Диссертация (1102730), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В этихмоделях рассматривается влияние реального магнитного поля наповедение фермионов. Существование такого магнитного поля ведет к редукции числа измерений на две единицы D+1 → (D−2)+1,следовательно все эти модели имеют малое число измерений. Реальное магнитное поле в данной задаче создает только магнитный47поток, что соответствует задаче Ааронова–Бома [43].В 1959 году Якиром Аароновым и Дэвидом Джозефом Бомомбыл предсказан эффект, согласно которому электромагнитное полев той области, где напряженность электрического поля и индукциямагнитного поля равны нулю, может влиять на поведение заряженной частицы на квантовом уровне.
Действительно, если в такомслучае не равен нулю электромагнитный потенциал, то именно они оказывает влияние на зараженные частицы. Эффект Ааронова–Бома был проверен экспериментально, сначала в 1960 году [63], апотом и в 1986 [64] в опытах со сверхпроводящими материалами.В дальнейшем, задачи типа Ааронова–Бома стали широко исследоваться и данное направление получило большое развитие.Из недавних работ стоит отметить, например [39, 65].
В работе [39] рассматривается модель в размерности R2 × S 1 - углеродная нанотрубка. В рамках этой модели рассматривается генерацияфермионной массы с помощью потенциала поля из компактифицированного измерения (механизм Хосотани [58]), рассчитываетсяэффективный потенциал модели и с помощью уравнения щели находится выражение для фермионной щели как экстремум эффективного потенциала. Эта щель будет убывать с магнитным полем, идинамическое нарушение симметрии происходит не так, как в большинстве известных случаев. Поскольку в данной задаче магнитноеполе выбрано параллельно оси цилиндра, оно не влияет на движущиеся заряженные частицы, а создает лишь магнитный поток,авторы руками добавляют к динамическому вкладу в щель кинетический 2πφ|| - фазу Ааронова-Бома, где φ|| =eAy L2π ,и эта полнаящель будет возрастать с магнитным полем.
Эта добавленная фаза48была вычислена в работе [65]. В данной задаче была рассмотренамодель размерности R3 × S 1 без внешнего магнитного поля. Приэтих условиях фаза Ааронова–Бома получается из условия ненулевого электромагнитного векторного потенциала, который нельзясвести к нулю выбором калибровки из-за условия периодичности.В этой задаче фаза Ааронова–Бома не внешний параметр, как в работе [39], а определяется из минимума энергии. Авторы выбираютвнешнее поле третьей компоненты как Āν = ∆δν3, которое подчиняется калибровочному преобразованию Aµ → Aµ − 1e ∂µα, где α подчиняется следующим граничным условиям α(x3 +a) = α(x3)+2πl, l ∈ Z,a-длина дополнительной размерности (2πR).
После этого из условия минимума эффективного потенциала можно получить Ā3 =πea ,(l = 1).В первой части настоящей главы исследуется влияние магнитного потока на генерацию фермионной массы в модели нанотрубкиразмерности R2 × S 1 с двумя типами фермионов, что схоже с работами [39, 65].Кроме влияния на генерацию фермионной массы, ненулевой потенциал A3 третьей компоненты поля сказывается на появлениииндуцированного тока.
Недавно в работе [45] была рассмотрена поляризация вакуума в поле тонкого соленоида и исследовано возникновение индуцированного тока. В качестве применения полученного ими результата авторы рассмотрели графен в поле соленоидаперпендикулярного плоскости образца.Во второй части настоящей главы будет исследоваться индуцированный ток, возникающий благодаря поляризации вакуума в калибровочном поле, заданном третьей компонентой потенциала A349в 2+1-мерной модели [60] с двумя типами фермионов, живущимина бране и во всем объеме образца.2.2 Вклад фазы Ааронова–Бома в фермионную щельВ настоящей главе мы будем исследовать модель с лагранжианом, аналогичным лагранжиану Главы 1, но с другой точки зрения.После компактификации третьей координаты будем рассматриватьполучившуюся модель как нанотрубку с магнитным полем, направленным вдоль оси нанотрубки (см.
