Замкнутые траектории гамильтоновых систем и приложение к планетно-спутниковой системе (1102655), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Óñðåäíåíèåì òàêîé 2ôîðìû íà Λ íàçîâ¼ì ãëàäêóþ ôóíêöèþ χ íàΛ, îïðåäåë¼ííóþ ïî ôîðìóëåZχ(m1 ) − χ(m0 ) =C(m∗ )α2 ,m0 , m1 ∈ Λ.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäíèé èíòåãðàë íå çàâèñèò îò âûáîðà ïóòè,ñîåäèíÿþùåãî òî÷êè m0 , m1 íà Λ, òàê ÷òî ôóíêöèÿ χ îïðåäåëåíà êîððåêòíî107ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî. Ôóíêöèÿ χ, î÷åâèäíî, èíâàðèàíòíàîòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îêðóæíîñòè íà Λ.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî îäíîñâÿçíîãî ìíîãîîáðàçèÿ Λ ëþáàÿ çàìêíóòàÿ 2ôîðìà α2 íà ýòîì ìíîãîîáðàçèè ñîõðàíÿåò öåíòð òÿæåñòè.
Àíàëîãè÷íîå âåðíî äëÿ ìíîãîîáðàçèé Λ, ó êîòîðûõ H 2 (Λ) = 0, ëèáî H 1 (B) = 0, ãäåB = Λ/S 1 .Èç äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 3 ëåãêî ñëåäóåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Óòâåðæäåíèå 12. Òåîðåìû 1, 2, 3, 5, 6, 7 è óòâåðæäåíèå 10 îñòàíóòñÿâåðíûìè, åñëè ïðè âîçìóùåíèè ñèñòåìû äîïóñòèòü C 1 ìàëîå âîçìóùåíèå ω̃ 2 ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω 2 , ïîòðåáîâàâ ïðè ýòîì ñîõðàíåíèåå¼ êëàññà êîãîìîëîãèé. Áîëåå òîãî, ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå ìîæíî çàìåíèòüñëåäóþùèì áîëåå ñëàáûì óñëîâèåì: 2ôîðìàα2 = (ω̃ 2 − ω 2 )|Λíà ïîäìíîãîîáðàçèè Λ ñîõðàíÿåò öåíòð òÿæåñòè.
Ïðè ýòîì â ìåòîäåóñðåäíåíèÿ âìåñòî óñðåäí¼ííîãî âîçìóùåíèÿ H̄ ãàìèëüòîíèàíà íóæíîðàññìîòðåòü åãî ñóììó H̄ + χ ñ óñðåäíåíèåì χ âîçìóùåíèÿ 1ε α2 ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû. Çäåñü H = 1ε (H̃ − H)|Λ âîçìóùåíèå ãàìèëüòîíèàíà, H̄ åãî óñðåäíåíèå (6), ε = kH̃ − HkC 2 + kω̃ 2 − ω 2 kC 1 .Ïîä÷åðêí¼ì åù¼ ðàç, ÷òî íà èñõîäíóþ ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ω 2íå íóæíî íàêëàäûâàòü íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé (âñå íóæíûå óñëîâèÿ áóäóòàâòîìàòè÷åñêè âûïîëíåíû). Äàëåå, â ãëàâå 3, áóäåò îïèñàí ðåçóëüòàò ïîíåáåñíîé ìåõàíèêå, ãäå îáîáù¼ííàÿ òåîðåìà Ïóàíêàðå ïðèìåíÿåòñÿ ê åù¼áîëåå îáùåìó ñëó÷àþ êîãäà íåâîçìóù¼ííàÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðàâûðîæäåíà.2.2 Ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿÒåïåðü ìû ïåðåéä¼ì ê îáîáùåíèþ òåîðåìû 1 â ñëåäóþùåé ñèòóàöèè: êîãäàïîäìíîæåñòâî, çàïîëíåííîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè íåâîçìóù¼ííîé ñèñòåìû, ñîäåðæèò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû è, òåì ñàìûì, ëåæèò íàîñîáîé èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
Ïðè ýòîì, êàê â óòâåðæäåíèè 12,áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà òàêæå èçìåíÿåòñÿ ïðèâîçìóùåíèè ñèñòåìû.Ïóñòü, êàê è â òåîðåìå 1, Λ íåêîòîðîå ñâÿçíîå èíâàðèàíòíîå ïîäìíîæåñòâî èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè H −1 (h), çàïîëíåííîå çàìêíóòûìèòðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû. Ïóñòü, êàê è ðàíüøå, ðàññëîåíèå Λ íà çàìêíóòûå108òðàåêòîðèè ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì, ò.å. íà Λ çàäàíà íåïðåðûâíàÿ ïîëîT (m)æèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäà T : Λ → IR, òàêàÿ, ÷òî gH (m) = m, ãäåt÷åðåç gHîáîçíà÷åí ïîòîê ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H . Äðóãèìè ñëîâàìè,êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ γ íà Λ çàìûêàåòñÿ ÷åðåç âðåìÿ T |γ . îòëè÷èå îò òåîðåìû 1, ìû áóäåì òåïåðü ñ÷èòàòü, ÷òî íåêîòîðûå èçòðàåêòîðèé íà Λ ÿâëÿþòñÿ ïîëîæåíèÿìè ðàâíîâåñèÿ, ò.å.
