Диссертация (1102730), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Такойэффективный барьер может создаваться фермионным конденсатомза счет четырехфермионного взаимодействия.В рамках данной задачи мы рассмотрели два варианта такогобарьера, формируемого σ1δ– и σ2δ– потенциалами. Из полученногорезультата следует, что σ2δ–потенциал не создает препятствия дляпрохождения фермионов через такой эффективный линейный барьер, а в случае σ1δ– потенциала коэффициент прохождения равенединице при любом значении V0 только при значении угла φ = π/2.66Глава 4Псевдопотенциальная модель длядираковских электронов в моделиграфена с линейными дефектами4.1 ВведениеВ последнее время особенный интерес к моделям с 2+1 измерением возникает в физике конденсированного состояния вещества.Примером такой важной физической модели является графен [17–19], плоский слой атомов углерода толщиной в один атом, соединённых в гексагональную двумерную кристаллическую решётку.
Правильная шестиугольная кристаллическая решетка графена можетбыть представлена в виде суперпозиции двух треугольных решеток, A и B. Основываясь на недавних открытиях, было обнаружено,что графен обладает рядом замечательных свойств. Например, вработах [20, 21, 53] были исследованы такие свойства, как аномальный эффект Холла, проводимость и другие необычные свойстваматериала.Поведение электронов в модели графена можно описать с по67мощью эффективного уравнения Дирака для безмассовых фермионов. Это уравнение можно получить исходя из непрерывного предела для модели “сильной связи” (“tight-binding model”) [24–27].Калибровочная теория для модели графена была сформулирована в работе [70]. Дальнейшие теоретические исследования двумерных квантовых систем с ближним взаимодействием, описываемыхэффективным уравнением Дирака в 2+1 пространстве–времени, сразличными топологическими свойствами были описаны в [71–73].Стоит отметить, что несмотря на визуальное сходство, данное уравнение не является релятивистским волновым уравнением, а возникает из линеаризации энергии как функции импульса вблизи дираковских точек, т.е.
в областях пересечения распределения энергиис уровнем Ферми.Совсем недавно в ходе экспериментов в структуре графена былиобнаружены различного рода дефекты. Теоретические исследования таких моделей в последнее время вызывают большой интерес(см., например [54, 55, 74, 75]). Такие дефекты формируют неоднородные плотности на пути распространяющихся частиц, что можетпривести к нетривиальным свойствам прохождения через полученный эффективный барьер.
Недавние исследования в области дефектов в графене являются примерами таких задач. Стоит отметить топологический линейный дефект, обнаруженный экспериментально, состоящий из одного октогонального и двух пентагональных углеродных колец, периодически повторяющихся вдоль одногонаправления, встроенные в идеальный лист графена [54]. Очевидно, что многие новые приложения для низкоразмерных структурмогут быть реализованы, когда проблемы транспорта в них хоро68шо исследованы.
В частности, поскольку линейные дефекты имеютпростую геометрию, это делает их простыми для теоретическогоисследования и удобными для использования в задачах контролятранспорта частиц в графене. В данном контексте стоит упомянуть недавнее теоретическое исследование электронного транспорта в графене через дефектную линию [55], базирующееся на методефункций Грина.Основной задачей настоящей главы является исследование линейных дефектов, как барьеров для прохождения электронов с помощью эффективного уравнения Дирака для фермионов в однослойном графене [24–26, 52, 53], в рамках схематической псевдопотенциальной модели. Наша мотивация для рассмотрения такой модели основывается на идее о том, что дефекты в графене можноописать с помощью эффективных индуцированных калибровочныхполей, возникающих из-за возмущений в параметрах перескока вмодели “сильной связи” [27,37,53].
Таким образом стартовой точкойв нашей задаче будет общее выражение для гамильтониана, включающего в себя эффективные индуцированные калибровочные потенциалы и член массового типа. На этом базисе мы рассмотримвсе возможные типы возмущений–барьеров в конфигурации калибровочных полей и члена массового типа. Положение всех видов линейных дефектов для удобства выберем в одном и том же местена оси x и будем описывать как предельный случай псевдопотенциального члена W(x), который зависит от псевдоспинового (подрешеточного) индекса и индекса долины (дираковской точки).
Таким образом, задача описания линейного дефекта в плоской модели может быть сведена к использования дельта-функционального69псевдопотенциала W(x) = Wδ(x), где матричный фактор W включает в себя параметры, характеризующие силу взаимодействия всочетании с матрицами Паули, имитирующие псевдоспиновую идолинную структуру дефектной линии. После определения необходимых граничных условий, это, наконец, позволяет найти точныеаналитические решения в простом виде. Сравнение наших общихрезультатов с некоторыми частными случаями дефектов, таких какдефект, содержащий пентагональные и октогональные углеродныекольца [54, 55], подтверждает наше предположение о том, что дефекты в графене могут быть описаны гамильтонианом, содержащим эффективные векторные и скалярные потенциалы, зависящиеот изменений в ближней–соседней (nearest–neighbor “ NN”) и следующей от ближней–соседней (next–nearest–neighbor “ NNN”) амплитудах перескока.В части 2 настоящей главы представлено общее выражение длягамильтониана, содержащего индуцированные калибровочные потенциалы и член массового типа, и дано обоснование того, как получить соответствующий псевдопотенциал как дельта–функциональныйпредел более реалистичной полевой конфигурации для барьера.Часть 3 содержит необходимые граничные условия для уравненияДирака с псевдопотенциалом и явные выражение для вероятностипрохождения и долинной поляризации, описывающие электронныйтранспорт через дефектную линию.
