Диссертация (1102730), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1.1: Зависимость эффективного потенциала от mΛ−1 при нулевом значениипараметра фазового смещения α.(см. [60]) найдем (в дальнейшем для сокращения выражений мыполагаем α = 0, так как включение конечного значения фазы α,входящей аддитивно с aR, может быть легко учтено в конечномрезультате):1Veff (σ, a) = |σ| −4πZΛ2 hi2dx x ln x ch(2πRx) − cos(2πRa) +0 h2 2+ 2πRx|m| sh(2πRx) + πR|m|234ich(2πRx) + cos(2πRa) .(1.4.7)Этот интеграл в критической точке m = 0 (σ = 0) можно преобразовать к следующему виду1Veff (σ = 0, a) = −4πZΛhidx x ln ch(2πRx) − cos(2πRa) .(1.4.8)0График поведения эффективного потенциала при α = 0 изображенна Рис. 1.1.
Как видно, эффективный потенциал имеет экстремум(mR ' 0.1) при значениях поля a = 0, два экстремума при a = 3/2и экстремум в нуле при a = 1/2.1.5 Критическая константа связиЗапишем уравнение щели, ∂V∂σeff = 0:2 σ2gg4 σ222ZΛksh(πkR)+ch(πkR)gch(πkR)−sin(πA)22dkk1−= 0,2 44224π k sh(πkR) + g 2σ ch(πkR) + k2 − g 4σ sin2(πA)0(1.5.1)где A = α − aR.
Вычислим критическую константу связи котораяопределяется из условия |σ| = 0:ZΛ1−ξdk g2c sh(πkR) ch(πkR)= 0,4π sh2(πkR) + sin2(πA)(1.5.2)где обрезание ξ введено, поскольку интеграл расходится на нижнемпределе при A → 0. Вычисляя получившийся интеграл, получаем:g2c Λ=8π2RΛlnh ch(2πRΛ)−cos(2πRa−2πα) i.ch(2πRξ)−cos(2πRa−2πα)35(1.5.3)При RΛ → ∞ имеем4π,(1.5.4)Λчто соответствует поведению критической константы в 3D проg2c →странстве [46].Переходя для удобства к безразмерным переменнымRΛ → R,g2Λ → g2,ξ→ ξ,Λ(1.5.5)получимg2c=8π2Rlnh ch(2πR)−cos(2πRa/Λ−2πα) i.(1.5.6)ch(2πRξ)−cos(2πRa/Λ−2πα)На Рис.
1.2б), Рис. 1.3а) изображена зависимость критическойконстанты связи при различных значениях параметра обрезания ξ.На Рис.1.2а) при значении aΛ−1 = 1 критическая константа связиведет себя как затухающая осциллирующая функция, стремящаяся асимптотически к критической константе связи при aΛ−1 = 0.На Рис. 1.2б) при достаточно малом значении параметра обрезанияξ = 0.001 график критической константы связи получается негладким и на нем имеются особенности — острия. При более реальномзначении этого параметра ξ = 0.1 график оказывается похожим наповедение константы в пятимерии [59].
На Рис. 1.3б) параметр обрезания выбран равным нулю и его роль здесь выполняет параметрсмещения α.36Рис. 1.2: Зависимость g2c Λ от RΛ a)при различных параметрах поля a; б)приразличных параметрах нижнего обрезания интеграла ξ.37Рис. 1.3: Поведение g2c Λ a) при различных параметрах обрезания ξ (a = 0, α =0), б) при значении параметра обрезания ξ = 0 и различных граничных условиях: периодических (α = 1) и антипериодических (α = 21 ).38Рис.
1.4: a) Поведение g2c Λ при значениях α−aR = n2 , при которых эффективныйпотенциал Veff имеет экстремум, б) поведение g2 Λ при различных значениях mΛ.391.6 Динамическое поле aТеперь рассмотрим случай, когда a — динамическая переменная (см. [60]). Тогда экстремум эффективного потенциала даетсяуравнением щелиZΛ0∂Ve f f∂a= 0 для поля a:dk k sin(2π(α − aR))πR k − m π R= 0,2 2224224π k sh(πkR) + m πR ch(πkR) + k − m π R sin (π(α − aR))24 2 2(1.6.1)откуда находим, что экстремум имеет место при sin(2π(α − aR)) = 0илиnα − aR = ,(1.6.2)2где n—целые числа.
