиане частную производную ∂2 и включитьмагнитную29фазу φ,φ=eA2 L Φm= 02πΦm(33)в граничные условия для фермионного поля ψ(x0 , x1 , x2 )ψ(x0 , x1 , x2 + L) = e2πi(φ+α) ψ(x0 , x1 , x2 ).(34)Здесь Φm — магнитный поток через сечение цилиндра, Φ0m = 2π/e— квант магнитного потока, а α определяется структурой решетки (см.

Характеристики

Список файлов диссертации