Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения в задачах и примерах (1092383), страница 14
Текст из файла (страница 14)
25.2. (a)x2xx/2-x/2y=-xy=0xРис. 25.2. (б)Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: −λ2 = 0, λ2 − 3λ − 4 = 0, λ1 = −1, λ2 = 4. 2 3−λ Корни характеристического уравнения действительны и имеют разные знаки; следовательно, положение равновесия – седло. Найдем сепаратрисы седла, т. е. прямые, разделяющие гиперболы разных типов, которые являются фазовыми кривымисистемы (собственно асимптоты этих гипербол).Ищем их в виде y = kx. Для определения k имеем уравнение2k = 2+3k2k , из которого получаем уравнение 2k − 3k − 2 = 0,корни которого k1 = − 12 , k2 = 2.Следовательно, y = −x/2 и y = 2x – искомые сепаратрисы.Каждая из этих прямых состоит из трех фазовых кривых: двухлучей и положения равновесия (0; 0).
На лучах y = −x/2, x > 0и y = −x/2, x < 0 исходная система принимает вид ẋ = −x,ẏ = −y. Значит, вдоль лучей y = −x/2, x > 0 и x < 0 фазоваяточка (x(t); y(t)) движется по закону x(t) = x0 e−t , y(t) = y0 e−t ,т. е. движение точки с ростом t происходит по направлениюк началу координат. Аналогично, вдоль лучей y = 2x, x > 0и x < 0 фазовая точка движется согласно системе уравненийОсобые точки на фазовой плоскости139ẋ = 4x, ẏ = 4y, т. е. по закону x(t) = x0 e4t и y(t) = y0 e4t , тоесть движение происходит в направлении от начала координат.Этого достаточно, чтобы схематически изобразить фазовыекривые исходной системы и указать направления движения поэтим кривым (рис.
25.2 (б)).Задача 25.4. Исследовать поведение фазовых кривых системы уравнений dx = αx + y,dtdy = −x + αy.dtСделать схематический чертеж.Решение: Характеристическое уравнение α−λ1 λ2 − 2αλ + λ2 + 1 = 0 −1 α − λ = 0,имеет комплексные корни λ1,2 = α ± i.Если α = 0, то положение равновесия – центр. В этом случае исходная система имеет вид ẋ = y, ẏ = −x, решив которую,найдем, что x и y связаны соотношением x2 + y 2 = c2 , т. е. фазовые кривые системы – окружности радиуса |c| > 0 с центромв точке (0; 0) и сама точка (0; 0) (рис.
25.3).Рис. 25.3При α = 0 положение равновесия – фокус: устойчивый, еслиα < 0, и неустойчивый, если α > 0. В этом случае фазовыекривые – спирали, наматывающиеся на точку (0; 0) (рис. 25.3).14026Практическое занятиеДвижение фазовой точки по этим спиралям происходит внаправлении к положению равновесия, если α < 0, и от него,если α < 0 (рис. 25.3). Направление движения найдем, вычислив направляющий вектор (ẋ, ẏ) в какой-нибудь точке.
Например, задав x = 1, y = 0, находим, что направляющий векторв точке (1, 0) равен (α, −1 + α), т.е. при малых α движениепроисходит по часовой стрелке, как показано на рис. 25.3.Задачи для самостоятельного решенияИсследовать поведение фазовых кривых систем уравнений: dx = 2x,dt1.dy = x + y. dt dx = −3x + 2y,dt2.dy = x − 4y. dt dx = 3x − 4y,dt3.dy = x − 2y. dt dx = −2x − 5y,dt4.dy = 2x + 2y. dt dx = x − 2y,dt5.dy = 2x − 3y. dt dx = x − 2y,dt6.dy = 3x + 4y.dtУстойчивость положений равновесия14126. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ.
Нелинейныесистемы. Устойчивость положений равновесияЗадача 26.1. Исследовать тип каждого из положений равновесия системы уравнений dx = x(x + y − 2),dt(26.1)dy = y(1 − x).dtСделать схематический чертеж фазовых кривых.Решение: Положения равновесия данной системы определяем из уравненийx(x + y − 2) = 0,y(1 − x) = 0.Значит, существует три положения равновесия данной системы: O(0; 0), O1 (1; 1) и O2 (2; 0). Характеристическое уравнение,соответствующее положению равновесия (x0 ; y0 ), имеет вид2x0 + y0 − 2 − λx0=−y01 − x0 − λ= λ2 − (x0 + y0 − 1)λ + 4x0 − 2x20 + y0 − 2 = 0.При x0 = y0 = 0 получим характеристическое уравнениеλ2 + λ − 2 = 0, имеющее корни λ1 = −2, λ2 = 1; следовательно,положение равновесия O(0; 0) – седло.