Тогда a = 2α−n2R , что эквивалентно решениюa =αRпри четных n = 2k и a =2α−12Rпри нечетных n = 2k + 1. Вчастности, при периодических граничных условиях (α = 0) a = 0 и1a = − 2R, при антипериодических (α = 12 ) a = 0 и a =12R .При четных значениях n, cos(2πRa − 2πα) = 1, критическая константа связи выглядит так:g2c=8π2Rlnh ch(2πR)−1 i.(1.6.3)ch(2πRξ)−1При нечетных значениях n, cos(2πRa − 2πα) = −1, критическаяконстанта связи выглядит так:g2c=8π2Rlnh ch(2πR)+1 i.(1.6.4)ch(2πRξ)+1Оценим генерируемую массу при критических значениях поля a.40Для четных значений n, a − Rα = 0.
В этом случае получим:λR = π|mR|2 ctg(πRλ).(1.6.5)Поскольку нас интересуют легкие фермионы с массами λ R1 , вэтом случае|mR|2λR =,λR(1.6.6)или λ = |m|.1. В этом случае получим:Для нечетных значений n, a − Rα = − 2Rπ2λR = π|mR| ctg πRλ − .(1.6.7)21Для π Rλ − 2 1 получим:Или:λR =Таким образом λ ≈1+412Rr|mR|2λR =.λR − 21(1.6.8)11+ |mR|2 ≈ + O(|mR|2).162(1.6.9)= a. Тем самым мы получаем массу мень-шую, чем Калуца-Клейновские моды λn = Rn .1.7 Асимптотическое поведение константы связиРассмотрим поведение константы связи при предельных значениях радиуса компактификации R (см. [62]).
Вернемся к уравнению41щели (1.5.1), положив A = 0 и выразив все через m σ =ZΛ1−0kdkg2 ch(πkR)= 0.4π k sh(πkR) + m2πR ch(πkR)mg√2πR :(1.7.1)Когда R мало, т.е. mR 1, и в то же время ΛR 1 (т.е. считаем,чтоg2πR= const = g2 — константа связи в двумерии), k дает основнойвклад при k ∼ m. Этот случай соответствует компактификации3D → 2D. Следовательно ch(πkR) ≈ 1 +(πkR)22и sh(πkR) ≈ πkR,тогда:ZΛ1−0откуда:(πkR)2g 1+ 2kdk = 0,4π k2πR + πRm2 1 + (πkR)22(1.7.2)8π(πR + m2π3R3).g = 2 2 22 2Λ +Λ m π Rln+12m2(1.7.3)22Поскольку mR 1, получим:2πg2= g2 =,Λ24πRln m2(1.7.4)или− gπm = Λe2,(1.7.5)что согласуется с результатом [46]2 − πgm= eβ(1.7.6)для двумеризованной модели с точностью до очевидной замены42обозначений.
Сравнивая эффективный потенциал задачи [46]Z11 2222Veff = −dklog(k+φ)+φ(1.7.7)2g(2π)2с нашим результатом, очевидно, находим:2βвыбрано как параметробрезания интеграла (что соответствует Λ в нашей модели), g в модели [46] равноg24πRнашей модели, а φ равноm2нашей модели. Гра-фик зависимости g2Λ от RΛ при различных значениях параметраm/Λ показан на Рис. 1.4б).
В пределе больших RΛ верхняя криваястремится к бесконечности, а нижняя стремится к 4π. Из графикавидно, что при малом радиусе компактификации (R < 1) значение констант связи при разных m различно, тогда как при R → ∞критическая константа связи стремится к своему асимптотическому значению (1.5.4). Если рассмотреть константу связи, лежащуюнемного выше критической (m = 0.1Λ), то при малых значениях Rмы можем получить различные малые значения констант связи и,следовательно, различные малые массы. Таким образом, в рамкахданной модели существует возможность объяснить иерархию массразных поколений частиц.Зависимость константы связи от малого радиуса компактификации также дается формулой (1.7.4).При R → ∞, sh(πkR) →1 πkRe2и ch(πkR) →1 πkRe ,2т.е.
