Диссертация (1102730), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Двумерную модель Гросса–Невё можно получить из многих теорий с14числом измерений больше двух в процессе размерной редукции (вт.ч. из трехмерной модели Гросса–Невё [46]). Рассмотрим действиеданной двумерной моделиZg2S [ψ̄, ψ] =d2 x ψ̄γµ∂µψ −ψ̄ψ .2NЗдесь g — это константа связи, N — число компонент фермионногополя ψ, отвечающее за U(N)–симметрию. Матрицы γµ выражаютсячерез матрицы Паули σi следующим образомγ1 = σ1, γ2 = σ2, γ3 = −iσ1σ2 = σ3 = γ5.Кроме U(N)–симметрии модель обладает Z(2)–симметриейψL (x)0 = ±ψL (x), ψ̄L (x)0 = ±ψ̄L (x),ψR(x)0 = ∓ψR(x), ψ̄R(x)0 = ∓ψ̄R(x),где1 ∓ γ31 ± γ3ψ(x), ψ̄R,L (x) = ψ̄(x).22Для преобразования четырехфермионного взаимодействия вводитψR,L (x) =ся новое скалярное поле, минимизирующее эффективный потенциал (преобразование Хаббарда–Стратоновича)σ(x) =gψ̄(x)ψ(x),Nпосле чего действие приобретает вид"#ZNS [ψ̄, ψ, σ] =d2 x ψ̄γµ∂µψ − ψ̄ψσ + σ2 .2g15Таким образом мы получаем взаимодействие фермионного поля снекоторым вспомогательным полем σ — аналог юкавской связи.Стоит отметить, что после такого преобразования, эффективныйпотенциал тоже будет зависеть от поля σ.

Среднее по вакууму значение в стационарном состоянии (σ0 — координата экстремума эффективного потенциала) будет равно< ψ̄ψ >=Nσ0.gТаким образом, если σ0 , 0, в системе наблюдается конденсат.Перейдем к пределу больших N, в этом случае, используя приближение среднего поля, можно заменить поле σ(x) на некотороепостоянное значение σ = const, не зависящее от координат. Послечего перейдем в импульсное представление и перепишем действиев виде1S [ψ̄, ψ, σ] =(2π)2Zd2kψ̄(−k)[iγµkµ − σ]ψ(k) +NV 2σ,2gгде V — объем пространства.

Далее, после нескольких преобразований можно получить выражение для эффективного потенциаламодели1Veff (σ) = −(2π)2Zd2k ln(k2 + σ2) +1 2σ.2gМожно найти минимум эффективного потенциала как экстремумэффективного потенциала по полю σZ∂Veff 12σ0σ02=−dk+= 0,∂σ σ=σ0g(2π)2k2 + σ2016что приводит нас к уравнению щелиZ1212dk.=22g(2π)2k + σ0Введем параметр обрезания Λ, поскольку получившийся интегралрасходится на верхнем предел по импульсам. После чего можнополучить решение данного уравнения в видеπσ0 = Λ exp (− ).gТаким образом мы получили ненулевую массу для фермионов σ0,появляющуюся при спонтанном нарушении киральной симметрии.В двумерной модели Гросса–Невё спонтанное нарушение является динамическим, потому что ненулевой постоянный конденсат σ0присутствует в теории при любом значении константы связи.Из выражения для фермионной массы можно сделать еще одинважный вывод.

Выразим из этого соотношения константу связиg = g(Λ) = π/ lnΛ.σ0Из этого выражения следует, что двумерная модель Гросса–Невёобладает, так называемой, асимптотической свободой. Действительно при Λ → ∞, g(Λ) → 0. Заменим параметр обрезания Λ, используя соотношение для σ0, после чего можно привести выражениедля эффективного потенциала к виду22σ  σln 2 − 1 .Veff (σ) =4πσ0Получившееся выражение больше не зависит от нефизичной кон17станты Λ. Взамен мы получили один единственный свободный параметр — фермионную массу σ0.

