Диссертация (1102730), страница 4
Текст из файла (страница 4)
перескок к следующему от ближнего–соседнего (next–nearest–neighbor “ NNN”) атома. В этом случае, заменяя t0 на t = t0 + δt1(~r, ~δ), получим поправку к гамильтониануZXhi2∗∗δH1 =d xV(~r)Ψ(~r)1,τΨ(~r)1,τ + Ψ(~r)2,τΨ(~r)2,τ ,τ=±1гдеV(~r) = −3X~ ~δt1(~r, ~δ) eiK+δ .~δ24Суммируя все поправки, можно получить полное выражениеXZn 2†H =d xΨτ (~r) σ1 −vF i∂ x − A x (~r) +τ=±1XZhio+ τσ2 −vFi∂y − Ay(~r) Ψτ(~r) +d2 xΨ†τ (~r)V(~r)Ψτ(~r).τ=±1Представленная модель используется в Главе 4 для исследования модели графена с дефектной линией.В настоящей диссертационной работе исследуются модели, объединяющие в себе два направления, описанные выше. В рамкахнизкоразмерных моделей с нетривиальной топологией и дополнительным измерением исследуется влияние разных параметров модели на динамическую генерацию массы фермионов.
В двумерныхплоских задачах с дефектными линиями исследуется электронныйтранспорт через получившийся эффективный барьер в случае одного и двух типов фермионов. В настоящей диссертации полученыновые результаты, которые могут помочь в дальнейшем понимании описанных проблем, в частности, электронного транспорта вграфене, что является актуальным на сегодняшний день.Диссертация имеет следующую структуру. В Главе 1 исследуется копактифицированная низкоразмерная модель Гросса–Невё сдвумя типами фермионов.
В данной модели рассматривается генерация фермионной массы в зависимости от радиуса компактификации R, поля A3 и параметра фазового смещения α. Для этойцели получено выражение для массы как собственного значениябесконечной массовой матрицы, а также выражение для эффективного потенциала модели. В Главе 2 рассматривается модель в25виде нанотрубки, в рамках которой исследуется влияние эффекта Ааронова–Бома на генерацию фермионной массы.
В Главах 3и 4 исследуются плоские модели с дефектными линиями и рассчитывается вероятность прохождения частиц через получившийся эффективный барьер в случае двух и одного типа фермионовсоответственно. В Заключении представлены основные результатыдиссертационной работы.26Глава 1Генерация фермионной массыпод влиянием калибровочногополя в модели с 2+1 измерением1.1 ВведениеВ настоящее время моделям с низким числом пространственныхизмерений уделяется много внимания.
В работе [48] была предложена модель, в которой существуют два типа фермионов, одни живутв пятимерном пространстве-времени и взаимодействуют с другимифермионами, живущими на 3-бране. Такое взаимодействие можно описать с помощью четырехфермионного взаимодействия приобмене Калуца–Клейновскими модами гравитона, что ведет к генерации динамической массы. С другой стороны существует идеяо том, что в качестве хиггсовской частицы может выступать дополнительная компонента калибровочного поля высшей размерности A5. Юкавская связь, состоящая из четырехмерных скаляров иA5, похожа на калибровочную связь (также называемая юкавскойунификацией) тоже может приводить к генерации массы [6]. Такая27генерация массы еще называется механизмом Хосотани [58].В работе [59] модель [48] была рассмотрена в пятимерии, гдевысшая размерность была компактифицирована по кругу с радиусом компактификации R и, кроме того, были добавлены периодические и антипериодические граничные условия для фермионов.
Модель была расширена введением постоянного калибровочного поляA5, живущего в пятимерном пространстве, для исследования нарушения киральной симметрии и получения динамической массыдля легких фермионов при четырех-фермионном взаимодействии скомпонентой калибровочного поля A5.В настоящей главе исследуется похожая модель, но в размерности 2+1. В таком случае получается плоская модель с бранойразмерностью 1+1, т.е. нитью с пространственной размерностью1. В данной модели рассмотрена генерация массы, состоящей изкомпоненты калибровочного поля A3 и 2D конденсата фермионов.Для этого получен эффективный потенциал взаимодействия какфункция фермионного конденсата и постоянного поля A3 при периодических и антипериодических условиях для фермионов. Былавычислена критическая константа связи gc как функция радиусакомпактификации и поля A3.
Кроме того было рассмотрено асимптотическое поведение константы связи g при радиусе компактификации R → 0, что соответствует константе связи в двумерии, иR → ∞, что соответствует константе связи в трехмерии.281.2 МодельРассмотрим 3D фермионную модель, содержащую два типа фермионных полей Ψ и L, и калибровочное поле A M в трехмерном пространстве [60]. Ψ–фермионы существуют в 3D пространстве, а L —на 2D бране. Лагранжиан модели аналогичен лагранжиану для 5Dмодели [48]L(3)hµi= Ψiγ D M Ψ + Liγ Dµ L + g (Ψγ L)(Lγ M Ψ) δ(x3),M2M(1.2.1)где M = 1, 2, 3; µ = 1, 2; D M = ∂ M − ieA M .
Здесь используетсяметрика (+, −, −) и γ-матрицы, заданные следующим образом1 0 0 i 0 1 , γ2 = , γ3 = .γ1 = (1.2.2)0 −1i 0−1 0Представим калибровочное поле как конденсат со средним значением компонент < A3 >= const , 0, и < A1 >=< A2 >= 0.
