Диссертация (1102730), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Получившееся четырехмерное пространство выглядит как цилиндр с бесконечными тремя измерениями x1, x2, x3и четвертым измерением x5 — окружностью радиуса R. Запишемполный набор волновых функций свободной безмассовой частицыдля получившейся модели с компактификацией как решение пятимерного уравнения Клейна-Гордонаψ p,n =5xµeipµ x ein R7,где pµ — (3 + 1)–мерный импульс, а n = 0, ±1, ±2, . . ..

Посколькуψ(x, x5) удовлетворяет уравнению (5)ψ = 0, можно получитьn2pµ p − 2 = 0.RµИз получившегося выражения видно, что при малых энергиях ниже 1/R, в модели существуют только однородные состояния с n = 0,таким образом дополнительное измерение при таких энергиях проявляться не будет и физика будет четырехмерной. При энергияхбольше 1/R будут существовать неоднородные состояния с n , 0, азначит физика из четырехмерной будет переходить в пятимерную.В четырехмерном пространстве – времени состояния Калуцы–Клейна — это частицы с массами mn = |n|/R, а значит любое полеможно описать башней состояний Калуцы–Клейна, состоящей изчастиц с возрастающими массами.

При низких энергиях ниже 1/Rсуществуют только безмассовые частицы, а при энергиях E ∼ 1/Rначинают рождаться массивные, откуда, согласно многим экспериментам, следует что энергия 1/R должна быть порядка планковской MPl ∼ 1019ГэВ (∼ 10−33см).Однако с помощью модели Калуцы–Клейна можно получитьмассы, много меньшие чем m = 1/R. Генерация массы может осуществляться и с помощью юкавской связи четырехмерных скаляров с компонентой поля A5 из высшего измерения. Такая связь играет роль калибровочной связи, поле A5 нарушает калибровочнуюи киральную симметрию и играет роль хиггсовского поля [6].

Дей-8ствие такой модели выглядит следующим образомZZSΨ =d4 x dx5Ψ(iD M Γ M − m)Ψ,гдеΓµ = γµ, Γ5 = −iγ5,где γ — матрицы Дирака, а индексы µ=0,1,2,3; M = 0, 1, 2, 3, 5.После компактификации пятого измерения по кругу радиуса R+∞Xx5Ψ(x, φ) =Ψ (x) e ; φ = ,Rn=−∞(n)inφдействие выглядит следующим образом (a = gA5, Aµ = 0)ZnX (n) 4S Ψ = 2πR d xΨ (x) i 6 ∂ − m − i− a Ψ(x),Rnгде явно присутствует, описанная выше, юкавская связь.

При малых значениях поля A5 эффективный потенциал такой модели можно записать в видеVeff ∼ ΛR +Z(!√d4 p22−2πR p +m−4ln1−e(2π)4√ e−2πR p2+m2 − (2πRgA5)2  2 √221 − e−2πR p +m  )√√−4πR p2 +m2−2πR p2 +m2ee4+ (2πRgA5)  2 + 4  ,√√22226 1 − e−2πR p +m1 − e−2πR p +m где Λ — константа, не зависящая от R и a. Из полученного вы9ражения явно видно, что вакуум характеризуется нетривиальнымзначением среднего A5, отличного от нуля. Можно переписать эффективный потенциал в видеVeff = ΛR + [c1 − c2(m)N](Ra)2 + [c3 + c4(m)N](Ra)4,где c1, c3 упорядоченные и положительные, а c2, c4 зависимые от 5Dфермионных масс m константы, а N номер вида фермиона.

Можнополучить для m следующие соотношения−c1 + c2(m)N ≡ ε 1c3 + c4(m)N ∼ O(1) ,откуда следует, что существует локальный минимум эффективногопотенциала√ε.A5 ∼gRПри выборе разных радиусов компактификации можно получитьразные физические массы для фермионов, что приводит к иерархии масс. Получившиеся массы много меньше масс Калуцы–Клейна√ε √∼ εmKK ,mW ± ∼Rа значит их уже можно детектировать в ходе нынешних экспериментов.2) Модель ADD (Arkani-Hamed–Dimopoulos–Dvali) [3]Одним из примеров модели мира на бране является модель ADD.Очевидно, что физика при низких энергиях должна быть четы10рехмерной. При рассмотрении моделей, учитывающих все типывзаимодействий, кроме гравитационного, четырехмерности физикиможно добиться с помощью локализации материи на бране. Гравитационное взаимодействие можно включить в рассматриваемыемодели разными способами.

В модели ADD рассматривают бранубез натяжения (плотность энергии на единицу трехмерного объемабраны) и вводят компактные дополнительные измерения. В такомслучае размер дополнительных измерений не обязан быть малым.Поскольку только динамика на бране определяет те энергии, прикоторых гравитационное взаимодействие из четырехмерного становится многомерным, то размер дополнительных измерений можетбыть намного меньше R. При энергиях меньше 1/R все взаимодействия, кроме гравитационного, являются четырехмерными.

