Диссертация (1102730), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Это так называемое туннелирование Клейна для киральных частиц (см., например [78]3).Его присутствие в графене является нежелательным в применениик наноэлектронике. Для преодоления этой трудности можно генерировать щель в спектре, которая будет эквивалентна генерациипространственно–зависимого массового члена. Очевидно, что одновременное существование скалярного потенциального барьера и~ = (A x , Ay) в одной пространвекторного калибровочного поля Aственной области влияет на прохождение электронов, скажем, внаправлении оси x. С целью изучения возможной совместной ролиэтих возмущений, объединим их в модельный гамильтониан (4.2.1).3О парадоксе Клейна для релятивистских электронов стоит обратиться к оригинальной статье [79].73В этом случае предполагается, что движение электронов описывается уравнением Дирака HτΨτ = i∂t Ψτ с дираковским операторомГамильтонаHτ = σ1 − vF i∂ x − A x (~r) +hi+ τσ2 − vF i∂y − Ay(~r) + v2F m(~r) σ3 + V(~r) I,(4.2.3)где τ = ±1 — индекс долины.

Выражение (4.2.3) подразумевает, чтонизкоэнергетическое разложение около другой точки Ферми с τ →−τ приведет к гамильтониану с обращенным временем (t → −t).Отметим, что суммарное влияние от обеих долин, описываемое спомощью 4–спиноров (см., например [26] и указанные там статьи),сохраняет T–инвариантность.Будем считать, что все рассмотренные дефекты лежат в однойпространственной области, взятые, для упрощения, в виде линии,лежащей вдоль оси “y” (x = 0).

Таким образом наша задача состоит в том, чтобы рассмотреть дельта–функциональный предел болеереалистичного барьера, основываясь на нашем схематическом модельном гамильтониане4.Hτ = −iσ1∂ x − iτσ2∂y + Wτ(x),(4.2.4)где мы введем псевдопотенциал Wτ(x)Wτ(x) = V(x)I − A x (x)σ1 − τAy(x)σ2 + m(x)σ3,(4.2.5)4Будем считать, что междолинные взаимодействия малы, недиагональные смешанные члены между спинорами принадлежат различным долинам и мы их рассматривать не будем.74который в дельта–функциональном пределе можно записать в видеWτ(x) = Wτδ(x) = (aI − b1σ1 − b2τσ2 + b3σ3) δ(x).(4.2.6)В уравнении (4.2.4) и далее по тексту, скорость Ферми положимравной единице vF = 1.

Скалярный и векторный потенциалы ичлен массового типа выбраны в виде V(x) = aδ(x), A x = b1δ(x),Ay = b2δ(x), m(x) = b3δ(x), где a, bi (i = 1, 2, 3) — это константы,которые описывают взаимодействие частиц на подрешетках с обеихсторон от линейного дефекта и относятся к параметрам перескока.Применим вышеизложенную схематическую модель к графену слинейными дефектами, возникающими в виде деформаций в структуре или смещений атомов углерода в кристаллической решетке(некоторые из этих дефектов были рассмотрены в работах [80,81]).2+1–мерное уравнение Дирака для нашей моделиhii∂t + iσ1∂ x − τσ2 py − Wτδ(x) Ψτ = 0(4.2.7)имеет стационарные решенияΨ1,τ eipyye−iEt ,Ψτ(~r, t) = Ψ2,τ(4.2.8)где функции Ψi,τ(x), (i = 1, 2) должны быть найдены в процессепредельного перехода5 около дефектной линии x = 0.5Проблема нахождения решения низкоразмерного уравнения Дирака с дельта–функциональным потенциалом была описана в [82–84] (см.

также обсуждения проблемы в [85–87]). Здесь авторы показали, чтоопределениеR Ψ на границе барьера, соответствующее интегрированию δ–функции с условием в пределе → 0таким как: − dxδ(x) f (x) = 21 ( f (+) + f (−)), является неверным, если δ–потенциал рассматривается как пределдля потенциального барьера. В дальнейшем станет понятно, что метод, используемый в настоящей работе,является подходящим для описания предельного случая узкого потенциального барьера, когда ширина короткодействующего “δ–функционального” потенциала принимается большей или сравнимой с шириной интервала, где функция f испытывает скачок.