êðèòè÷åñêèìèòî÷êàìè ãàìèëüòîíèàíà.  ÷àñòíîñòè, ðàññìàòðèâàåìàÿ èçîýíåðãåòè÷åñêàÿïîâåðõíîñòü H −1 (h) íå ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé.Ïóñòü òî÷êà m ∈ Λ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H . Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè òî÷êà m íå ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé â Λ, òî ÷èñëî 1 ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñèìïëåêT (m)òè÷åñêîãî îïåðàòîðà A = dgH (m) â ýòîé òî÷êå.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òîâ îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè m ìíîæåñòâî Λ óñòðîåíî òàê æå, êàê äëÿñîîòâåòñòâóþùåé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû. Ýòî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìóîïðåäåëåíèþ.Îïðåäåëåíèå 17. Ïóñòü ìíîæåñòâî Λ ⊂ H −1 (h) ñïëîøü çàïîëíåíî çà-ìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H , èèìååòñÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäà T : Λ → IR. Ïóñòü òî÷êà m ∈ Λ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ ýòîé ñèñòåìû. Òî÷êó m íàçîâ¼ì íåâûðîæäåííîé îñîáåííîñòüþ ìíîæåñòâà Λ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1. Åäèíèöà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñèìïëåêòè÷åñêîãîT (m)îïåðàòîðà A = dgH (m).2.
Îãðàíè÷åíèå d2 H(m)|E(m) ãåññèàíà ôóíêöèè H íà îòâå÷àþùåå 1 ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî E(m) = E1 (A) ⊂ Tm M îïåðàòîðà A ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé â òî÷êå m.×èñëî dim E(m)−1 íàçîâ¼ì ðàçìåðíîñòüþ ìíîæåñòâà Λ â òî÷êå m, à èíäåêñêâàäðàòè÷íîé ôîðìû d2 H(m)|E(m) èíäåêñîì îñîáîé òî÷êè m.ßñíî, ÷òî èíäåêñ íåâûðîæäåííîé îñîáîé òî÷êè íåîòðèöàòåëåí è íå áîëüøå ðàçìåðíîñòè ìíîæåñòâà Λ â ýòîé òî÷êå ïëþñ 1. Îïðåäåëåíèå 17 îáîáùàåòàíàëîãè÷íûå îïðåäåëåíèÿ èç ðàáîò Âåéíñòåéíà [35] è Ìîçåðà [25], â êîòîðûõïðåäïîëàãàëàñü çíàêîîïðåäåë¼ííîñòü ôîðìû d2 H(m)|E(m) .
Èç îïðåäåëåíèÿ17 ïîëó÷àåì ñëåäóþùååÑëåäñòâèå 11. Ïóñòü òî÷êà m ∈ Λ ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé îñîáåííîñòüþ ìíîæåñòâà Λ. Òîãäà:T (m)1. Ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî E(m) îïåðàòîðà A = dgH (m), îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ 1, ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì è,â ÷àñòíîñòè, ÷¼òíîìåðíûì.1092. Òî÷êà m ÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êîé ôóíêöèè H .3.
Íà ïîäïðîñòðàíñòâå E = E(m) ñóùåñòâóþò êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû p1 , q1 , . . . , pd , qd (2d = dim E ), â êîòîðûõ ãàìèëüòîíèàí è ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû íà E èìåþò âèäd2 H(m)|E =d1Xωi (p2i + qi2 ),2 i=1ω 2 (m)|E =dXdpi ∧ dqi ,(62)i=1iãäå ωi íåêîòîðûé íàáîð íåíóëåâûõ ÷èñåë âèäà ωi = T2πk, ki ∈ ZZ,(m)2d = dim E .  ÷àñòíîñòè, èíäåêñ íåâûðîæäåííîé îñîáîé òî÷êè mÿâëÿåòñÿ ÷¼òíûì ÷èñëîì.Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèåTm M = E ⊕ F(63)êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà â òî÷êå m â ïðÿìóþ ñóììó ñèìïëåêòè÷åñêèõïîäïðîñòðàíñòâ, òàêèõ, ÷òî îáà ïîäïðîñòðàíñòâà E è F èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà ëèíåàðèçàöèè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H â òî÷êåm, ïðè÷¼ì âñå òðàåêòîðèè ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû íà ïîäïðîñòðàíñòâå Eçàìûêàþòñÿ ÷åðåç âðåìÿ T = T (m), à íà ïîäïðîñòðàíñòâå F íåò íåîñîáûõòðàåêòîðèé, çàìûêàþùèõñÿ ÷åðåç âðåìÿ T .Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ïîêàæåì, ÷òî ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî E(m)îïåðàòîðà A ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç B îïåðàòîð ëèíåàðèçàöèè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H â òî÷êå m. Òîãäà A = eT (m)B .Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîðû A è B êîììóòèðóþò, à çíà÷èò, ïîäïðîñòðàíñòâîE = E(m) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà B . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîîïðåäåëåíèþ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû, äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ η , ξ â òî÷êå mω 2 (ξ, Bη) = d2 H(m)ξη . Îòñþäà, ñ ó÷¼òîì óñëîâèÿ 2, ïîëó÷àåì, ÷òî îãðàíè÷åíèå ôîðìû ω 2 è îïåðàòîðà B íà ïîäïðîñòðàíñòâî E íåâûðîæäåíû. Â÷àñòíîñòè, ïîäïðîñòðàíñòâî E ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì.2)  ñèëó ñèìïëåêòè÷íîñòè ïîäïðîñòðàíñòâà E , åãî êîñîîðòîãîíàëüíîåäîïîëíåíèå F òîæå ñèìïëåêòè÷íî, è ñïðàâåäëèâî ðàçëîæåíèå (63). Ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åíèå ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû íà F íå èìååò íåîñîáûõòðàåêòîðèé, çàìûêàþùèõñÿ ÷åðåç âðåìÿ T .
Îòñþäà ñëåäóåò íåâûðîæäåííîñòü ôîðìû d2 H(m)|F è, òåì ñàìûì, ìîðñîâîñòü òî÷êè m.3) Ôèêñèðóåì íà ïðîñòðàíñòâå E ëþáîå S 1 èíâàðèàíòíîå ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå (åãî ìîæíî ïîñòðîèòü ïðè ïîìîùè óñðåäíåíèÿ ïî äåéñòâèþîêðóæíîñòè êàêîãî-íèáóäü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ). Ñîãëàñíî òåîðåìå èçëèíåéíîé àëãåáðû, ñóùåñòâóåò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ, â êîòîðîì êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Q = d2 H(m)|E ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîìó âèäó, ïðè÷¼ì íàáîð äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ýòîé ôîðìû íå çàâèñèò îò áàçèñà. Ðàññìîòðèì110ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçëîæåíèå ïðîñòðàíñòâà E â ïðÿìóþ ñóììó îðòîãîíàëüíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ Ei , êîòîðûå îðòîãîíàëüíû îòíîñèòåëüíî ôîðìû Q è íàêîòîðûõ ýòà ôîðìà ïðîïîðöèîíàëüíà ñêàëÿðíîìó êâàäðàòó, ïðè÷¼ì ðàçíûìïîäïðîñòðàíñòâàì îòâå÷àþò ðàçíûå êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.Ñîãëàñíî òåîðåìå èç ëèíåéíîé àëãåáðû, òàêîå ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî.Çàìåòèì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà Ei èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû, ïîñêîëüêó ëèíåàðèçîâàííàÿ ñèñòåìà ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è ôîðìó Q, à çíà÷èò, è ðàçëîæåíèå E = ⊕Ei .
