Диссертация (1102910), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Обнаружено проявление размерной редукции при наложении периодических граничных условий и отсутствие таких проявлений при наложенииантипериодических граничных условий.3. Вычислена намагниченность исследуемой системы, индуциру-11емая эффектом Ааронова–Бома, возникающим при наличиивнешнего магнитного поля параллельного оси цилиндра. Построены графики намагниченности в зависимости от величиныприлагаемого магнитного поля и изучена зависимость намагниченности от температуры.4.

Вычислена намагниченность исследуемой системы, индуцируемая эффектом Зеемана, возникающим при наличии внешнего магнитного поля параллельного оси цилиндра. Исследованазависимость намагниченности, вызванной эффектом Зеемана,от температуры. Построены соответствующие графики, демонстрирующие намагниченность системы как с учетом только эффекта Зеемана, так и с учетом одновременно, эффектов Зеемана и Ааронова–Бома.Практическая ценность результатовПредставленные в настоящей работе результаты могут применяться для описания магнитных свойств полимеров в физике конденсированного состояния вещества и приближенного описания явленийквантовой хромодинамики. Кроме того, представленные результатымогут служить основой для дальнейших исследований с использованием обобщений модели Гросса–Невё, таких как модель Намбу–Йона-Лозинио [15, 16, 17], и ряда других эффективных четырёхфермионных моделей, находящих широкое применение в исследованиисвойств материи на ядерном уровне.12Список публикацийРезультаты, представленные в диссертационной работе, опубликованы в трёх статьях, изданных в реферируемых научных журналах, входящих в установленный ВАК перечень изданий, в которыхдолжны быть опубликованы основные научные результаты на соискание учёной степени кандидата наук:1.

В. Ч. Жуковский, П. Б. Колмаков. Эффект Ааронова—Бома втрехмерной модели Гросса–Невё с компактификацией при конечной температуре//Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон.2013. 4. С. 82. Р. Н. Жохов, В. Ч. Жуковский, П. Б. Колмаков. Эффект Зеемана в модифицированной модели Гросса—Невё в (2+1)-мерномпространстве-времени с компактификацией// Вестн. Моск. унта. Сер. 3. Физ.

Астрон. 2015. 4. С. 123. D. Ebert, K.G. Klimenko, P.B. Kolmakov, V.Ch. Zhukovsky. Phasetransitions in hexagonal, graphene-like lattice sheets and nanotubesunder the influence of external conditions // Annals of Physics.2016. V. 371. P. 254Результаты диссертации также представлены на конференциях ивошли в сборники тезисов соответствующий конференций:4.

Ломоносовские чтения. Москва, 2014.5. 17th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics. Moscow,2015.13Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, 4 глав основного текста, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 99 страниц,включая 14 рисунков. Библиография включает 90 наименования на7 страницах.1.2Эффективная низкоэнергетическая модель наплоской шестиугольной решетке1.2.1Невзаимодействующие фермионыРис. 1: a) Шестиугольная решетка состоящая из двух треугольныхподрешеток A и B.

Векторы ~δi , i = 1, 2, 3 являются направляющими векторами решетки. b) Соответствующая этой решетке зонаБрюэлена с двумядираковскими конусами фермионов, располо-женными в точках K и K 0 .Хорошо известно, что фермионы находящиеся на шестиугольной графеноподобной решетке могут быть описаны следующим га-14Рис.

2: Энергетический спектр фермионов на шестиугольной решетке (слева) и состояния вблизи дираковской точки (справа), рисунок взят из [18]мильтонианом с сильной связью [18-23] (здесь термин сильнаясвязь не имеет отношения к абсолютной величине констант связи итеории возмущений, а относится к связи между соседними атомамишестиугольной кристаллической решетки)iX X h+AaBa~H0 = −tψ (~r + δi )ψ (~r) + h.c. .(1)~r∈B i=1,2,3Здесь t — параметр перескока на ближайший соседний атом, ψ +Aaи ψ Ba — операторы полей фермионов, связанных с подрешетками Aи B, и ~δi , i = 1, 2, 3 — три вектора, направленных от подрешеткиB к трем ближайшим атомам подрешетки A. Описываемая решетка√с направляющими векторами изображена на рис. 1a) ~δ1 = a2 (1, 3),15√~δ2 = a (1, − 3), ~δ3 = −a(1, 0), где a — расстояние между ближайши2ми атомами на шестиугольной решетке.Для дальнейшего разложения по степеням 1/Nf , в гамильтонианерассматривается многослойный случай вырожденный по Nf = 2Nвидам (ароматам) фермионов со спином ↑ и ↓, связанных с N слоями шестиугольных решеток описываемых индексом a = (1, ..., Nf =2N ).