Гравитационное взаимодействие, как показывают опыты, четырехмерно,вплоть до расстояний R = 0.2мм [7], таким образом дополнительные измерения могут быть порядка R = 0.1мм.3) Модель R–S (Randall–Sundrum) [4]Л.Рендалл и Р.Сундрум предложили модель, в которой, в отличие от модели ADD, учитывается натяжение браны, т.е. ее собственное гравитационное поле. Отличительной особенностью данной теоретической модели является то, что компактификация дополнительного измерения производится с помощью введения двухбран, с положительным натяжением σ в положении x5 = 0 и от5рицательным натяжением −σ в положении x5 = xorbifold.

Брана сотрицательным натяжением помещается в фиксированную точку11орбифолда, для того чтобы не позволить ей свободно колебаться,поскольку это могло бы приводить к физическим возбуждениямбесконечно большой отрицательной энергии. Дополнительное измерение при таком взаимном расположении бран будет компактифи5цировано, поскольку x5 пробегает значения от x5 = 0 до x5 = xorbifold.Все бозонные поля в данной модели должны быть симметричны относительно отражений относительно двух бран, что является следствием помещения браны с отрицательным натяжением в точку орбифолда.

Это граничное условие исключает возбуждения с отрицательной энергией, а значит в модели присутствуют только возбуждения с положительной энергией. В рассматриваемой теории массынаходятся в диапазоне нескольких ТэВ, что создает возможностьдля их детектирования.Таким образом, многомерные теории являются одним из способов объяснения иерархии масс элементарных частиц.Модели с малым числом измеренийВ последние годы, кроме моделей с дополнительными измерениями, развивается и другая область, вызывающая огромный интерес.

Это теории с небольшим количеством пространственно – временных измерений (так называемые низкоразмерные модели, см.,например [8–11], а также [12–15] и указанную там литературу). В1979 году в работе [16] при исследовании линейных полимеров выяснилось, что непрерывная модель полимерной цепочки совпадаетв основном с уже известными одномерными моделями квантованных полей. Теория поля в случае двух пространственных размер12ностей давно признана важной для понимания некоторых физических явлений, которые могут быть приближенно рассмотрены какплоские.

Особенный интерес к двумерным моделям возникает в физике конденсированного вещества, в рамках которой было открытобольшое число важных новых явлений.Примером такой двумерной модели является графен — плоский одноатомный слой углерода, который обладает целым рядомнеобычных характеристик [17–19]. В ряде недавних исследований[20–22] были открыты аномальный эффект Холла, необычные свойства проводимости и ряд других интересных характеристик материала. В этих исследованиях было показано, что переносчики заряда в графене обладают нулевой эффективной массой. Действительно, холловская проводимость в графене ν = ±(|n| + 1/2) квантуетсяаналогично теории эффекта Холла для дираковских безмассовыхфермионов.

Особенностью эффекта Холла в графене является то,что его можно наблюдать даже при комнатной температуре (призначениях магнитного поля больше 20Т) [23].В описании графена поведение электронов эффективно подчиняется уравнению Дирака [24–27] и в таком случае удобно рассматривать эту задачу в рамках квантовой теории поля для фермионовв пространстве 2+1 размерности. В частности модели Гросса–Невё[28] и Намбу–Йона-Лазинио [29–32] хорошо подходят для рассмотрения подобных задач. В таких плоских системах модель ГроссаНевё обычно используется для исследования свойств симметрии,нарушения киральной симметрии [33], а также для задач генерации массы фермионов [34].Вторым примером теории с малым числом пространственно –13временных измерений является полиацетилен. Интерес к этой модели вызван рядом причин. С экспериментальной точки зрения появляется возможность создания нано–полупроводниковых устройствиз этого материала, а с теоретической точки зрения эту модельможно представить как одномерную модель графена.

В задаче [35]была рассмотрена модель полиацетилена в рамках модели ГроссаНевё с размерностью 1+1 и было рассмотрено нарушение киральной симметрии и генерация фермионной массы.Низкоразмерные модели с электромагнитными полями и нетривиальной топологией подобные двумерной модели графена и фуллерена рассматривались в недавних работах [36–38].

Подобная проблема также обсуждалась в работе [39] как модель углеродной нанотрубки (см. также [40–42]). В модели [39] исследовалась генерация массы фермионов под влиянием внешнего магнитного поля Ааронова–Бома [43]. Также, под действием внешнего магнитного поля может происходить поляризация вакуума (см., например, [44, 45] и другие работы), что сказывается на появлении индуцированного тока в модели. В работе [45] была рассмотрена поляризация вакуума в графене в поле тонкого соленоида и былоисследовано возникновение индуцированного тока.Остановимся подробнее на основных моделях, упомянутых выше.1) Модель Гросса–Невё (Gross–Neveu) [28]Данная модель обладает киральной симметрией и используетсядля описания фермионов в двумерном пространстве–времени.

Характеристики

Список файлов диссертации