В самом начале в рассматриваемой нами безмассовой теории этим единственным свободным параметром была безразмерная константа связи g. Таким образом,вместо безразмерного параметра g, в теории появляется размерный параметр σ0. Приобретение размерности свободным параметром теории было названо “размерной трансмутацией” и было открыто Вайнбергом и Колеманом [47].График зависимости эффективного потенциала Veff от σ в двумерной моделиГросса–Невё при σ0 = 3.Приведем график зависимости эффективного потенциала в зависимости от σ (σ0 = 3).

Из Рис. видно, что в модели присутствует динамическое нарушение симметрии. Эффективный потенциал18имеет два симметричных минимумаVeff (± σ0) = −σ20/4π.Почти все исследования в данной диссертационной работе будутвестись в рамках модели Гросса–Невё, которая была расширена вработах [48, 49] введением двух типов фермионов.2) Модель Намбу–Йона-Лазинио (Nambu–Jona-Lasinio) [29]Рассмотрим действие двумерной модели Намбу–Йона-ЛазиниоZ g22d2 x ψ̄ γµ∂µ − m0 ψ −S [ψ̄, ψ] =ψ̄ψ + ψ̄iγ5ψ.2NДанная модель отличается от модели Гросса–Невё наличием дополнительного слагаемого в четырехфермионном взаимодействии, т.е.в теории существует дополнительный канал взаимодействия.

Сделаем преобразование Хаббарда–Cтратоновича, вводя новые бозонные поля (аналогично введению вспомогательного поля в моделиГросса–Невё)σ(x) =gψ̄(x)ψ(x);Nπ(x) =gψ̄(x)iγ5ψ(x),Nпосле чего действие можно записать в виде" Z#NS =d2 x ψ̄ γµi∂µ − m0 ψ − ψ̄ (σ + iγ5π) ψ +σ2 + π2 .2gПосле преобразований, аналогичных преобразованиям в главе, описывающей модель Гросса–Невё, можно получить выражение дляэффективного потенциала и записать уравнения щели. В моде19ли Намбу–Йона-Лазинио уравнение щели состоит из двух уравнений, поскольку при использовании преобразования Хаббарда–Стратоновича мы ввели два разных поля∂Veff= 0,∂σ(x)∂Veff= 0.∂π(x)Решив эти два уравнения, можно получить выражения для двухконденсатов σ и π.

Все вычисления в рамках данной модели похожина вычисления в модели Гросса–Невё и подробно останавливатьсяна них не имеет смысла.Теоретическая модель графена с учетом неоднородностиструктурыЕще одним интересным аспектом низкоразмерных моделей, кроме нарушения симметрии и генерации массы, является теория дефектов в таких моделях. Большое число задач в рамках теории дефектов возникает в моделях кристаллов с различными дислокациями (см. [50,51] и указанную там литературу). Также, много недавних работ посвящено проблемам низкоразмерных моделей с дефектами применительно к графену [24–26,52,53]. Дефекты формируютнеоднородные плотности в графене, что может привести к формированию препятствий на пути прохождения электронов.

Очевидно,что если добиться хорошего понимания процессов формированиядефектов в таких моделях и выработать грамотную теорию дляописания моделей с дефектами, можно научиться контролироватьэлектронный транспорт в таких системах, что может привести к20многим приложениям результатов в наноэлектронике. Из недавних,экспериментально обнаруженных, дефектов стоит отметить топологический линейный дефект, состоящий из одного октогональногои двух пентагональных углеродных колец, периодически повторяющихся вдоль одного направления, встроенные в идеальный листграфена [54] и теоретическое исследование электронного транспорта в графене через эту дефектную линию [55], базирующееся на методе функций Грина. Еще одной интересной работой в этой областиявляется исследование влияния дислокаций и конечных дефектовна магнитные свойства графена в магнитном поле [56]. Остановимся подробнее на эффективной дираковской модели графена.Модель сильной связи графена (“tight-binding model”) [24, 25]Графен — это плоская двумерная структура, представляющаясобой правильную шестиугольную решетку из атомов углерода.Шестиугольную решетку можно разбить на две треугольные подре-Рис.

