Диссертация (1102730), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

На Рис. 2.5 показана зависимость тока Jind отвеличины m при разных значениях радиуса компактификации RΛ,но при одинаковом значении ν = aR.Рис. 2.5: Зависимость индуцированного тока от m для одного значения ν приразных радиусах компактификации.57При тех значениях ν = eA3R, при которых величина ν̃ ( ν̃ = ν − nпри ν > 0 и ν̃ = ν + n при ν < 0, где n — максимальное целое число,меньшее |ν|), принимает малые значения (эти точки соответствуютмаксимумам потенциала), ток будет равенJind(σ = 0, a) ≈eν̃ln ν̃2.4πR(2.3.4)При тех значениях ν = eA3R, при которых величина ν̃ = ν − 2n+12при ν > 0 и ν̃ = ν+ 2n+12 при ν < 0, где n — максимальное целое число,меньшее |ν|), принимает малые значения (эти точки соответствуютминимумам потенциала), ток будет равенJind(σ = 0, a) ≈eν̃ln 2,2πR(2.3.5)что соответствует поведению кривой тока, приведенной на Рис.

2.3.2.4 ВыводыВ настоящей главе была исследована модель нанотрубки с размерностью R2 × S 1. В рамках данной задачи было установлено, чтов выражение для фермионной щели кроме динамического вкладаот конденсата m из-за четырехфермионного взаимодействия, входит кинетический вклад — фаза Ааронова–Бома, рассчитанная изусловия минимума эффективного потенциала модели. Стоит отметить, что в нашей модели кинетический (топологический) вклад вфермионную щель был найден как минимум энергии (в отличие отзадачи [39]).График зависимости фермионной щели от фазы Ааронова–Бома58показан на Рис.

2.2, из которого видно, что в модели генерируются две массы. Сплошная линия показывает известную зависимостьщели, аналогично работе [39]. Пунктирная линия на графике показывает, что из-за наличия в модели четырехфермионного взаимодействия генерируется малая масса, много меньше массы Калуца–Клейновских фермионов.В рамках настоящей задачи была рассчитана критическая константа связи модели (см.

выражение 2.2.7).Также, в настоящей главе была рассмотрена возможность генерации индуцированного тока в 2+1 – мерной модели в дополнительном измерении. Мы показали, что именно эффект вакуумнойполяризации приводит к возможности образования индуцированного тока. Заметим роль нетривиальной топологии, которая черезпосредство вакуумных эффектов проявляется в возникновении вакуумного тока.

Выражение для индуцированного тока дается формулой (2.3.1). Зависимость тока в критической точке m = 0 от значения полевого параметра изображена на Рис. 2.3. При значенияхν = eA3R, соответствующих максимуму эффективного потенциала, поведение индуцированного тока можно описать выражением(2.3.4), а при значениях, соответствующих минимуму, выражением(2.3.5). Зависимость индуцированного тока от поля имеет периодический характер и значение тока обращается в ноль при ν = n/2(ν = eA3R; n = 0, ±1, ±2, . . . ).Последующее развитие данной проблемы, как нам кажется, может помочь в описании структуры и свойств более реальных систем, таких как графен с линейными дефектами, нанотрубки и фулерены.59Глава 3Прохождение через барьер вдвумерной четырехфермионноймодели с двумя типамифермионов3.1 ВведениеВ настоящей главе рассматривается плоская двумерная модель счетырехфермионным взаимодействием в отсутствии компактификации.

В данной модели исследуется взаимодействие двух типовфермионов, аналогично Главе 1, но в рамках другой задачи. Такое взаимодействие создает конденсат, расположенный вдоль оси x,формируя эффективный линейный барьер для прохождения фермионов. В данной главе мы рассмотрим двухфермионную систему,не накладывая условия периодичности, т.е. предполагая возможность распространения фермионов по всей плоскости (x, y), однакона прямой y = 0 мы расположим препятствие в виде δ–образногопотенциала. Нашей задачей будет вычислить вероятность прохож60дения фермионов через этот δ-образный барьер (см.