Случай одного слоя описывается при Nf = 2, соответствующемдвум возможным проекциям спина. По повторяющимся индексам aв (1) подразумевается суммирование, которое здесь и далее в явномвиде писаться не будет.В импульсном представлении гамильтониан приобретает диагональный вид,iXh+Aa ~Ba ~~H0 =Φ(k)ψ (k)ψ (k) + h.c. ,Φ(~k) = −tX~kИз которого могут быть получены уровни энергии [24] ~ ~E± (k) = ± Φ(k) ,~~e−ikδi . (2)~δi(3)где знаки +/− указывают на положительно- и отрицательночастотные компоненты. Важно отметить существование двух неэквивалентных дираковских точек K и K 0 в углах зоны Брюэлена, где→− →−E± ( K ; K 0 ) = 0. Расположение этих точек в импульсном пространстве может быть записано как (рис.

1b)→−→−02π 2π2π2πK=, √, K =,− √.(4)3a 3 3a3a 3 3a→− →−Вблизи дираковских точек ~k = K ( K 0 ) + p~, в при малых импульсах,энергетический спектр (3), с учетом |~p| a < 1, может быть получен16известный линейный закон дисперсии E± = ±vF |~p| для безмассовыхквазичастиц на шестиугольной решетке1 .

Здесь vF = 23 ta — скоростьФерми для фермионов на решетке с расстоянием a между атомами. Возвращаясь в низкоэнергетическом гамильтониане (2) к координатному представлению можно получить в континуальном пределе гамильтониан, похожий на гамильтониан свободных дираковскихчастиц (см.

например [18, 22, 23, 25])H0 = −Nf ZXXd2 xψη+a (~r) vF τ 1 i∂x + ηvF τ 2 i∂y ψηa (~r),(5)η=±1 a=1где τ i — матрицы Паули размера 2 × 2. Операторы Ферми-полейψηa (~r) (~r = (x, y)) являются двухкомпонентным спинорамиAaψηψηa (~r) = Baψη(6)где индексы A и B обозначают степени свободы отвечающие принадлежность к треугольным подрешеткам (псевдоспин), а индексη = ±1 (индекс долины) за степени свободы относящиеся к дираковским точкам K и K 0 , соответствующим долинам в углах первойзоны Брюэлена энергетического спектра.В дальнейшем будет рассматриваться спонтанное нарушение киральной симметрии, которая требует существования киральной матрицы γ 5 .

Такая матрица может быть получена только в приводимом4 × 4 представлении матриц Дирака.1В настоящей работе используется естественная система единиц ~ = c = kB = 1, где kB —постоянная Больцмана. Очевидно, что скорость Ферми vF в такой системе единиц являетсябезразмерной величиной.17В настоящей работе будет использоваться вейлевское представление (соответствующее в частности работе [19], но не являющеесяединственно возможным, иное представление используется напримерв [20], )120 −τ0 −τ0 I2 , γ2 =  , γ1 = γ0 = 21τ0τ0I2 0(7)где I2 — единичная матрица размера 2 × 2.

Кроме указанных γматриц существуют две дополнительные матрицы 4 × 4 антикоммутирующие со всеми матрицами γ µ , µ = 0, 1, 2 и друг с другомI00 −τ 33, , γ5 =  2(8)γ =30 −I2τ0и кроме того их комбинацияγ 35 =31 3 5  0 τ ,γ ,γ =32τ 0(9)коммутирующая с γ µ , но антикоммутирующая с γ 3 и γ 5 .

Заметим,что для µ = 0, 1, 2, 3:{γ µ , γ ν } = 2g µν I4 , g µν = diag(1, −1, −1, −1),(10)где I4 — единичная матрица 4 × 4. Заменяя операторные поля грассмановыми четырехкомпонентными спинорными полямиψ Aa K  Ba  ψK ,ψ=Ba−iψK 0 AaiψK 0(11)18A,Bи используя обозначения ψηA,B ≡ ψK,K0 с η = ±1, можно выразитьгамильтониан (5) в удобной четырехкомпонентной форме с ψa=ψ +a γ 0 . Эффективный низкоэнергетический лагранжиан имеет видL0 = ψ iγ 0 ∂0 + ivF γ 1 ∂x + ivF γ 2 ∂y ψ = ψiγ µ ∂˜µ ψ,(12)~ и использованы обозначения x0 = t, ∂0 = ∂t , игде ∂˜µ = (∂0 , vF ∇),подразумевается суммирование по индексу ароматов a.Операторы кирального проецирования наглядно записываются ввидеP± = 12 (1 ± γ 5 ), а правые и левые спиноры равны ψ± = P± ψ,т.е.ψ Aa0 K Ba ψK  0  , ψ− = ,ψ+ = Ba 0 −iψK 0 Aa0iψK 0(13)γ 5 ψ± = ±ψ± .(14)таковы, чтоВ киральном представлении γ-матриц, фермионные возбуждение вблизи дираковских точек K, K 0 (η = ±1), соответствуют спинорам ψ± , итаким образом являются состояниями с определенной киральностью±1.

