Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì ñîîáðàæåíèÿ íåïðåðûâíîñòè.Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ñèìïëåêòè÷åñêèå ìàòðèöû, ïåðâûé ñòîëáåö êîòîðûõ èìååò âèä (1, 0, 0, 0)τ , îáðàçóþò ïîäãðóïïó Ëè â ãðóïïå âñåõ îáðàòèìûõ ìàòðèö.  ÷àñòíîñòè, îíè îáðàçóþò ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå G âïðîñòðàíñòâå ìàòðèö (òî÷íåå, äëÿ ëþáîé òî÷êè èç G ñóùåñòâóåò å¼ êîîðäèíàòíàÿ îêðåñòíîñòü, ïåðåñå÷åíèå êîòîðîé ñ G ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì êîîðäèíàòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â ýòîé îêðåñòíîñòè). Çàäàäèì íà ïîäìíîãîîáðàçèè G êàêóþ-íèáóäü ðèìàíîâó ìåòðèêó, íàïðèìåð, ïîëó÷åííóþ îãðàíè÷åíèåì íà G ñòàíäàðòíîé åâêëèäîâîé ìåòðèêè â îáúåìëþùåì ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö.
Ñîåäèíèì ω 2 áëèçêèå ìàòðèöû Aij è Ãij êðàò÷àéøåé êðèâîé158Ã(t) = A(t), 0 ≤ t ≤ 1, â ãðóïïå G, ãäå A(0) = Aij , A(1) = Ãij . Òîãäà âñåìàòðèöû A(t), 0 ≤ t ≤ 1, óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì á), â) è ã), ñì. âûøå.Çíà÷èò, ïî äîêàçàííîìó, ñïåêòð êàæäîé ìàòðèöû A(t) ñîñòîèò èç òð¼õ ÷èñåë: spec A(t) = {1, e±iβ(t) }, ãäå β(t) = βij + O(ω 2 ). Êðîìå òîãî, ïðè êàæäîìt ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íî îïðåäåë¼ííûé áàçèñ ẽ1 (t), ẽ2 (t), ẽ3 (t), ẽ4 (t), â êîòîðîì îïåðàòîð A(t) èìååò âèä (108). Òàê êàê, ïî äîêàçàííîìó, çíà÷åíèåa3 (t)/ sin β(t) îòäåëåíî îò íóëÿ è íåïðåðûâíî çàâèñèò îò t, îíî îñòàåòñÿ îäíîãî çíàêà ïðè âñåõ t. Ïðè t = 0 èìååì a3 (0) = − sin βij < 0, à çíà÷èò, ÷èñëîa3 = a3 (1) òîæå îòðèöàòåëüíî.Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåííûé áàçèñ f1 , f2 , f3 , f4 äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿñèìïëåêòè÷åñêèì.
Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ 13.Ïóñòü e(m) áàçèñ èç ñëåäñòâèÿ 13. Ïðèìåíèì ê áàçèñó e(m) ñëåäóþùóþ îïåðàöèþ ðàñòÿæåíèÿ. Äîìíîæèì áàçèñíûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèåâñåì ñïóòíèêàì, íà ÷èñëî √1ε , ãäå ε > 0 ëþáîå äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî.Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûé áàçèñ ÷åðåç eε (m). ßñíî, ÷òî eε (m) ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì áàçèñîì ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà îòíîñèòåëüíî ñèìïëåêòè÷åñêîéPP iñòðóêòóðû ωε2 = ni=1 (ωi2 + ε ni=1ωij2 ).Áóäåì ñ÷èòàòü ÷èñëî ε ¿ 1 äîïîëíèòåëüíûì ïàðàìåòðîì âîçìóùåíèÿñèñòåìû. (Çàòåì ìû âîçüì¼ì åãî çàâèñÿùèì îò âîçìóùåíèÿ, ïîëàãàÿ ε =21µνωR = µ 3 νω 3 .
Ïðè ýòîì íàì áóäåò âàæíî, ÷òî ε → 0 ïðè µ → 0 è ëþáûõîãðàíè÷åííûõ ω , ν .)Îáîçíà÷èì ÷åðåç A0 áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó èç ëåììû 16 î çàäà÷å Êåïëåðà. Èç ñëåäñòâèÿ 13 ëåãêî ïîëó÷àåìÑëåäñòâèå 14.  ëþáîé òî÷êå m ∈ Λ îïåðàòîð A = dgVτ (m) ëèíåéíîé÷àñòè îòîáðàæåíèÿ çà ïåðèîä íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû (96) âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò ñëåäóþùèé âèä. Ìàòðèöà Aε îïåðàòîðàA îòíîñèòåëüíî áàçèñà eε (m) ÿâëÿåòñÿ áëî÷íîé íèæíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöåé, ïðè÷¼ì å¼ áëîêè íà äèàãîíàëè èìåþò òàêîé æå âèä, êàê â √áàçèñåe(m) èç ñëåäñòâèÿ 13, à áëîêè ïîä äèàãîíàëüþ èìåþò ïîðÿäîê O( ε).