[60]). Такое магнитное поле небудет влиять на поведение электронов, но ненулевой потенциал A3,направленный вдоль окружности радиуса R (т.е. вдоль компактифицированной третьей координаты), будет вносить свой вклад в генерацию фермионной массы. Постановка нашей задачи отличаетсяот двух предыдущих случаев [39,65] наличием четырехфермионного взаимодействия в R2 × S 1 размерности и фазового параметра αв периодическом (антипериодическом) граничном условии.Граничные условия по третьей координате выглядят следующимобразом:Ψ(xµ, x3 + 2πR) = Ψ(xµ, x3),(2.2.1)а компактификация дополнительного измерения так:Ψ(xµ, x3) = N∞XΨn(xµ) exi R3 (n+α).(2.2.2)n=−∞Лагранжиан нашей модели инвариантен относительно калибровочных преобразований Aµ → Aµ + 1e ∂µβ и Ψ → eiβ Ψ, где β =x3 nR ,n ∈ Z.Поскольку наш параметр поля a c точностью до e аналогичен ∆ в50работе [65], то находя экстремум эффективного потенциала по па∂Vnαраметру a ∂a = 0 , получим условие α − n = aR, или 2R= 2R− 2a .Преобразуем выражение для потенциала поля A3 работы [65]A3 =1π=,ea 2eR(2.2.3)поскольку в работе [65] a = 2πR — длина третьего измерения.Обратимся к работе [39], преобразуем фазу Ааронова–Бома2πφ|| 2π aAy L== eAy.LL 2π(2.2.4)Следовательно в работе [65] фаза Ааронова–Бома равнаeA3 = e∆ =1.2R(2.2.5)Поскольку в нашей работе присутствует параметр фазового смещения α, выражение для фазы будет несколько другим.
Подставляя n = 1 в условие минимума эффективного потенциала, получим1 α12R = 2 R − a = ϕ — искомая фаза Ааронова–Бома. Откуда следуетчто кинетический вклад для фермионов в виде фазы Ааронова–Бома включен в выражение для фермионной щели, получаемойкак собственное значение массовой матрицы (см. [60])s!2q1 α1 αλ=−a ±− a + |m|2 = ϕ ± ϕ2 + |m|2.2 R2 R(2.2.6)Также в работе [65] было показано, что состояние с наименьшейэнергией соответствует фермионам с антипериодическими граничными условиями A3 ≡ ∆min =πea=12eR(a = 2πR), что соответствуетполученному результату в нашей задаче: amin =5112R(a = eA3) приантипериодических граничных условиях (α = 12 ), откуда A3 =12eR .Стоит отметить, что в рамках модели [39] также была рассчитана критическая константа связи, преобразуя которую, можно получить выражение схожее с критической константой нашей задачиπLG=lnch(LΛ)−cos(2πφ|| )1−cos(2πφ|| ),(2.2.7)с той лишь разницей, что в нашей модели присутствует фазовыйпараметр α.Рис.
2.1: Зависимость эффективного потенциала Veff от m a) при различныхзначениях радиуса компактификации и a = 0, б) при различных малых значениях параметра поля a. Минимум эффективного потенциала достигается приmR ' 0.1.Рассмотрим зависимость фермионной щели от фазы Ааронова–Бома (λR от 12 (α − aR) = ϕR) аналогично работе [39] и убедимся в схожем поведении графика. Поскольку уравнение для щели52включает дополнительный параметр m, мы должны его зафиксировать.
Уравнение щели∂V∂σв нашем случае не решается аналити-чески, оценку для m получим из графика зависимости Ve f f Λ−2 отmΛ−1 при малых значениях поля A3, поскольку при больших значениях поля фермионная щель будет иметь линейную зависимостьот фазы Ааронова–Бома и mR можно будет исключить как малыйпараметр.