В положении равновесия x0 = 1, y0 = 1 получим уравнение λ2 − λ + 1 = 0. Его корникомплексные сопряженные, причем Reλ = 1/2 > 0; значит, положение равновесия O(1; 1) – неустойчивый фокус. Наконец,при x0 = 2, y0 = 0 имеем уравнение λ2 − λ − 2 = 0. Корни этого уравнения – действительные числа разных знаков, поэтомуположение равновесия O2 (2; 0) – седло.Координатные оси состоят из фазовых кривых.
Так, осьординат состоит из трех фазовых кривых: x = 0, y < 0;14226Практическое занятиеx = 0, y = 0 и x = 0, y > 0, а ось абсцисс – из пяти:y = 0, x < 0; x = 0, y = 0; y = 0, 0 < x < 2; y = 0, x = 2; иy = 0, x > 2.На прямой x = 0 исходная система эквивалентна уравнениюẏ = y, так что движение фазовой точки на ось ординат проходит в направлении от положения равновесия O(0; 0) по законуy(t) = y0 et .Движение фазовой точки по оси абсцисс проходит следующим образом: если движение начинается из точки (x0 ; 0), гдеx0 < 2, то фазовая точка с течением времени приближаетсяк началу координат; если же движение начинается из точки(x0 ; 0), где x0 > 2, то фазовая точка с течением времени уходитв бесконечность.
Фазовые кривые исходной системы уравненийизображены на рис. 26.1.Рис. 26.1. Траектории решений системы уравнений (26.1)Задача 26.2. Исследовать тип положений равновесия системы уравнений dx = 2xy,dt(26.2)dy22=1+y−x +y .dtУстойчивость положений равновесия143Сделать схематический чертеж фазовых кривых.Решение: Из системы алгебраических уравнений2xy = 0,1 + y − x2 + y 2 = 0находим положения равновесия O1 (−1; 0) и O2 (1; 0). Посколькуисходная система не изменяется при замене x на −x, ее фазовые кривые симметричны относительно оси ординат, а значит,достаточно исследовать тип одного из положений равновесия,например O2 (1; 0).Составим характеристическое уравнение, соответствующееэтому положению равновесия:−λ22 = 0,− λ + 4 = 0.λ −2 1 − λКорни этого уравнения комплексные сопряженные, их вещественные части Reλ1 = Reλ2 = 1/2; следовательно, оба положения равновесия исходной системы — неустойчивые фокусы.Отметим, что ось ординат является фазовой кривой и на этойоси система эквивалентна уравнению ẏ = 1 + y + y 2 .
Фазоваяточка, где бы на оси ординат она ни начинала свое движение, стечением времени уходит в плюс бесконечность. Фазовые кривые системы изображены на рис. 26.2.Рис. 26.2. Траектории решений системы уравнений (26.2)14426Практическое занятиеЗадача 26.3.
Исследовать тип всех положений равновесиясистемы уравнений dx = −2xy,dt(26.3)dy22= x + y − 1.dtСделать схематический чертеж фазовых кривых.Решение: Решая совместно алгебраические уравнения−2xy = 0,x2 + y 2 − 1 = 0,находим все положения равновесия исходной дифференциальной системы: O1 (−1; 0), O2 (1; 0), O3 (0; 1) и O4 (0; −1).Составляем характеристическое уравнение, соответствующее положению равновесия (x0 ; y0 ):−2y0 − λ −2x0 = 0,λ2 + 4(x20 − y02 ) = 0. 2x02y0 − λПри x0 = 0, y0 = ±1 это уравнение имеет действительные корни разных знаков: λ1 = −2, λ2 = 2; следовательно,положения равновесия O3 и O4 являются седлами. Нетрудно заметить также, что ось ординат состоит из фазовых кривых, три из которых являются сепаратрисами указанных седел:x = 0, y < −1; x = 0, −1 < y < 1; x = 0, y > 1, причем сепаратриса x = 0, −1 < y < 1 является общей для обоих седел,выходящей для седла O3 и входящей для седла O4 .При x0 = ±1, y0 = 0 характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни: λ1,2 = ±2i; следовательно, положенияравновесия O1 и O2 исходной системы могут быть либо центрами, либо фокусами.