Сравнение общего случая снекоторыми частными случаями линейных дефектов тоже содержатся в части 3. В части 4 настоящей главы содержится численныйанализ получившихся результатов.704.2 Псевдопотенциал для эффективного двумерногоуравнения ДиракаРассмотрим плоскую систему, моделирующую графен с электронами в 2+1 пространстве–времени (см. [57]). Член, отвечающийза взаимодействие (возмущение), в эффективном дираковском гамильтониане, описывающем электроны в графене, может возникать из-за различных физических механизмов. Такие возмущениямогут возникать из-за нескольких типов беспорядков, таких кактопологические решеточные деффекты, деформации и кривизны.Эти дефекты ожидаемо возникают в графене.
Многие эксперименты показывают сильные смещения в образцах, выращенных на различных подложках или металлических поверхностях (см., например [37, 76] и указанную там литературу). Стоит отметить, что изменения в расстояниях между атомами и в перекрытии различныхорбиталей из-за деформации или искривления приводят к изменениям в ближней–соседней (nearest–neighbor “ NN”) и следующей отближней–соседней (next–nearest–neighbor “ NNN”) амплитудах перескока. Такие изменения приводят к появлению векторных потенциалов A x (~r), Ay(~r) (члены, содержащие эти потенциалы, должныиметь вид калибровочного поля с матричной структурой матрицПаули σ1 и σ2) и скалярного потенциала V(~r) в дираковском гамильтониане [27, 37, 53].
Более того, в случае конечной массы гамильтониан для дираковских электронов должен содержать, зависящий от ~r, массовый член t0 = v2F m(~r) (m(~r) – это эффективнаямасса с σ3 матрицей), из-за которого электронный спектр будетсодержать конечную энергетическую щель. На практике такой мас71совый член можно получить, покрыв поверхность графена молекулами газа [68], или при помещении графена на поверхность нитридабора [69, 77].Для решения поставленной задачи воспользуемся моделью, построенной во Введении настоящей диссертации в части “Теоретическая модель графена с учетом неоднородности структуры” (см.стр. 20–26). Стартовой точкой нашего исследования, как уже былосказано выше, будет следующее общее выражение для гамильтониана, включающего в себя индуцированные калибровочные потенциалы и член массового типа1XZn 2†H =d x Ψτ (~r) σ1 −vF i∂ x − A x (~r) +τ=±1hio+ τσ2 −vFi∂y − Ay(~r) Ψτ(~r) +ZX+d2 xΨ†τ (~r) t0(~r)σ3 + V(~r) I Ψτ(~r).(4.2.1)τ=±1Здесь спиноры в двумерной плоскости Ψτ(~r) (τ = ±1, ~r = (x, y))имеют две компонентыΨ1,τ ,Ψτ(~r) = Ψ2,τ(4.2.2)которые описывают электроны на двух A, B подрешетках (i = 1, 2);σi — это 2 × 2 матрицы Паули, I — единичная матрица, vF — скорость Ферми2.~ = (A x , Ay ) соединяется с псевдоспиновымиСтоит отметить, что индуцированное калибровочное поле Aспинорными компонентами как комплексное поле A = A x + iAy , в то время как скалярный потенциал Vявляется реальным.
Для других точек Дирака стоит выбрать комплексно–сопряженное поле A∗ [27, 53].2Наш выбор знаков перед импульсами и компонентами векторных потенциалов в гамильтониане, по существу, соответствует задачам [20, 27]. Он может отличатся от других статей, в которых приняты другиеобозначения. Тем не менее, конечный результат не зависит от выбора обозначений.172Физический спин электронов, обусловленный свойствами волновой функции из-за пространственного вращения электрона, исключен из рассмотрения в нашем анализе.
Спинорная природа волновой функции берет свое начало в подрешеточной степени свободы,называемой псевдоспином. Индекс τ = ±1 относится к двум точкам Ферми K, K 0, относящимся к долинам по углам в первой зонеБриллюэна и играющим роль индекса ароматов.Кроме указанных выше эффективных калибровочных полей,электростатический потенциал тоже может влиять на распространение электронов в графене (см., например [78]). Член, отвечающий за это взаимодействие, может быть включен в гамильтонианкак электростатический скалярный потенциал eΦ(~r) (и векторный~elm).потенциал eAСуществует замечательное свойство “релятивистских” дираковских электронов в графене туннелировать через такого рода потенциальный барьер с вероятностью единица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