Используя данный метод, мы приходим к результату, полностьюсогласующемуся с результатом в [78] задачи парадокса Клейна в случае очень высокого и узкого барьера.75Решение свободного уравнения Дирака для τ = +1 (для τ = −1соответствующее решение может быть найдено аналогично) в областях x < 0 и x > 0 может быть записано соответственно (дляупрощения индекс τ = +1 опущен)   1  1 Ψ1  =   eipx x +B  −ipx x ,eiβ− e−iβ eΨ 2(4.2.9)<   Ψ1  = C  1  eipx x ,eiβΨ 2(4.2.10)>где β — угол падения электронной волны по отношению к оси x,p x = p cos β, py = p sin β.4.3 Прохождение через барьерТеперь рассмотрим прохождение через дефектную линию в двухважных частных случаях (см. [57]):1) b1 , 0, a = b2 = b3 = 0 и 2) b1 = 0, a , 0, b2 , 0, b3 , 0.4.3.1 Случай b1 , 0, a = b2 = b3 = 0При этих условиях уравнение Дирака можно переписать в виде0 EΨ1 + iΨ2 + iτpyΨ2 + b1δ(x)Ψ2 = 0,(4.3.1) EΨ2 + iΨ0 − iτpyΨ1 + b1δ(x)Ψ1 = 0,1где Ψ0i = dΨi/dx.

Домножим первое уравнение на Ψ1, а второе наΨ2 и вычтем их друг из друга, чтобы исключить δ–функцию из76уравнения, после чего получим00E(Ψ21 − Ψ22) + i(Ψ1Ψ2 − Ψ2Ψ1) + 2iτpyΨ1Ψ2 = 0.Разделим получившееся выражение на Ψ21 и проинтегрируем по x впределе от −ε до +ε (ε → 0). Считая, что функции имеют конечныйразрыв, получим первое граничное условиеΨ2 +ε = 0.Ψ1 −ε(4.3.2)Далее, разделим первое уравнение из (4.3.1) на Ψ2, а второе на Ψ1 ипроинтегрируем оба уравнения по x в пределе от −ε до +ε (ε → 0).Новые граничные условия можно записать так+εilog(Ψ)2 −ε = −b1 , i log(Ψ1)+ε = −b1.−ε(4.3.3)После подстановки решений свободного уравнения Дирака (4.2.9)и (4.2.10) в (4.3.2) и (4.3.3), вероятность прохождения для обоихзначений индексов долины τ = ±1 будет равна единицеT σ1 = |C|2 = 1.(4.3.4)Получившийся результат можно легко объяснить, посмотрев наструктуру графена.

В двумернойграфена спинорный базис моделиΨ1,τ , где Ψ1,τ, Ψ2,τ относятся к A, Bможно записать в виде Ψτ = Ψ 2,τподрешеткам графена. Матрица σ1 перед δ(x)–функцией в урав-нении Дирака меняет местами компоненты, относящиеся к A и Bподрешеткам, в волновой функции. Но, поскольку, в модели силь77ного взаимодействия для графена (“tight-binding model”) производится суммирование членов по одной подрешетке, либо по A либопо B, то модель графена инвариантна относительно такого родапреобразований A → B, B → A. По этой причине падающая волнадвижется безо всякого отражения, поскольку потенциал −b1δ(x)σ1не формирует барьер на пути распространения волны.4.3.2 Случай b1 = 0, a , 0, b2 , 0, b3 , 0Рассмотрим более общий вариант с a, b2, b3 , 0 и только b1 = 0.Уравнение Дирака (4.2.7) принимает видhiE + iσ1∂ x − τσ2 py − δ(x)(aI − b2τσ2 + b3σ3) Ψτ = 0,(4.3.5)которое можно переписать в виде системы уравнений (индекс τ вволновой функции опущен)0 EΨ1 + iΨ2 + iτpyΨ2 − δ(x)(aΨ1 + iτb2Ψ2 + b3Ψ1) = 0, EΨ2 + iΨ0 − iτpyΨ1 − δ(x)(aΨ2 − iτb2Ψ1 − b3Ψ2) = 0.1(4.3.6)После нескольких дальнейших преобразований и вычитания уравнений одного из другого, чтобы избавиться от δ–функции (аналогично преобразованиям предыдущей части), можно получить следующее выражение!#+ε1Ψ11arctan(a + b3) + iτb2 = i,−εNNΨ2"qгде N =b23 + b22 − a2.

ПодставляяΨ1Ψ2(4.3.7)с волновыми функциямиΨi(x = ±ε) из (4.2.9) и (4.2.10), находим вероятность прохождения78для обоих значений индекса долины τ = ±11cos2 βT I,σ2,σ3 (τ) = |C| = 1 − |B| =.22cosh2 N cos2 β + (a−b2 2τ2sin β)tanh Nb +b −a22232(4.3.8)Для пучка электронов, распространяющихся в сторону линейного дефекта, отраженные электроны будут долинно–поляризованые.Долинная поляризация определяется как [88]Pτ =T (τ=+1) − T (τ=−1)T (τ=+1) + T (τ=−1)(4.3.9)и будет равна2ab2 sin β tanh2 NPτ =.22222222cos β(b3 + b2 − a ) + (a + b2 sin β) tanh N(4.3.10)Как видно из формулы, долинная поляризация будет равна нулюпри угле падения β = 0.4.3.3 Сравнение с другими моделямиОчень полезно будет сравнить результаты предыдущей частинастоящей главы, где мы включили три матричных коэффициентаперед δ(x)–функцией, I, σ2, σ3, с некоторыми важными частнымислучаями, описанными в литературе.1) Скалярный потенциальный барьер [78]Очевидно, что единичная матрица I в (4.2.1), (4.2.6) отвечает задиагональные псевдоспиновые преобразования A → A, B → B поотношению к дефектной линии, т.е.

плоскость графена с левой сто79роны от дефекта является зеркальным отражением графена правойстороны графена. Этот случай сопоставим с задачей модели графена со скалярным (электростатическим) потенциальным барьеромпрямоугольной формы, рассмотренным в [21] V0, x ∈ 0, D ;V(x) =  0, x < 0, D .(4.3.11)Авторы в [78] получили вероятность прохождения через барьер такого типа в видегде q x =qcos2 βTD =,221 − cos (q x D) sin β(4.3.12)(E − V0)2/~2v2F − ky2.Стоит отметить, что в пределе D → 0, V0 → ∞, q x D < ∞, где Dи V0 — ширина и высота потенциального барьера соответственно,данный результат можно привести к нашему выражению (4.3.8)для вероятности прохождения через дельтаобразный барьер, еслиположить b2 = b3 = 0, a , 0 и q x D = acos2 βTa =.221 − cos a sin β(4.3.13)Таким образом мы показали, что при использовании предложенного метода предельного перехода от физического дефекта к дельтаобразному описанию получившегося барьера, а также, при соответствующем выборе граничного условия для Ψ получается физически оправданный результат.802) Дефектная линия, состоящая из двух пентагонов и одного октогона [54, 55]Рассмотрим модель графена с дефектной линией, состоящей изпентагональных и октогональных углеродных колец, обнаруженную сравнительно недавно и описанную в [54,55,80,81].

В работе [55]авторы, используя модель сильного взаимодействия и формализмфункций Грина, получили следующий результат для вероятностипрохождения через дефектную линию в низкоэнергетическом пределеT (τ=±1) =τ41 cos2 β(τ41 + τ22) ∓ 2τ21τ2 sin β,(4.3.14)где τ1, τ2 — параметры перескока (“hopping parameters”, см. Рис.4.1).Рис. 4.1: Линейный дефект, состоящий из периодически повторяющихся двухпентагонов и одного октогона. Красным цветом обозначена подрешетка A, синим — подрешетка B; t, −τ1 , −τ2 — параметры перескока.81Используя обозначения авторов x = τ2/τ21, можно переписать результат (4.3.14) в видеT (τ=±1)cos2 β.=(1 + x2) ∓ 2x sin β(4.3.15)Для сравнения этого результата с нашей задачей, рассмотримчастный случай выражения (4.3.8), где b3 = 0, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации