Voprosy_k_ekzamenu_MA-2013 (1081306)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ФН-11

Вопросы к экзамену по курсу «Математический анализ»

МОДУЛЬ 1: Элементарные функции и пределы

1. Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности (с доказательством).

2. Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка).

3. Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством).

4. Теорема о единственности предела функции (с доказательством).

5. Ограниченные и локально ограниченные функции. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел (с доказательством).

6. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой (с доказательством).

7. Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций (с доказательством). Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную (с доказательством).

8. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (с доказательством).

9. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций (доказательство для функций и последовательностей).

10. Теорема о пределе сложной функции (с доказательством).

11. Теорема о знакопостоянстве функции, име­ющей ненулевой предел (с доказательством).

12. Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функций и последовательностей).

13. Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функций и последовательностей).

14. Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (вывод для функций с использованием теоремы Вейерштрасса для последовательностей) .

15. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях (с доказательством). Выделение главной части.

16. Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции (с доказательством).

17. Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции многочлена и .

18. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировки соответствующих теорем).

МОДУЛЬ 2: Дифференциальное исчисление функций одного переменного

1. Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрический смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции.

2. Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной (с доказательством). Связь дифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством).

3. Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного.

4. Теорема о дифференцируемости сложной функции (с доказательством).

5. Теорема о дифференцируемости обратной функции (с доказательством).

6. Дифференциал функции (определение, геометрический смысл). Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка (с доказательством).

7. Логарифмическая производная и производная функции, заданной параметрически.

8. Производные и дифференциалы высших порядков.

9. Формулировки и доказательства теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

10. Формулировка теоремы Бернулли – Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций ( доказательство для случая отношения бесконечно малых). Раскрытие неопределенностей вида , , , , .

11. Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной и логарифмических функций.

12. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа (формулировка и доказательство соответствующих теорем).

13. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций: , , , , .

14. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой функции (формулировки и доказательства).

15. Понятие локального экстремума. Критические точки. Формулировка и доказательство необходимого условия локального экстремума дифференцируемой функции. Формулировка и доказательство достаточного условия локального экстремума функции по ее первой производной. Формулировка и доказательство достаточного условия локального экстремума функции по ее второй производной.

16. Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции. Формулировка и доказательство достаточного условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.

17. Определение точек перегиба функции. Формулировки и доказательства необходимого и достаточного условий для точек перегиба функции.

18. Асимптоты функции. Вывод уравнения наклонной асимптоты.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов вопросов/заданий