Voprosy_k_ekzamenu_MA-2013 (1081306)
Текст из файла
ФН-11
Вопросы к экзамену по курсу «Математический анализ»
МОДУЛЬ 1: Элементарные функции и пределы
-
Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности (с доказательством).
-
Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка).
-
Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством).
-
Теорема о единственности предела функции (с доказательством).
-
Ограниченные и локально ограниченные функции. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел (с доказательством).
-
Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой (с доказательством).
-
Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций (с доказательством). Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную (с доказательством).
-
Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (с доказательством).
-
Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций (доказательство для функций и последовательностей).
-
Теорема о пределе сложной функции (с доказательством).
-
Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел (с доказательством).
-
Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функций и последовательностей).
-
Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функций и последовательностей).
-
Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (вывод для функций с использованием теоремы Вейерштрасса для последовательностей) .
-
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях (с доказательством). Выделение главной части.
-
Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции (с доказательством).
-
Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции многочлена и
.
-
Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировки соответствующих теорем).
МОДУЛЬ 2: Дифференциальное исчисление функций одного переменного
-
Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрический смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции.
-
Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной (с доказательством). Связь дифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством).
-
Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного.
-
Теорема о дифференцируемости сложной функции (с доказательством).
-
Теорема о дифференцируемости обратной функции (с доказательством).
-
Дифференциал функции (определение, геометрический смысл). Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка (с доказательством).
-
Логарифмическая производная и производная функции, заданной параметрически.
-
Производные и дифференциалы высших порядков.
-
Формулировки и доказательства теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
-
Формулировка теоремы Бернулли – Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций ( доказательство для случая отношения бесконечно малых). Раскрытие неопределенностей вида
,
,
,
,
.
-
Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной и логарифмических функций.
-
Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа (формулировка и доказательство соответствующих теорем).
-
Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций:
,
,
,
,
.
-
Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой функции (формулировки и доказательства).
-
Понятие локального экстремума. Критические точки. Формулировка и доказательство необходимого условия локального экстремума дифференцируемой функции. Формулировка и доказательство достаточного условия локального экстремума функции по ее первой производной. Формулировка и доказательство достаточного условия локального экстремума функции по ее второй производной.
-
Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции. Формулировка и доказательство достаточного условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.
-
Определение точек перегиба функции. Формулировки и доказательства необходимого и достаточного условий для точек перегиба функции.
-
Асимптоты функции. Вывод уравнения наклонной асимптоты.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.