Учебно-методическое пособие (очно-заочники) (1082839)
Текст из файла
1Московский технологический университетМатематический анализ4 семестрУчебно-методическое пособиеДля студентов очно-заочной и заочной форм обученияИнституты РТС и ЭлектроникиМосква 20162Составители: Т.Р. Игонина, О.А. Малыгина, Н.С. ЧекалкинВведениеПособие содержит типовые задания, теоретические вопросы по курсуматематического анализа 4-го семестра. Содержание данного курса включаеттеорию функций комплексного переменного, а также вопросы, связанные сприложениями интегралов, зависящих от параметра. В пособии приведеныпримерные образцы контрольных работ, типовой образец экзаменационного(зачетного) билета, представлен список рекомендуемой литературы.Выполнение заданий, приведенных в пособии, позволит учащимсяполноценно усвоить материал курса математического анализа 4-го семестра,успешно написать контрольные работы, выполнить типовой расчет, сдатьэкзамен (зачет).Пособие предназначается для студентов очно-заочной и заочной формобучения институтов РТС и Электроники.Теоретические вопросы по курсу1.
Комплексные числа. Тригонометрическая и показательная формызаписи комплексного числа. Действия с комплексными числами (сложение,умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).2. Основные элементарные функции комплексного переменного, ихсвойства. Примеры. Предел, непрерывность и дифференцируемость функциикомплексного переменного.3.
Определение аналитической функции, ее свойства. Условия КошиРимана. Примеры аналитических и неаналитических функций.4. Определение интеграла функции комплексного переменного вдолькусочно-гладкой кривой, свойства. Теоремы Коши для односвязной имногосвязной области.5. Степенной ряд, область его сходимости. Ряд Тейлора аналитическойфункции, основные разложения.
Ряд Лорана аналитической функции.Примеры разложения в ряд Лорана.6. Изолированные особые точки (и.о.т.). Классификация и.о.т. поглавной части ряда Лорана и на основе поведения функции в окрестностиособой точки. Нуль аналитической функции, его кратность. Связь полюса снулем обратной функции. Примеры.7. Вычет аналитической функции в и.о.
т. Определение вычета по рядуЛорана. Вычисление вычета в устранимой особой точке, в простом и кратномполюсе.8. Основная теорема о вычетах. Примеры вычисления контурныхинтегралов с помощью вычетов.39. Вычисление несобственных интегралов по прямой и полупрямой.Лемма Жордана.
Примеры использования леммы Жордана.10. Теорема Руше и ее применение.11. Использование теории вычетов при решении задачи Кошиоператорным методом в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений(нахождение оригинала с помощью вычетов).12. Интегралы, зависящие от параметра, их свойства. ОпределениеГамма-функции, ее свойства. Бета-функция, ее выражение через гаммафункцию. Применение гамма и бета-функций.Методические указанияДля успешного усвоения содержания курса математического анализа 4го семестра рекомендуется выполнить типовые задания, представленные внастоящем пособии.
Данные задания составляют содержание типовогорасчета.Преподаватель назначает каждому студенту группы номер варианта.Студент в соответствии с номером варианта выполняет задания из пособия вотдельной тетради. Решение каждой задачи должно быть подробным суказанием использованных теоретических положений.Выполнение типового расчета – обязательное условие допускастудента на экзамен (зачет).Приведем типовые образцы контрольных работ по курсу иэкзаменационных (зачетных) билетов.Примерный вариант контрольной работы по теме «Аналитические функции.Решение уравнений»1) Вычислить: а) ( 5 5 i ) ; б) ( 3 i 3 ) .2) Решить уравнения: а) z 27 i 0 ;б) sin 2 z 2 . Ответы изобразить накомплексной плоскости.3) Проверить аналитичность следующих функций: а) f ( z ) iz 27 i 3 z ; б)f (z) e 2i .4) Изобразить на комплексной плоскости Re( 2 z ) 1 .2i10032izПримерный вариант контрольной работы по теме «Классификация и.о.т.Вычеты.
Приложения вычетов»1. Функциюf (z) 12 z 5разложить в ряд Лорана в области| z | 5 22. Указать особые точки, их тип, найти вычеты в особых точках:.47а)f ( z ) ( z 3)3 e; б)z 3ef (z) 3z2z (z3. Вычислить: а)cos 5 z 12z (zLБ)Lzdzsin z,2,dz 1)12 4)L : | z i | 1 ,5..L : | z 2 | 34. Вычислить:1(x2 25 )( x2 1)dx.Примерный вариант экзаменационного (зачетного) билета1. Решить уравнение: а) z 32 i 0 ; б) sin 4 z 3 .f ( z ) | ie|.2. Установить, является ли функция аналитической:3. Указать особые точки, их тип, найти вычеты в особых точках:53 z6f (z) (5 z 2) ez 24. Вычислить:z2.L5.
Вычислить:cos 9 z 1z3(z2dz 4)0.x sinx2L : | z i | 25 x 4dx..6. С помощью вычетов найти оригинал изображения:pF ( p) p4 1.7. Теоретический вопрос (из списка, приведенного выше).Замечание: по усмотрению преподавателяконтрольной работы или билета может быть изменено.количествозадачКурс математического анализа (4 семестр) базируется на материалекурсов математического анализа 1-го, 2-го и 3-го семестров (теория пределов,теория дифференцирования, теория интегрирования, теория рядов), наматериале курса алгебры, на материале курса дифференциальных уравнений.Список рекомендуемой литературы1. Аксененкова И.М., Малыгина О.А., Чекалкин Н.С., Шухов А.Г.
Ряды.Интеграл Фурье и преобразование Фурье. Приложения. М.: URSS, 2009.2. Бугров Я.С, Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике.М., 2001.53. Ильин В.А, Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Издво физ.-мат. лит., 2002.4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., ЗаляпинВ.И.
Вся высшая математика. Том 1- 4. М.: URSS, 2005.5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1 и 2. М.: Дрофа,2004.6. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Г., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборникзадач по математическому анализу. М.: Физматлит, 2003.7. Никольский С.М. Курс математического анализа.
М.: Лань, 2005.8.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: АйрисПресс, 2004.9. Аксененкова И.М., Игонина Т.Р., Малыгина О.А., Улуханян А.Р.,Унучек С.А. Математический анализ (4 семестр). Учебно-методическоепособие. МИРЭА, 2014.10. Гущина Е.Н., Игонина Т.Р., Евсеева О.А., Кольцова Е.В., КузнецоваЕ.Ю., Малыгина О.А., Морозова Т.А., Немировская-Дутчак О.Э., НовиковаА.И., Приходько В.Ю., Руденская И.Н., Татаринцев А.В., Унучек С.А.,Фаркова Н.А., Чекалкин Н.С. Календарно-тематические планы для очнозаочного и заочного отделений факультетов РТС, Электроники,Информационных технологий. М.: МИРЭА. 2014. 64 с. // электронноеиздание.
Рег. Свидетельство № 35184.11. Боярчук А.К. Справочное пособие по высшей математике. Том 4.Функции комплексного переменного (теория и практика). М.: URSS, 1999.12. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.:Мир, 2009.13. Шабунин М.И., Сидоров Ю.В. Теория функций комплексногопеременного. М.: ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002.14. Эйдерман В.Я. Основы теории функций комплексного переменногои операционного исчисления.
М.: Физматлит, 2002.Интернет-ресурсы15. Евграфов М.А. Аналитические функции. http://reslib.com/book/61716. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические испециальные функции. Преобразование Лапласа. http://reslib.com/book/4056117. Киселёв В.Ю., Пяртли А.С., Калугина Т.Ф. Высшая математика.Интерактивныйкомпьютерныйучебник.http://webmath.exponenta.ru/s/vm_1_index.html6Основные типы задач по курсу математического анализа4-ый семестрЗадача №1.Представитьданноекомплексноечислотригонометрической и показательной форме.№валгебраической,№1(2 − 2)72(−√3 − 3)33((−1 + )(−3 + √3))44((1 + 3 )(2 − 25 ))105(− 7 (2 − 2√3))116( 11 (−√2 − √6))137(−√3 − )9 (1 + 17 )789(11(1 − 5√3 + )21−1 + 15−√3 − 3)15(√5 + √15 7 )1013(√3 + 3 3 )4(√17 − √51 3 )6(20 8 + 3 18 )415(10(1− 8)1+−1 + √4 8)1 + 312(1 + √3)6(1 + )214(7 4 + 5 10 )10(−7 2 − 7 3 )216(3 i3)200 (2 2i)Задача №2.Решить уравнение.