1: Суперпозиция двух треугольных решеток A и B с базисными векторами~ai и векторами ~si , соединяющими ближайшие узлы решеток A и B.21шетки A и B (см. Рис. 1), где вектора ~a1 и ~a2 являются генераторамирешетки A. Вектора ~s1 = (0, −1)l, ~s2 = (√3 12 , 2 )l,~s3 =√(− 23 , 12 )lсо-единяют ближайшие узлы подрешеток A и B. Гамильтониан моделисильной связи графена без учета искривлений решетки с однородным параметром перескока t можно записать в видеH0 = −tX X hia (~r)b(~r + ~si) + b (~r + ~si)a(~r) , t = const,††~r∈A i=1,2,3где фермионные операторы a и b действуют на A и B подрешеткахсоответственно.

Переходя к обратной решеткеa(~k) =X−i~k~rea(~r), b(~k) =~r∈AX~e−ik~r b(~r),~r∈AГамильтониан H0 в импульсном пространстве принимает диагональный видXhX ~i† ~∗ ~ † ~~~~~eik~si .H0 =Φ(k)a (k)b(k) + Φ (k)b (k)a(k) , Φ(k) = −t~k~siОдночастичный энергетический спектр ε(~k) = ±|Φ(~k)| имеет дведираковских точки!4π~k = K~ ± = ± √ , 0 , Φ(K~ ±) = 0.3 3lH0 линеаризуется вокруг двух дираковских точек, а фермионныеоператоры вблизи этих точек выглядят так~ ± + ~p), b±(~p) = b(K~ ± + ~p),a±(~p) = a(K22после чего можно получить следующее выражениеH0 =XhvF (p x +ipy)a†+(~p)b+(~p)− (p x −ipy)a†−(~p)b−(~p)i+ H.c.

.~pИспользуя обозначенияZZΨ1,τ(~r) =d2 p e−i~p~r b±(~p), Ψ2,τ(~r) =d2 p e−i~p~r a±(~p), τ = ±1и вводя двумерные Ψτ(~r) спиноры с компонентамиΨ1,τ ,Ψτ(~r) = Ψ2,τможно переписать гамильтониан в видеXZno2†H0 = vFd xΨτ (~r) σ1 p̂ x + τσ2 p̂y Ψτ(~r).τ=±1Теперь учтем, что параметр перескока t может быть неоднородным [57].

Шестиугольная решетка реального графена не всегдаидеальна, а значит может существует небольшое отличие в расстояниях между атомами углерода. С другой стороны существуетотличие в перекрываемых областях различных атомных орбиталей.В обоих случаях энергия перескока между двумя атомами углерода будет отличаться. Рассмотрим случай ближнего–соседнего перескока (nearest–neighbor “ NN”), когда t = const = t0 заменяетсяна t = t0 + δt(~r, ~si) в узле ~r в направлении ~si. Гамильтониан моделипреобразовывается H0 → H = H0 + δH, где δH можно получить,используя вычисления описанные выше и линеаризуя выражениепо δt(~r, ~si). В результате можно получить выражение для поправки23к гамильтониануZX~ + ~si∗iK2 δt(~r, ~si) e+(+ → −) + H.c.δH = − d x Ψ(~r)1,+1Ψ(~r)2,+1~si=−ZX∗∗∗d xΨ(~r)1,τΨ(~r)2,τA(~r) + Ψ(~r)2,τΨ(~r)1τA (~r) ,2τ=±1гдеAτ(~r) = A x (~r) − iτAy(~r) =X~δt(~r, ~si) eiKτ~si , (τ = ±1).~siПолучившееся выражение можно переписать в спинорном видеZhΨ1,+2∗ +δH = − d x Ψ(~r)1,+Ψ(~r)2,+ (σ1 A x + σ2 Ay) Ψ2,+Ψ1,−i .+ Ψ(~r)∗1,−Ψ(~r)2,− (σ1 A x − σ2 Ay) Ψ2,−Учтем различия в энергиях перескока между орбиталями атомов одной подрешетки, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации