Гравитационное взаимодействие стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума (1102784), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В линеаризованной теории над этим фоновым решением появляется скалярнаяи безмассовая с четырехмерной точки зрения мода – радион, которая отвечает флуктуациям расстояния между бранами и очень сильно взаимодействует с материей на бране в точке y = L, на которой предположительно находится наш мир. Наличие такой частицы противоречит имеющимсяэкспериментальным данным. Поэтому в конце главы кратко обсуждается решение этой проблемы в рамках стабилизированной модели РэндаллСундрума, в которой радион приобретает массу благодаря наличию дополнительного пятимерного скалярного поля.Во второй главе изучается модель Рэндалл-Сундрума, стабилизированная с помощью пятимерного скалярного поля.
Действие модели имеет7видS=1κ̂2¢√R ¡1√MR −gd5 x̂ −∂φ∂φ+V(φ)−gd5 x̂−2 MR√− (λ1 (φ)δ(y) + λ2 (φ)δ(y − L)) −g̃d5 x̂,Rpгде κ̂ = 16π Ĝ, Ĝ есть пятимерная гравитационная постоянная, g̃µν обозначает индуцированную на мембранах метрику, и g̃ = detg̃µν .Для любого стабилизированного фонового решения этой модели, имеющего видds2 = e−2A(y) ηµν dxµ dxν + dy 2 ≡ γM N (y)dxM dxN ,φ(x, y) = φ(y)путем параметризации метрики и поля какgM N (x, y) = γM N (y) + κ̂hM N (x, y),φ(x, y) = φ(y) + κ̂f (x, y),подстановки этого представления в действие модели и сохранения членоввторого порядка по возмущениям получен так называемый лагранжианвторой вариации в модели Рэндалл-Сундрума со скалярным полем:L√ g = − 1 (5S hM N 5S hM N4−γMNS5M h5 hSN − 5S h 5S h)+ 2 5N h 5M hM N −£¤−2+ (A0 )2 27 hM N hM N − hh −h ¡hi¢11κ̂2 V00MνMN−A hM N h− 2 h̃h + 2 hM ν h+ 2 2 hM N hM N − 12 hh +³´11µν+ 2 hµν h − 2 h̃h̃ [λ1 δ(y) + λ2 δ(y − L)]+³´1110 2MN4M+ 2 (φ ) − 4 hh + 2 hM N h+ hh44 − 2h4M h−³´dλ1dλ2−f h dV+h̃[δ(y)+δ(y−L)]− f 0 φ0 h + 2∂M f φ0 hM 4 −dφdφdφ³´id2 λ1d 2 λ2M2 d2 V−∂ f ∂M f − f dφ2 + dφ2 δ(y) + dφ2 δ(y − L) .Здесь h = γM N hM N , h̃ = γµν hµν , а 5M обозначает ковариантную производную в смысле метрики γM N .
Следует заметить, что этот лагранжиананалогичен лагранжиану нестабилизированной модели Рэндалл-Сундрума8и фактически отличается от него только наличием скалярного поля. Однако если положить в нем φ = const и учесть уравнения для фоновыхконфигураций полей, то лагранжианы полностью совпадут.Из этого лагранжиана получены уравнения движения для полей, описывающих возмущения над произвольным стабилизированным фоновымрешением.Исследована калибровочная инвариантность этого лагранжиана, и показано, что можно наложить калибровку2(e−2A h44 )0 − κ̂2 e−2A φ0 f = 0,3hµ4 = 0.(2)Эта калибровка вместе с подстановкой1hµν = bµν − γµν h442(3)позволяет расцепить уравнения движения и выделить физические степени свободы модели. Показано, что сектор тензорных полей отщепляетсяот скалярного сектора и имеет ту же структуру, что и тензорный секторнестабилизированной модели.
Уравнения для тензорных и скалярных модприведены к форме Штурма-Лиувилля, и исследованы их общие свойства.При выборе потенциалов во всем пространстве и на бранах в вид嵶2κ̂2 21 dWk− W (φ), W = 12 2 − uφ2 ,V (φ) =8 dφ12κ̂λ1 (φ) = W (φ) + β12 (φ − φ1 )2 , λ2 (φ) = −W (φ) + β22 (φ − φ2 )2 ,существует точное стабилизированное решение для фоновой метрики и скалярного поля, обобщающее решение Рэндалл-Сундрума:ds2 = e−2A(y) ηµν dxµ dxν + dy 2 ,A(y) = k|y| +κ̂2 φ21 −2u|y|e+ c,24φ(y) = φ1 e−u|y| .Параметры потенциалов k, u, φ1,2 , β1,2 , обезразмеренные фундаментальнымпятимерным масштабом теории M = κ̂−2/3 , следует считать положительными величинами порядка O(1), т.
е. в параметрах модели не должно со9держаться иерархического различия масштабов. Расстояние между бранами для этого решения выражается через параметры модели какµ ¶1φ1L = ln.(4)uφ2Далее в диссертации рассматривается стабилизированная модельРэндалл-Сундрума, основанная на этом точном решении. С помощью развитых в начале главы методов на фоне этого решения изучена линеаризованная гравитация, и в явном виде найдены уравнения для тензорных искалярных мод.
Поскольку фоновое решение для метрики намного сложнее решения в нестабилизированной модели Рэндалл-Сундрума, эти уравнения не удается решить точно. Поэтому в работе предложено приближение малых u, uL ¿ 1. Из явного вида потенциала V (φ) следует, что приu → 0 зависимость от скалярного поля в нем пропадает, и он превращается в пятимерную космологическую постоянную, а стабилизированнаямодель переходит в нестабилизированную. Поэтому приближение малых uбудет приближением малого отклонения от нестабилизированной моделиРэндалл-Сундрума.В работе показано, что в этом приближении влияние скалярного поляна тензорные возбуждения сводится к перенормировке параметра k неста2 2билизированной модели, который заменяется на k̃ = k− κ̂12φ1 u. В результатеформулы для масс тензорных возбуждений и для связи четырехмерных ипятимерных гравитационных постоянных получаются из соответствующихформул нестабилизированной модели заменой k → k̃.Анализ скалярного сектора показал, что в этом приближении уравнение для флуктуаций скалярного поля могут быть решены точно.
На основеэтих решений были найдены формулы для спектра скалярных возбуждений. В частности, для массы первого возбуждения – радиона – в приближении малых u/k̃ была получена простая формулаµ212 2 2 2 β22.= κ̂ φ1 u 23β2 + 4k̃(5)Как и следовало ожидать, в пределе u → 0, который соответствует переходу стабилизированной модели в нестабилизированную, масса радионаобращается в нуль.10Для физических степеней свободы рассматриваемой модели получен эффективный четырехмерный лагранжиан, который описывает безмассовыйгравитон, массивные гравитоны и набор массивных скалярных полей:∞ R¡¢P1Sef f = − 4dx ∂ σ bk,µν ∂σ bkµν + m2k bk,µν bkµν −k=0− 21∞ RPk=1¢¡dx ∂ν ϕk ∂ ν ϕk + µ2k ϕk ϕk .где b0ρσ - безмассовый гравитон, bnρσ при n > 0 - массивные тензорные моды, а ϕn - канонически нормированные скалярные поля (в частности, ϕ1есть поле радиона).
Далее в этом разделе также приведены уравнения дляспектра масс тензорных и скалярных возбуждений. Заметим, что в моделипоявляются поля, отсутствующие в обычной четырехмерной теории гравитации и обладающие универсальным по форме взаимодействием с полямиСтандартной модели, константа связи которого имеет порядок ТэВ−1 . Таким образом она представляет интерес с точки зрения феноменологии.Необходимо еще отметить, что явный вид фоновых полей и потенциалов использовался только для получения спектра масс и констант связи.Все результаты, связанные с выбором калибровки, расцеплением уравнений движения и структурой скалярного сектора, справедливы в любой модели, стабилизированной с помощью скалярного поля.В третьей главе изучается гравитационное взаимодействие на бранах.Здесь получено общее соотношение, связывающее массы Планка на бранахи фундаментальный пятимерный энергетический масштаб M рассматриваемой стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума без использованиякаких-либо приближений:¶µ¶¾½ µ3kkkMe−2c (2b)− u γ, 2b − γ, 2be−2uL.(6)M42 =uuuВ этой формуле γ есть неполная гамма функция, и для удобства введено2 2обозначение b = κ̂24φ1 ; константа c входит в определение A(y) и выбираетсятаким образом, чтобы координаты {xµ } были галилеевы на соответствующей бране.В рамках приближения uL ¿ 1, используемого в настоящей работе,была получена связь фундаментальной пятимерной гравитационной кон11станты с соответствующими четырехмерными для обеих бран.
В частностидля браны в точке y = L, на которой предположительно находится нашмир, было получено выражениеe2k̃L − 1,(7)k̃откуда видно, что гравитационное взаимодействие на этой бране подавленно благодаря экспоненциальному фактору, то есть на этой бране может быть решена проблема иерархии. Для этого достаточно положитьM ∼ k̃ ∼ 1ТэВ, а k̃L ' 35. Тогда параметр u может быть порядка десятков ГэВ, а масса радиона может быть порядка сотен ГэВ.Также рассмотрен ряд других приближений, для которых были получены связи пятимерных и четырехмерных энергетических масштабов, ипроанализированы возможные значения массы радиона.
В частности, было замечено, что для некоторых значений параметров стабилизированноймодели может сложится ситуация, при которой некоторый единый энергетический масштаб будет справедлив для обеих бран. Эта ситуация описывается уравнениемA(0) = A(L),(8)MP2 l = M 3из которого получается следующее значение параметра b:b=kL.1 − e−2uL(9)Как уже было отмечено, функция A(y) имеет достаточно сложный вид, иточно решить уравнения для скалярного и тензорного поля не представляется возможным. Поэтому опять используется приближение uL ¿ 1, которое представляется достаточно физически обоснованным. В этом случаесвязь энергетических масштабов в терминах массы радиона и расстояниямежду бранами имеет видMP2 l√M 3 µ21 L2e 32 .= 4 2πµ1(10)Если положить массу радиона µ1 ∼ 100 ГэВ, то экспонента в этом выражении порядка единицы, при этом M ∼ 1012 − 1013 ГэВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