Îòñþäà,ñ ó÷¼òîì íåâûðîæäåííîñòè ôîðìû Q, ñëåäóåò ñèìïëåêòè÷íîñòü ïîäïðîñòðàíñòâ Ei , à òàêæå èõ ïîïàðíàÿ êîñîîðòîãîíàëüíîñòü. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ïî òåîðåìå èç ëèíåéíîé àëãåáðû â êàæäîì èç ïîäïðîñòðàíñòâEi ñóùåñòâóåò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ, â êîòîðîì îãðàíè÷åíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû íà Ei ïðèâîäèòñÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó, ò.å. çàäà¼òñÿáëî÷íî-äèàãîíàëüíîéìàòðèöåé, íà äèàãîíàëè êîòîðîé ñòîÿò áëîêè âèäàÃ!0 −1λi, ãäå λi > 0. Äîìíîæèì ïàðó áàçèñíûõ âåêòîðîâ, îòâå÷àþùèõ1 0√êàæäîìó òàêîìó áëîêó, íà ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëî 1/ λi .  êà÷åñòâå èñêîìûõ êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò p1 , q1 , .
. . , pd , qd â E âîçüì¼ì êîîðäèíàòû,îòâå÷àþùèå ïîñòðîåííîìó áàçèñó.Ñëåäñòâèå 11 äîêàçàíî.Îïðåäåëåíèå 18. Ïóñòü Λ ⊂ H −1 (h) ïîäìíîæåñòâî, ñïëîøü çàïîëíåí-íîå çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H è ñîäåðæàùååïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýòîé ñèñòåìû. Íàçîâ¼ì Λ íåâûðîæäåííûì, åñëè îíîèìååò ëèøü íåâûðîæäåííûå îñîáåííîñòè. Áîëåå òî÷íî, Λ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:1.
Ëþáîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íà Λ ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé îñîáåííîñòüþ ýòîãî ïîäìíîæåñòâà, â ÷àñòíîñòè, îíî ÿâëÿåòñÿ ìîðñîâñêîéêðèòè÷åñêîé òî÷êîé ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà H .2. Äîïîëíåíèå â Λ ê ìíîæåñòâó âñåõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿåòñÿíåâûðîæäåííûì â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1, â ÷àñòíîñòè, îíî ÿâëÿåòñÿãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà.Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàçìåðíîñòü ïîñëåäíåãî ïîäìíîãîîáðàçèÿñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ ìíîæåñòâà Λ â êàæäîé åãî îñîáîé òî÷êå.
Êðîìåòîãî, äëÿ ëþáîé îñîáîé òî÷êè, èìåþùåé èíäåêñ áîëüøå íóëÿ è ìåíüøå ðàçìåðíîñòè Λ, ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâà Λ \ {m} ñ ëþáîé ñêîëü óãîäíî ìàëîéîêðåñòíîñòüþ òî÷êè m íåïóñòî.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëþáîå êîìïàêòíîå íåâûðîæäåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå111Λ èìååò òîëüêî êîíè÷åñêèå îñîáåííîñòè, ò.å. îñîáåííîñòè ñëåäóþùåãî âèäà.Îïðåäåëåíèå 19. Ïóñòü m ∈ Λ íåâûðîæäåííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ìíîæå-ñòâà Λ, ñïëîøü çàïîëíåííîãî çàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè.
Òî÷êó m íàçîâ¼ìêîíè÷åñêîé îñîáåííîñòüþ ìíîæåñòâà Λ, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1. Ñóùåñòâóåò âëîæåíèå i◦ (êëàññà C ∞ âíå íóëÿ è äèôôåðåíöèðóåìîå âíóëå, íî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ãëàäêîå â íóëå) ïîäïðîñòðàíñòâà E(m) âñêîëü óãîäíî ìàëóþ øàðîâóþ îêðåñòíîñòü Um òî÷êè m, ïðè êîòîðîìêîíóñC(m) = {ξ ∈ E(m) | d2 H(m)ξ = 0}(64)ïåðåõîäèò â ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâà Λ ñ îêðåñòíîñòüþ Um , âåðøèíà 0êîíóñà C(m) ïåðåõîäèò â òî÷êó m è di◦ (0) = idE(m) .2. Ïðè âëîæåíèè i◦ |C(m) òðàåêòîðèè ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû íà êîíóñåC(m) ïåðåõîäÿò â òðàåêòîðèè ñèñòåìû íà Λ. Ïðè ýòîì âåêòîð ñêîðîñòèëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû â ëþáîé òî÷êå ξ ∈ C(m) ïåðåõîäèò â âåêòîðñêîðîñòè ñèñòåìû â òî÷êå m0 = i◦ (ξ) ñ êîýôôèöèåíòîì T (m0 )/T (m).Ïîÿñíåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