это вели-чины одного порядка, тогда можно воспользоваться логарифмическим приближением. Действительно, сделаем замену πkR → x:πΛRZm2 π 2 R24π2Rd sh x x= 2 .x sh x + m2π2R2 ch xg43(1.7.8)Основной вклад в знаменатель при R → ∞ дает слагаемое x sh x,поскольку в случае больших R x 1, g = const и m2R = const = M3.Таким образом x m2π2R2 и основной вклад в интеграл дается впределах от m2π2R2 до πΛR.
Используя данную асимптотику, получимg2 =4πΛ − m2Rπилиm2R = M3 =то есть(1.7.9)Λ 4− ,π g2(1.7.10)!11M3 = 4 2 − 2 ,gc g(1.7.11)что также согласуется с результатом [46] для трехмерного предела.1.8 Связь параметра обрезания ξ с конденсатом mВ полученном результате для критической константы связи положим α = 0, тогда:g2c8π2R="lna)ch(2πR)−cos(2πR Λ#.(1.8.1)ξa)ch(2πR Λ )−cos(2πR ΛПосле преобразования этого выражения получим:g2c8π2R="lnξch(2πR)−cos(2πR Λ )ξa)ch(2πR Λ )−cos(2πR Λ44#.+1(1.8.2)При R → 0:g2c8π2R=lnΛ2 +ξ2ξ2 +a2.+1(1.8.3)Устремляя ξ → 0 (рассматриваем инфракрасный предел) и проводя сравнение с выражением для асимптотики константы связи,получим: a2 ∼ 2m2.
Откуда видно что поле a в выражении для критической константы связи играет роль конденсата m в выражениидля обычной константы связи. Если же положить a → 0, то получим ξ2 ∼ 2m2, откуда следует, что роль параметра обрезания вобычной константе связи играет конденсат m (см. [62]).При R → ∞4π.(1.8.4)Λ−ξПоскольку ξ — малый параметр инфракрасного обрезания, то онg2c =мал по сравнению с Λ и тогда в пределе R → ∞:g2c =4π,Λ(1.8.5)что согласуется с результатом (1.5.4).1.9 ВыводыВ данной главе мы изучили процесс динамического образованиямассы фермионов в трехмерной модели с одним дополнительнымизмерением при взаимодействии двух типов фермионов, живущихв трехмерии и на двумерной бране, с учетом воздействия калибровочного поля A3.Если поле A3 рассматривать как внешний параметр, то динами45ческая масса оказывается осциллирующей функцией (при a , 0) cамплитудой, уменьшающейся с ростом радиуса компактификации.При этом динамическая масса становится независимой от калибровочного поля при большом радиусе компактификации и стремитсяк постоянному значению (см.
Рис. 1.2а),б)).Если же рассматривать калибровочное поле A3 как динамическую переменную, то экстремальное значение калибровочной переменной приводит к тривиальному значению константы связи, чтоизображено на Рис. 1.4а). Следует отметить, что при условии (1.6.2)генерируемая масса (1.3.10) получается порядка λ ∼12Rпри (n = 1),что равно калибровочной константе при антипериодических граничных условиях a =αR,α = 12 . Тем самым мы получаем массуменьшую, чем массы Калуца-Клейновских мод λn = Rn .Если рассмотреть график константы связи (1.5.4), который лежит немного выше критической величины (m = 0.1Λ), то при изменении R в области малых значений мы можем получить различныемалые значения констант связи, а следовательно и различные малые массы.
Таким образом, в рамках данной модели существуетвозможность объяснить иерархию масс разных поколений частиц.При этом зависимость константы связи от малого радиуса компактификации дается формулой (1.7.4).46Глава 2Влияние магнитного потока наповедение фермионов вдвумерной модели снетривиальной топологией2.1 ВведениеВ настоящей главе исследуется модель, аналогичная той, которая рассматривалась в предыдущей главе. Будем рассматривать2+1 мерную модель с четырехфермионным взаимодействием с другой стороны, в рамках моделей с малым числом измерений, включающих в себя реальное поле, аналогично двумерным моделям графена с нетривиальной топологией [36, 37] и фулеренов [38].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