Тогдалагранжиан примет видL(3)µhi= Ψγ eA3Ψ + Ψiγ ∂ M Ψ + Liγ ∂µ L + g (Ψγ L)(Lγ M Ψ) δ(x3).3M2M(1.2.3)Проведем преобразование Хаббарда-Стратоновича, введя вспомогательное поле σ M аналогично [48]. В результате получимL(3)h= Ψiγ ∂ M Ψ+Ψγ eA3Ψ+ Li 6 ∂L − σM3Mσ∗Mi+ gσ M Ψγ L + h.c. δ(x3).M(1.2.4)Далее используем приближение среднего поля, заменяя реальноеполе его средним значением, тогда < σµ >= 0, < σ3 >= σ3 = −σ.29Совершим киральный поворот [61]π π Ψ → exp γ3 Ψ, L → exp γ3 L,44 используя, что exp π2 γ3 = γ3, получимL(3)h(1.2.5)i= Ψi 6 ∂Ψ − ΨeA3Ψ − iΨ∂3Ψ + Li 6 ∂L − |σ| + (gσΨL + h.c.) δ(x3).2(1.2.6)Компактифицируем третью размерность по кругу радиуса R и зададим дополнительный параметр — фазовое смещение αΨ=N+∞XΨn(xµ) eix3R (n+α),(1.2.7)n=−∞тогда лагранжиан будет выглядеть такL(2)Z2πR+∞+∞ XXn+α3 (3)− eA3 ΨnΨn+=dx L =Ψni 6 ∂Ψn +Rn=−∞n=−∞0 +∞X2+ Li 6 ∂L − |σ| + mΨn L + h.c.n=−∞(1.2.8)где m = Ngσ, N =√12πR— нормировочная константа.1.3 Спектр массПерейдем к матричному представлению для фермионных полей(Ψ)T = (L, Ψ0, Ψ1, Ψ−1, Ψ2, Ψ−2, ...).30(1.3.1)Массовая матрица запишется в виде (eA3 ≡ a) 0 m∗m∗m∗m∗ α000m R − am 0 α+100R −aα−1M = m 000R −aα+2m 000R −a ..................... ....(1.3.2)Эффективный лагранжиан можно записать в матричном виде2L(2)eff = Ψi 6 ∂Ψ + ΨMΨ − |σ| ,(1.3.3)а смешанную часть лагранжиана для фермионных полей в виде +∞+∞ XXn+α(2)− eA3 ΨnΨn + mLmixing =Ψn L + h.c. = ΨMΨ.Rn=−∞n=−∞(1.3.4)Запишем уравнение на собственные значения:#∞ "Y2 2αj ×det(M − λI) = 0 = λ+a−−RR j=1 +∞2Xα1α× λ λ + a −− |m|2 − 2 λ + a −|m|2 2 .RRα 2− ll=1 λ + a −RR(1.3.5)К нетривиальным решениям приводит равенство нулю только второй скобки.
Далее воспользуемся формулой31+∞Xn=1y1 1=−+ π ctg(πy)2y 2n2 − y2и получим ααα− |m|2πR λ + a −ctg πR λ + a −= 0,λ λ+a−RRR(1.3.6)(1.3.7)или α λR = m R π ctg πR λ + a −.(1.3.8)RВ случае, когда аргумент котангенса является малым параметром,2 2из предыдущей формулы имеемπλR = (π|m|R)21πR λ + a −αR,(1.3.9)откудаp(aR − α)2 + 4|m|2R2.(1.3.10)λ=2RИз уравнения (1.3.10) видно, что генерируемая масса зависит отα − aR ±радиуса компактификации, параметра фазового смещения α и калибровочного поля a.
Таким образом, мы можем получать различные значения массы, варьируя эти параметры. Заметим, что приусловии a = 0 и α = 0 следует λ = ±|m|. Условие малости аргументакотангенса в таком случае переписывается в виде λ 1/R, откуда следует, что и |m| 1/R. Таким образом мы получили массудля легких фермионов λ = ±|m|, много меньшую массы Калуца–Клейновских мод для фермионов в трехмерии. Следовательно, данный результат может рассматриваться как указание на одну из возможностей обоснования проблемы иерархии масс (см.
[60]).321.4 Эффективный потенциал моделиВернемся к формуле эффективного лагранжиана модели в матричном виде2Ψi6∂Ψ+ΨMΨ−|σ|.L(2)=eff(1.4.1)Производящий функционал нашей системы дается формулой:ZR∗ i d2 xL(2)Z = [DΨ̄][DΨ][Dσ][Dσ ]e.(1.4.2)Интегрируя по фермионным полям, получаемZR∗ −i d2 xVeff (σ),Z = [Dσ][Dσ ]e(1.4.3)где эффективный потенциал определяется стандартным образомZd2k2Veff = |σ| −ln det(M + I 6 k).(1.4.4)(2π)2Это выражение можно переписать в более удобном виде, используясвойства определителяVeff = |σ| −2Zd2k 122lndet(M+Ik).(2π)2 2(1.4.5)Отсюда с помощью формулы (1.3.5) найдем:Veff = |σ| −ZΛ202dkk h2ln k sh(πkR) + m πR ch(πkR) +4πi224 2 2+ k − m π R sin (π(α − aR)) ,(1.4.6)где мы ввели параметр обрезания Λ, поскольку интеграл расходится на верхнем пределе. C помощью несложных преобразований33Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