Â÷àñòíîñòè, ÿäðî ìàòðèöû Aε − I áëèçêî ê ïîäïðîñòðàíñòâó, íàòÿíóòîìó íà N âåêòîðîâ áàçèñà eε (m), ÿâëÿþùèõñÿ ïåðâûìè âåêòîðàìè áàçèñîâ,îòâå÷àþùèõ ïëàíåòàì è ñïóòíèêàì.Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöà èç ñëåäñòâèÿ 13 ÿâëÿåòñÿ áëî÷-íîé íèæíåòðåóãîëüíîé, ïðè÷¼ì ëþáîé å¼ íåíóëåâîé áëîê ïîä äèàãîíàëüþîòâå÷àåò îäíîé ïëàíåòå è îäíîìó ñïóòíèêó.ßñíî, ÷òî ïðè ëþáîì ε > 0 äèàãîíàëüíûå áëîêè ìàòðèöû Aε òàêèåæå, êàê â áàçèñå e = e(m), è ïîýòîìó â ñèëó ñëåäñòâèÿ 13 îíè áëèçêè êáëîêàì ìàòðèöû A0 . Àíàëîãè÷íîå âåðíî äëÿ âñåõ áëîêîâ, îòâå÷àþùèõ äâóìïëàíåòàì ëèáî äâóì ñïóòíèêàì.
Îñòàëüíûå áëîêè ìàòðèöû Aε ïîëó÷àþòñÿ159èç ñîîòâåòñòâóþùèõ áëîêîâ ìàòðèöû îïåðàòîðà A â áàçèñå e óìíîæåíèåì√íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå ε äëÿ áëîêîâ ïîä äèàãîíàëüþ è √1ε äëÿáëîêîâ íàä äèàãîíàëüþ.√Ñëåäîâàòåëüíî, áëîêè ìàòðèöû Aε ïîä äèàãîíàëüþ εìàëû ïðè ε → 0.Òàê êàê âñå áëîêè íàä äèàãîíàëüþ íóëåâûå, ñëåäñòâèå äîêàçàíî.Ñëåäñòâèå 14 ïîíàäîáèòñÿ íàì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ îðáèòàëüíîé óñòîé÷èâîñòè îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîãî äâèæåíèÿ.Îòìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëåäñòâèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òîð Λ, à çíà÷èò,è ÷àñòîòû ωi , Ωij íà í¼ì, ôèêñèðîâàíû. Åñëè ýòîãî íå ïðåäïîëàãàòü, òî ñó÷¼òîì çàìå÷àíèÿ 22 áëîêè ìàòðèöû Aε ïîä äèàãîíàëüþ èìåþò ïîðÿäîê√√1131O(ω 2 ecτ ε).
Òàê êàê ω 2 ε = µ 3 ν 2 ω 6 , òî äàæå â ñëó÷àå τ = O(ω) ýëåìåíòûìàòðèöû Aε ïîä äèàãîíàëüþ ÿâëÿþòñÿ ìàëûìè òîëüêî ïðè î÷åíü ìàëîìdâîçìóùåíèè, òî÷íåå, ïðè µ2 ν 3 ¿ e− ω , ãäå d > 0 íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà.Ïîñëåäíÿÿ âåëè÷èíà ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëà ïî ω è èìååò ïîðÿäîê o(ω k )äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà k .3.3 Ïëàí äîêàçàòåëüñòâàÄîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 11 è 12 áóäóò îñíîâàíû íà îáîáù¼ííîé ãåîìåòðè÷åñêîé òåîðåìå Ïóàíêàðå (òî÷íåå, íà òåîðåìå 5 î íåïîäâèæíûõ òî÷êàõ îòîáðàæåíèé) è ñôîðìóëèðîâàííûõ â 3.2 òð¼õ ëåììàõ 15, 16, 17 è ñëåäñòâèè13, êîòîðûå áóäóò äîêàçàíû â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå 3.4.3.3.1 Ñóùåñòâîâàíèå îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèéÄîêàçàòåëüñòâî ïóíêòîâ À, Á òåîðåìû 11 ïðîâåä¼ì â ÷åòûðå øàãà.Øàã 1.