Очевидно, киральность таким образом совпадает с индексом долины η = ±1.22Заметим что собственные значения киральности совпадают с собственными значениямиоператора спиральности Λp =~p~·Σ|~p| ,~ = diag(~τ , ~τ ) — псевдоспин.где Σ191.2.2Свойства симметрииМожно заметить что матрицы γ 3 , γ 5 , γ 35 и единичная матрица I4размера 4 × 4являются генераторами группы глобальной симметриидолин-подрешеток U (2)vs = U (1)vs ×SU (2)vs [19].

Три генератора,которые могут быть записаны как111t1 = iγ 3 , t2 = γ 5 , t3 = γ 35222(15)коммутируют с лагранжианом (12) и удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры su(2) i jt , t = iεijk tk ,(16)где εijk — символ Леви–Чевитта. Кроме того введем генератор группы U (1): t0 = 12 I4 , с учетом которого условие нормировки запишетсякак tr ti tj = δ ij , где i, j = 0, .., 3. Очевидно, возможно рассмотретьи континуальные преобразования U (1)tk (k = 0, .., 3), связанные сгенераторами tk , данными в (15), и генератором t0 ,kkU (1)tk : ψ → eiαk t ψ, ψ̄ → ψ̄e−isk αk t ,(17)где sk = −1 для k = 1, 2 и sk = 1 для k = 0, 3.Помимо введенной выше U (2)vs симметрии долин-подрешеток,лагранжиан (12) инвариантен относительно глобальной группы U (Nf )симметрии по ароматам.

Фактически, группа симметрий оказывается более широкой группой — U (2Nf ), а её генераторы представляютсобой прямоепроизведениеλα σ mt⊗ ⊗22ii = (0, .., 3), α = (0, .., N 2 −1), m = (0, .., 3), Nf = 2N,(18)20где λα (α = 0, .., N 2 −1) — обобщенные матрицы Гелл–Манна группыq2α βαβ0mU (N ), для которых tr λ λ = 2δ , λ =— матрицыN IN , а σПаули (σ 0 = I2 ) группы вращения спина U (2)s .Для дальнейшего использования выпишем также законы преобразования четырехкомпонентных спиноров под действием дискретных преобразований: зеркального отражения кооржинаты x — P,зарядового сопряжения — C и обращения времени — T ,Pψ(x0 , x, y) −→ iγ 1 γ 5 ψ(x0 , −x, y),Ctψ(x0 , ~r) −→ γ 1 ψ (x0 , ~r),(19)Tψ(x0 , ~r) −→ iσ 2 γ 1 γ 5 ψ(−x0 , ~r)где матрица σ 2 действует на спиновые индексы спиноров.1.2.3Контактное приближение электромагнитного взаимодействияКак обычно, электромагнитное взаимодействие квазичастиц можетбыть учтено путем замены в свободном лагранжиане L0 , данном (12),e µ = (∂0 −ieA0 , vF (∇+~частных производных на ковариантные ∂eµ → D~ieA)).Рассмотрим сценариимира на бране илиредуцирован-ной квантовой электродинамики предложенные в [26] и запишем21действие Дирака-Максвелла3Ze µ ψ − ε0S = d3 xψiγ µ D4XZd4 xFµν F µν .(20)µ,ν=(0,...,3)Здесь квазичастицы-фермионы распространяются в (2+1)-мерномпространстве-времени x(3) = (x0 , x1 , x2 ) со скоростью Ферми vF , в товремя как U (1) калибровочное поле Aµ распространяется в (3+1)мерном пространстве-времени (балке) x(4) = (x0 , x1 , x2 , x3 ) со скоростью света c(= 1).Константа связи с калибровочным полем e (−e < 0) представляет собой электрический заряд квазичастиц на решетке, а ε0 — диэлектрическая восприимчивость вакуума.

Характеристики

Список файлов диссертации