[66]).Одним из возможных физических примеров такой модели является линейная дислокация атомов или молекул различных веществна поверхности графена [52, 67–69]. В данных задачах конденсатсоздается путем покрытия поверхности графена молекулами газаили при помещении графена на поверхность нитрида бора.3.2 Коэффициент прохожденияВоспользуемся лагранжианом для задачи двух типов фермионов(см. Главу 1), который мы запишем в двух вариантах — для моделейс δ – потенциалами: σ2δ – потенциалом и σ1δ – потенциалом.1) σ2δ – потенциалЛагранжиан модели запишем следующим образомL = Ψ iγ0∂t − iγ1∂ x − iγ2∂y Ψ+ih + L iγ0∂t − iγ1∂ x L − iΨγ2∆L + iLγ2∆Ψ δ(y).(3.2.1)Здесь ∆ — константа, представляющая собой высоту барьера, играющая роль массы фермионов, возникающая из-за четырехфермионного взаимодействия (см.

Главу 1); γ–матрицы выбраны в виде(σi — матрицы Паули)1 0 0 i  0 1 = σ3, γ1 =  = iσ1, γ2 =  = iσ2.γ0 = 0 −1i 0−1 0(3.2.2)Уравнения Лагранжа для данной модели выглядят следующим об-61разомhi iγ0∂t − iγ1∂ x − iγ2∂y Ψ − iγ2∆δ(y)L = 0,hi (iγ0∂t − iγ1∂ x ) L − iγ2∆Ψ δ(y) = 0.(3.2.3)Домножив оба уравнения на γ0 и учитывая, что γ02 = 1, γ0γ1 = −σ2,γ0γ2 = σ1, получимhi i∂t + iσ2∂ x − iσ1∂y Ψ − iσ1∆δ(y)L = 0,hi (i∂t + iσ2∂ x )L − iσ1∆Ψ δ(y) = 0.(3.2.4)Для соответствия обозначениям Главы 1, где рассматривалась модель с той же дефектной линией и с похожим лагранжианом, но сучетом компактификации, произведем замену σ2 → σ1, σ1 → −σ2и ∆ → −∆ с тем, чтобы дефектная линия в обоих случаях описывалась соответствующими матрицами Паули.Рассмотрим стационарные состояния, заменяя i ∂t → E и p̂ x → p x ,после чего получим систему уравнений~~E−σpψ − iσ2 L∆δ(y) = 0,hi (E − σ1 p x )L − iσ2∆Ψ δ(y) = 0.(3.2.5)Можно переписать систему уравнений в терминах двумерных спиноров ψT = (ψ1, ψ2), LT = (l1, l2)( p̂ x − i p̂y)ψ2 = Eψ1 − ∆δ(y)l2, ( p̂ x + i p̂y)ψ1 = Eψ2 + ∆δ(y)l1,p̂ x l2 = El1 − ∆ψ2|y=0, p̂ x l1 = El2 + ∆ψ1|y=0.62(3.2.6)После небольшого преобразования можно получить p̂ x (ψ2 ± ψ1) − i p̂y(ψ2 ∓ ψ1) = E(ψ1 ± ψ2) − ∆δ(y)(l2 ∓ l1), p̂ x (l2 ± l1) = E(l1 ± l2) − ∆(ψ2 ∓ ψ1)|y=0.(3.2.7)Исключим из уравнений компоненты li, тогда для ψ1 ± ψ2 получим(p x ∓ E)(ψ2 ± ψ1) − i p̂y(ψ2 ∓ ψ1) = ±∆2δ(y)ψ2 ± ψ1,E ± px(3.2.8)или222 (p x − E )(ψ2 + ψ1) − i p̂y(ψ2 − ψ1)(E + p x ) = ∆ δ(y)(ψ2 + ψ1), (p2 − E 2)(ψ2 − ψ1) − i p̂y(ψ2 + ψ1)(−E + p x ) = ∆2δ(y)(ψ2 − ψ1).x(3.2.9)Сначала домножим первое уравнение на ψ2 −ψ1, а второе на ψ2 +ψ1,после чего вычтем одно из другого, чтобы исключить δ−функцию.Проинтегрируем получившееся выражение вблизи y = 0, после чегополучимε(χ − ϕ ) = 0,−ε22(3.2.10)гдеϕ = (ψ1 + ψ2) E − p x , iχ = (ψ2 − ψ1) E + p x .pp(3.2.11)Это первое граничное условие.