Из Рис.2.1а)б) видно, что минимум эффективного потенциала достигается при mR ' 0.1, масса мало меняется и значитее можно зафиксировать. Стоит отметить, что при нахождении λмы выбрали приближение mR 1, теперь можно с точностью сказать что это был обосновано. Теперь построим зависимость λR отϕR (см. Рис.2.2) и убедимся что поведение щели в зависимости отфазы Ааронова–Бома получается схожим с работой [39].Рис. 2.2: Зависимость фермионного конденсата λR от фазы Ааронова–БомаϕR = (α − aR)/2.53Отличие нашей задачи заключается в наличии четырехфермионного взаимодействия, поэтому на Рис.2.2 присутствует втораяветвь где видно, что наряду с возрастающей с фазой Ааронова–Бома фермионной щелью генерируется и малая масса, много меньшая Калуца–Клейновских мод, что было обсуждено в данной работе в Главе 1.2.3 Индуцированный токРассмотрим эффект вакуумной поляризации, приводящий к возможности образования индуцированного тока в модели нанотрубки с лагранжианом, аналогичным лагранжиану Главы 1 (см.
[66]).Данная задача схожа с [45], где рассматривалась вакуумная поляризация в модели графена в поле тонкого соленоида. Заметим,что именно нетривиальная топология через посредство вакуумныхэффектов проявляется в возникновении вакуумного тока. Индуцированный ток J =∂Veff∂A3направлен вдоль третьей координаты и егоможно найти с помощью формулы (1.4.7)Jind =Z∞0dx x 12 eR sin(2πν) (m4 π2 R2 − x2 ).[ch(2πRx) − cos(2πν)] x2 + 2πRx|m|2 sh(2πRx) + [ch(2πRx) + cos(2πν)](πR|m|2 )2(2.3.1)Следует заметить, что приведенный выше интеграл сходится ипоэтому мы смогли распространить верхний предел Λ до бесконечности.Как видно из выражения (2.3.1), ток является периодическойфункцией ν = eA3R и обращается в нуль при ν = n/2 где n =0, ±1, ±2, .
. . , т.е. при eΦ/2π = n/2, где Φ = 2πRA3 — поток калибровочного поля, описываемого потенциалом A3.54Интеграл (2.3.1) в критической точке m = 0 в согласии с (1.4.8)упрощается и принимает вид1Jind = − eR sin(2πν)2Z∞xdx.ch(2πRx) − cos(2πν)(2.3.2)0Рис. 2.3: Зависимость индуцированного тока от a в критической точке m =0 при разных значениях радиуса компактификации R. Индуцированный токобращается в нуль при aR = n/2.График зависимости индуцированного тока Jind от величины по55левого параметра a = eA3 в случае m = 0 показан на Рис. 2.3, гдедля удобства численных вычислений мы обезразмерили переменныеJind/e → Jind(eΛ)−1, a → aΛ−1, R → RΛ(2.3.3)параметром верхнего обрезания Λ (см. (1.4.6)).
Стоит заметить, чтов таком случае величина ν = aR остается безразмерной.Графики зависимости индуцированного тока Jind от величины mпоказаны на Рис. 2.4 и Рис. 2.5, где тоже введено обезразмериваниепеременных.Рис. 2.4: Зависимость индуцированного тока от m для одного значения радиусакомпактификации при разных ν.56На Рис. 2.4 показана зависимость тока Jind от величины m приразных значениях ν = aR при одном и том же значении радиусакомпактификации RΛ = 1. Значения полевого параметра aΛ−1 =0.25 и aΛ−1 = 0.75 выбраны с разных сторон от экстремума потенциала (1.4.8) ν = n/2 (в данном случае ν = 0.5), чтобы производнаяот потенциала имела разные знаки, а значит ток Jind =∂Veff∂A3имелразное поведение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