Ïîëîæèì µ = ν = 0 è ðàññìîòðèì íåâîçìóù¼ííóþ çàäà÷ó. Ñîãëàñíî ëåììå 15, îíà èìååò âèä (96), ò.å. ðàñïàäàåòñÿ íà n çàäà÷ Êåïëåðàè N − n (ïðåäåëüíûõ) çàäà÷ Õèëëà [20].Ôèêñèðóåì ëþáîå äîñòàòî÷íî ìàëîå ω , è äëÿ ëþáûõ i = 1, . . . , n, j =1, . . . ni ðàññìîòðèì îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåéïðåäåëüíîé çàäà÷è Õèëëà, ñ çàäàííûìè ñðåäíèìè ÷àñòîòàìè ωi è Ωij èç (90),(93). Òàêîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, ñîãëàñíî ëåììå 17 î ïðåäåëüíîé çàäà÷åÕèëëà. Áîëåå òî÷íî, ñîãëàñíî ýòîé ëåììå, íåâîçìóù¼ííàÿ çàäà÷à, îòâå÷àþùàÿ ðàññìàòðèâàåìûì èíäåêñàì i, j â ñèñòåìå (96), èìååò îòíîñèòåëüíîïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå, ïðè êîòîðîì äâèæåíèå âåêòîðà xi ÿâëÿåòñÿ êðóãîâûì, à äâèæåíèå âåêòîðà yij ω 2 áëèçêî ê êðóãîâîìó äâèæåíèþ ñ ÷àñòîòîéΩij ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è Êåïëåðà.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïîëó÷åííûå îòíîñèòåëüíî ïåðèîäè÷åñêèå òðàåêòîðèè ñèñòåìû (96) çàìåòàþò N ìåðíûé òîð Λ âî âñ¼ì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâåçàäà÷è, ω 2 áëèçêèé ê òîðó Λ◦ , òàê êàê íà í¼ì êîîðäèíàòàìè ìîæíî âçÿòü160óãëîâûå êîîðäèíàòû ψi è ψij âñåõ N ðàäèóñ-âåêòîðîâ xi è yij .
Çàìåòèì, ÷òîýòîò òîð èíâàðèàíòåí, à ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ 13 íåâûðîæäåí (ñì. çàìå÷àíèå21), è ðåøåíèÿì íà í¼ì îòâå÷àþò êðóãîâûå äâèæåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðîâ xi è(áëèçêèå ê êðóãîâûì) äâèæåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðîâ yij . Çàìåòèì òàêæå, ÷òîíåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà íà òîðå Λ çàäà¼òñÿ âåêòîðíûì ïîëåì, áëèçêèì êïîëþninXX∂∂V1◦ = (ωi+Ωij),(109)∂ψi j=1∂ψiji=1à àíàëîãè÷íàÿ íåâîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà, îòâå÷àþùàÿ ñèñòåìå ñ ãàìèëüòîíèàíîì M , íà ýòîì òîðå îïðåäåëÿåòñÿ ïîëåìV2◦ =nXi=1(niX∂∂+).∂ψi j=1 ∂ψij(110)Âáëèçè ïîñòðîåííîãî òîðà Λ ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå gVτ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà íà ñåáÿ, ðàâíîå ïîòîêó íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû V çà âðåìÿ τ .Ïîä÷åðêí¼ì åù¼ ðàç, ÷òî òîð Λ ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ gVτ .Øàã 2.
Ïåðåéä¼ì ê óãëîâûì êîîðäèíàòàì r, ψ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè,â ðåçóëüòàòå ÷åãî ðàäèóñ-âåêòîðà xi è yij ïðåäñòàâÿòñÿ â âèäå ïàð ÷èñåë(ri , ψi ), 1 ≤ i ≤ n, è (rij , ψij ), 1 ≤ j ≤ ni , ñîîòâåòñòâåííî. Ñîîòâåòñòâóþùèåèìïóëüñû îáîçíà÷èì ÷åðåç pri , prij . Áóäåì îáîçíà÷àòür = {ri , ri1 , .