Вернемся к системе уравнений и теперь домножим первое на(ψ2 + ψ1)(p x − E), а второе на (ψ2 − ψ1)(E + p x ) и вычтем одно издругого, после чего получим(ψ1 + ψ2)(−i p̂y)(ψ2 − ψ1) − (ψ2 − ψ1)(−i p̂y)(ψ2 + ψ1)∆2δ(y)1+=− 2.(ψ2 + ψ1)2(p x − E) − (ψ2 − ψ1)2(p x + E)E − p2x(3.2.12)63Учитывая первое граничное условие (3.2.10), проинтегрируем получившееся выражение вблизи y = 0, используя замену переменных!0ψ01ψ2 − ψ02ψ1ψψ110=t= ; t =.(3.2.13)ψ2ψ2ψ22В результате получимε∆2i ln(ϕ + χ) = − p.22−εE − px(3.2.14)Это второе граничное условие.Оба граничных условия можно записать в виде(χ + ϕ)ε= eiV0 ,(χ + ϕ)−ε(χ − ϕ)ε= e−iV0 ,(χ − ϕ)−εгде V0 = √ ∆22E −p2x(3.2.15)(3.2.16).Решение для свободного уравнения Дирака для y > 0 и y < 0можно записать в виде    1 ψ1 1 ipx+ipyxyψ< =   =  iφ e+B  −iφ eipx x−ipyy,eeψ2(3.2.17)<  ψ1 1 ψ> =   = C  iφ eipx x+ipyy .(3.2.18)eψ2>√√Здесь p x = p cos φ, py = p sin φ, откуда E + p x = p 2 cos φ2 ,√√E − p x = p 2 sin φ2 .После подстановки этих решений в граничные условия (3.2.15),64(3.2.16) получимC = eiV0 ,(3.2.19)откуда следует, что коэффициент прохождения в этом случае равенединице, T = 1.2) σ1δ – потенциалЗаменим матрицу σ2 → σ1 в потенциале взаимодействия, послечего получим систему уравнений Лагранжа, аналогичную (3.2.5)~ ~p)ψ − iσ1 L∆δ(y) = 0, (E − σhi(3.2.20) (E − σ1 p x )L − iσ1∆Ψ δ(y) = 0.Проделав вычисления, аналогичные предыдущемуразделу, полуεчим первое граничное условие (χ2 − ϕ2) = 0, где−εϕ = (ψ1 + ψ2) E + p x , iχ = (ψ2 − ψ1) E − p x ,p(3.2.21)ϕ p̂yχ − χ p̂yϕ∆2δ(y)= p.22ϕ2 − χ2E − px(3.2.22)pи второе граничное условиеДанное уравнение похоже на уравнение из первой части этого раздела, откуда, учитывая новые обозначения (3.2.21), получимiφ/2−iφ/2iφ/2 −iVcos φ, C e e 0 = e +B e C eiφ/2 eiV0 cos φ = eiφ/2 cos φ + B e−iφ/2 .(3.2.23)Решение этих уравнений выглядит такsin2 φC = −iV,e 0 − cos2 φ eiV065(3.2.24)откуда получим значение коэффициента прохождения (см.

[66])sin4 φT = |C| =.1 + cos4 φ − 2 cos2 φ cos 2V02Если V0 =π4+πn2,(3.2.25)n ∈ Z (cos 2V0 = 0), то коэффициент прохож-дения будет равен единице, только при φ = π/2. При остальныхзначениях угла φ коэффициент прохождения T < 1.Если V0 = πn, n ∈ Z (cos 2V0 = 1), то коэффициент прохождениявсегда будет равен единице.Если V0 =π2+ πn, n ∈ Z (cos 2V0 = −1), то коэффициент про-хождения будет равен единице, только при φ = π/2. При любыхостальных значениях угла φ коэффициент прохождения через барьер будет меньше единицы.3.3 ВыводыВ настоящей главе мы исследовали плоскую модель с двумя типами фермионов. В рамках поставленной задачи был получен коэффициент прохождения фермионов через линейный барьер в плоской 2+1 мерной модели в отсутствии калибровочного поля.

Характеристики

Список файлов диссертации