Корни уравнения изобразить на комплексной плоскости.№1№ + 3 = 02 + 5√2 − 7 = 073 2 + 3 − 4 = 04sin = 25cos = −36ℎ = −57ℎ = 68sin = −39cos = 210ℎ = −411 = −212ℎ = 313sin + cos = 214sin − cos = 3152ℎ + ℎ = 416z4 64 i 0Задача №3.Проверить, является ли функция ()аналитичной, используя условияКоши-Римана.№№22() = 2 + 5̅ − 7() = cos( − 1)4() = cos(̅ − 1)5() = ℎ2 + 6() = + 27() = ()2 + 5 + 38() = || + 9() = (−1)10() = sin( + 2)11() = ℎ3 − 12() = ̅ + 2 + 413() = 3 2 − 4 + 214() = ℎ + Re15() = 5 + 16() = || − 21() = 3−38Задача №4.Получить все разложения функции () в ряд Лорана по степеням( − 0 ). Если 0 – особая точка, указать тип этой особой точки и найти ().=0№0()1−1−1( + 1)2−2 2 + 2 − 4 2 ( − 2)322 2 − 5 + 4( − 2)241sin−151+22 − 162( + 2)( + 3)7−1802 + 4912 2 − + 13 − 10011−22 2 + + 2 2 ( + 2)12−1 3 + 3 2 + 2 + 1 2 ( + 1)2223 − 1− 2 − 32 − 3− 3 + 29131( − 1)21413 2 − 1( 2 − 1)152 2 − 3 + 5( + 1)( − 2)216321− 7 + 12Задача №5.Найти все особые точки функции ()и установить их тип.№13№() =31 + 42() = −2sin2411() = 2 ( − sin )() =5() =1 − cos367() =+1 4 + 1681() =() =1 + 21(1 −)3 (+ 2)21 + 29() =11 +2+21011() =sin( 3 + 1)12() =1 5 − 4 313() =sin 3 ( − 1)314() = − 1 2 ( + 1)15() =cos3( + 1) 216() =() =3 + 1( + 3)2 ( + 1)10Задача №6.Вычислить интеграл по замкнутому контуруf ( z ) dzс помощью вычетов.L№123456789101112()cosπ(2 − 1)2ℎπ( + 4)( 2 + 4)1+ 163 +82( + 2 + 5)4sin2+ 4) 2 ( 2sin− 2)2( − 1)( − 2)2cos3 − 2 − 2ℎ2( + 2 + 5) 2 (( − 1)2 ( − 4)cos2 ( + 1)|| = 1|| = 5| − 2| = 2| − 2| = 2√2| + 1 − 2| = 1|| = 1|| = 1| − 2| =12| + 1| = 2| + 1 + 2| = 1|| = 2|| =1213( − π)| − 3| = 114+1( − 1)2 ( − 3)|| = 215( − 1)2 161( +2)2 (− 3)2| − 2| =32| + 2| = 111Задача №7.bВычислить несобственный интеграл f ( x ) dxc помощью вычетов.a№()(, )12( 2 + 1)( 2 + 9)(0, +∞)2( 2 + 2)( 2 + 1)( 2 + 9)(−∞, +∞)−3+ 5 2 + 4(−∞, +∞)42 − + 2 4 + 10 2 + 9(−∞, +∞)52( 2 + 4)2(−∞, +∞)62 + 14 + 1(0, +∞)71( 2 + 9)( 2 + 1)2(−∞, +∞)81( 2 + 1)3(0, +∞)9( 2 + 1)( 2 + 9)( 2 + 16)(−∞, +∞)102( 2 + 4)3(0, +∞)112 + 5 4 + 5 2 + 6(−∞, +∞)122 + 2 4 + 7 2 + 12(−∞, +∞)3412131( 2+ 1)2 ( 2+ 16)(−∞, +∞)144 + 16 + 1(−∞, +∞)152 2 + 13 4 + 13 2 + 36(−∞, +∞)162 + 2 4 + 7 2 + 12(−∞, +∞)Замечание: по усмотрению преподавателя список типовых задач курсаможет быть расширен, в частности, путем введения задач, связанных сприменением Гамма и Бета-функций..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.