. . , rini | 1 ≤ i ≤ n},pr = {pri , pri1 , . . . , prini | 1 ≤ i ≤ n},ψ = {ψi , ψi1 , . . . , ψini | 1 ≤ i ≤ n},pψ = {pψi , pψi1 , . . . , pψini | 1 ≤ i ≤ n}.Äëÿ ëþáûõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ µ, ν ðàññìîòðèì âîçìóù¼ííóþ ñèñòåìóṼ è îïðåäåëèì áëèçêèé N ìåðíûé òîð Λ̃ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Òî÷êà môàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Λ̃, åñëè ïðè îòîáðàæåíèègṼτ âñå îòâå÷àþùèå ýòîé òî÷êå ðàäèóñ-âåêòîðû xi è yij , à òàêæå ðàäèàëüíûå èìïóëüñû pri , prij , íå ìåíÿþòñÿ, ò.å.
ìîãóò èçìåíèòüñÿ ëèøü óãëîâûåèìïóëüñû pψi , pψij . Äðóãèìè ñëîâàìè,Λ̃ = {m | gṼτ (m) ∈ θm } = {m = (ψ, pψ , r, pr ) | ψ 0 = ψ, r0 = r, p0r = pr },ãäå θm = {ψ = const, r = const, pr = const} 3 m ïëîùàäêà, ïàðàëëåëüíàÿ êîîðäèíàòíîìó ïîäïðîñòðàíñòâó, îòâå÷àþùåìó êîîðäèíàòàì pψ ;t ôàçîâûé(ψ 0 , p0ψ , r0 , p0r ) êîîðäèíàòû òî÷êè m0 = gṼτ (m), gṼt = gH−ω1Mïîòîê âîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.Ïîêàæåì, ÷òî òàêèå òî÷êè äåéñòâèòåëüíî îáðàçóþò N ìåðíûé òîð,áëèçêèé ê íåâîçìóù¼ííîìó òîðó Λ.1611) Êàê ìû çàìåòèëè íà ïåðâîì øàãå, ââèäó òîãî, ÷òî ïåðèîä τ íå ñëèø2êîì âåëèê (ò.å.
èìååò ïîðÿäîê o( ω1 ), ñì. (93)), òîð Λ ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííûì ìíîæåñòâîì, çàïîëíåííûì τ ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû.2) Âûâåäåì èç ñëåäñòâèÿ 13, ÷òî â êàæäîé òî÷êå m ∈ Λ îáðàç Dm îïåðàòîðà dgṼτ (m) − I òðàíñâåðñàëåí ïëîùàäêå θm , ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð. Íàïîìíèì, ÷òî ïëîùàäêà θm íàòÿíóòà íà N âåêòîðîâ, êàæäûé èçêîòîðûõ ëåæèò â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è Êåïëåðàè òðàíñâåðñàëåí å¼ èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
Ïîýòîìó â êîîðäèíàòàõèç ëåììû 16 ïëîùàäêà θm îáëàäàåò òàêèì æå ñâîéñòâîì. Çíà÷èò, â áàçèñå èç ñëåäñòâèÿ 13 ïëîùàäêà θm èìååò òàêîé æå âèä, ò.å. íàòÿíóòà íà Nâåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ îãðàíè÷åí è ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âòîðîãî áàçèñíîãî âåêòîðà ñîîòâåòñòâóþùåãî áàçèñà èç ñëåäñòâèÿ 13 èäðóãèõ âåêòîðîâ ýòîãî æå áàçèñà. Íî, â ñèëó ÿâíîãî âèäà ìàòðèöû îïåðàòîðà dgṼτ (m) è ñëåäñòâèÿ 13, ïîäïðîñòðàíñòâî Dm òðàíñâåðñàëüíî ëþáîìóïîäïðîñòðàíñòâó óêàçàííîãî âèäà.3) Èç ëåììû 15 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî ω ïðè µ → 0,ν → 0 âîçìóù¼ííàÿ ñèñòåìà ñòðåìèòñÿ ê íåâîçìóù¼ííîé. Ñëåäîâàòåëüíî,ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ µ, ν îòîáðàæåíèå gṼτ ñòàíîâèòñÿ ñêîëü óãîäíî áëèçêèì ê íåâîçìóù¼ííîìó îòîáðàæåíèþ gVτ .Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ ïðèìåíèìà, è ìíîæåñòâîΛ̃ äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ N ìåðíûì òîðîì, áëèçêèì ê òîðó Λ.Ïî ïîñòðîåíèþ, âñå íåïîäâèæíûå òî÷êè îòîáðàæåíèÿ gṼτ ïîïàëè â òîðΛ̃, îòêóäà ñ ïîìîùüþ ïóíêòà 1 ëåììû 15 ïîëó÷àåì ïóíêò Á) òåîðåìû 11.Øàã 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