Поскольку уравнение фазовых кривых(x2 + y 2 − 1)dx + 2xydy = 0 не меняется при замене y на −y,фазовые кривые исходной системы симметричны относительнооси абсцисс. Отсюда следует, что положения равновесия O1 иO2 являются центрами. Направление движения по замкнутымУстойчивость положений равновесия145фазовым кривым в окрестности этих центров можно определить из следующих соображений.
Согласно второму уравнениюисходной системы, фазовая точка пересекает ось абсцисс так,что ẏ = x2 (t) − 1. Значит, ее ордината в этот момент возрастает, если фазовая точка пересекает ось абсцисс в точках, длякоторых |x| > 1, и убывает, если |x| < 1. Фазовые кривые изображены на рис. 26.3.Рис. 26.3. Траектории решений системы уравнений (26.3)Задачи для самостоятельного решенияИсследовать тип каждого из положений равновесия системуравнений: dx = 4x2 − y 2 ,dt1.dy = −4x + 2xy − 8.dt146272.3. dxdtdy dt dxdtdydtПрактическое занятие= ln(1 − y + y 2 ),= 3 − x2 + 8y.= −2(x − y)y,= 2 + x − y2.27.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА. Численноерешение задачи Коши для системдифференциальных уравненийНапишите программу решения задачи Коши для системыдвух дифференциальных уравнений из Таблицы 4 методомРунге-Кутта четвертого порядка точности в соответствии свариантом, указанным преподавателем. Осуществите расчет сразными значениями шага интегрирования. Результаты представьте в виде графиков на экране терминала в виде проекцийинтегральных кривых на плоскость Y Z. Постройте трехмерныеинтегральные кривые и их проекции на различные координатные плоскости.Численное решение задачи Коши для систем147Таблица 4.1y = x2 + z; z = sin y + x; y0 = z0 = 1222y = e−(x +z ) ; z = x + y; y0 = 0, z0 = 13y =√arctg(xz); z = x − y; y0 = −1; z0 = 14 y = x + 1√+ z 2 ; z = e−x + y; y0 = 1; z0 = 25y = sin x z; z = e−x + y; y0 = 1; z0 = 26y = e−z + x2 ; z = x − y 2 ; y0 = 0; z0 = 27y = cos x + yz; z = y + ex ; y0 = 2; z0 = 18y = xe−z ; z = 1+x12 +y2 ; y0 = 1; z0 = 09y = z sin y; z = y + sin√x; y0 = −2; z0 = 110 y = e2x + z 2 ; z = e−y + 2 + x; y0 = z0 = 111y = sin xez ; z = ln(1 + x) − y; y0 = z0 = 22yz12y = x+1; z = e−x−y ; y0 = 0; z0 = 113y = x − sin z; z = x2 − y 2 ; y0 = 1; z0 = 0y14y = x2 + cos y; z = 1+x; y0 = 2; z0 = 0215y = x2 + e−z ; z = xy; y0 = 1; z0 = 016y = e−x−y−z ; z = y + z; y0 = 0, z0 = 217 y = z + 2 cos x; z = x − 5 sin y; y0 = z0 = 218 y = ln(1 + x2 ) + z 2 ; z = xy 2 ; y0 = 2, z0 = 1219y = e−x +z;z= x + y; y0 = −1, z0 = 1√20y = z sin x; z = arctg e−xy ; y0 = z0 = 02+y 2y21y = x1+z2 + 2x; z = cos x ; y0 = 2, z0 = 1y22 y = ln(1 + z 2 ) + 2x; z = 1+x; y0 = 0, z0 = 1√23y = sin z 2 + x; z = e−xy ; y0 = 1, z0 = 224y = e− sin(x+y) ; z = tg x + y 2 ; y0 = z0 = 125y = y tg x + z; z = x sin ey ; y0 = z0 = 126y = sin z + x2 ; z = x2 − √y 2 ; y0 = 1, z0 = 027 y = arctg z − x; z = y − x; y0 = 1, z0 = 1128y = ecos(x−z) ; z = x+y2 ; y0 = 1, z0 = 0√29y √= sin xz; z = cos(x − y); y0 = z0 = 130 y = 1 + x2 − z; z = y 2 + sin x; y0 = 0, z0 = 114827Самостоятельная работаОТВЕТЫЗанятие 3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
