Ответы к теории к экзамену (1080668), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Введем еще один параметр эллипса соотношением . Тогда последнее уравнение запишется как , и после деления на правую часть окончательно получим

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Исследуем это уравнение.

1. Понятно, что .

2. Так как в уравнение входят только четные степени х, у, то если точка (х, у) принадлежит эллипсу, т.е. х, у удовлетворяют уравнению, то точки (-х, у), (х, -у), (-х, -у) тоже принадлежат уравнению. Следовательно, оси Oх и Оу являются осями симметрии эллипса, точка О(0, 0) является центром симметрии.

3. Р ассмотрим часть эллипса, расположенную в первом квадранте ( ). Решив уравнение относительно у, получим . Если x = 0, то у = b; у убывает при возрастании х; если x = а, то у = 0.

На рисунке справа изображена кривая, имеющая эти свойства. Это и есть эллипс.

Число а называют большой полуосью эллипса, b – малой полуосью. Число называется эксцентриситетом эллипса. Этот параметр характеризует «сплюснутость» эллипса. Если (т.е. с = 0, b = а) фокусы эллипса совпадают с его центром, полуоси равны и эллипс превращается в окружность. Если ( ) эллипс вырождается в отрезок, соединяющий фокусы.

Эллипс может быть расположен так, что большая полуось расположена на оси Оу. В этом случае фокусами являются точки F₁(0, -c) и F₂(0, c), точка M(x, y) удовлетворяет уравнению | F₁M | + | F₂M | = 2b, малая полуось , эксцентриситет , каноническое уравнение остается тем же .

Вопрос №10

Гипербола. Здесь также задаются две точки F₁ и F₂ (фокусы гиперболы), расстояние между которыми равно 2с, и гипербола определяется как геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до фокусов по модулю постоянна и равна 2а (a < c). Уравнение || F₁M | – | F₂M || = 2a в координатной форме запишется как . Преобразуем:

параметр b гиперболы вводится соотношением , каноническое уравнение гиперболы имеет вид

. .

Из этого уравнение следует, что

1. ;

1. И здесь в уравнение входят только четные степени х, у, поэтому оси Oх и Оу являются осями симметрии эллипса, точка О(0, 0) является центром симметрии.

2. В первом квадранте . Если x = а, то у = 0; у возрастает вместе с х. При больших функция - бесконечно малая, и ей можно пренебречь, т.е. прямая является наклонной асимптотой при (строго это можно показать методами математического анализа).

К ривая, имеющая эти свойства, изображена на рисунке справа. Вследствие симметрии прямая является асимптотой гиперболы и при , по той же причине прямая также является двусторонней асимптотой. Параметр а называют действительной полуосью гиперболы, параметр b –мнимой полуосью. Число называется эксцентриситетом гиперболы. Так как a < c, то .

Фокусы гиперболы могут быть расположены на оси Оу: F₁(0, -c),

F₂(0, c). В этом случае точка M(x, y) гиперболы будет удовлетворять уравнению || F₁M | – | F₂M || = 2b, b < c, параметр а вводится соотношением , , действительная полуось гиперболы будет равна b, мнимая – а, каноническое уравнение примет вид .

Вопрос №11

П арабола. На плоскости задана точка F (фокус параболы) и прямая (директриса параболы). Расстояние между фокусом и директрисой равно р (параметр параболы). Параболой называется геометрическое место точек M(x, y) плоскости, для которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы. Если расположить начало системы координат посередине между фокусом и директрисой, ось Ох направить перпендикулярно, ось Оу – параллельно директрисе, то в координатной форме условие определения запишется так: . После возведения в квадрат получим

.

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Другие возможные случаи расположения параболы на плоскости и соответствующие канонические уравнения приведены на рисунке справа.

Вопрос №12

Поверхность П называется поверхностью вращения, если она образована окружностями с центрами на некоторой прямой L (оси вращения), которые расположены в плоскостях, перпендикулярных L. Общее уравнение поверхности вращения

Поверхность, которая получается при вращении эллипса вокруг одной из его осей симметрии, называют эллипсоидом вращения. Каноническое уравнение эллипсоида вращения имеет вид:

Поверхность, образованная вращением гиперболы вокруг одной из её осей симметрии называется гиперболоидом вращения. Выбор оси вращения влияет на тип гиперболоида. Если осью вращения является действительная ось симметрии гиперболы, то поверхность – двуполостный гиперболоид вращения. Каноническое уравнение такой поверхности: . При вращении гиперболы вокруг её мнимой оси симметрии получаем однополостный гиперболоид вращения. Её уравнение:

При вращении параболы вокруг её оси получаем параболоид вращения. Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид: , гиперболического: .

Вопрос №13Конус. Так называется поверхность, каноническое уравнение которой . В плоскости z = 0 получаем ; единственная точка, удовлетворяющая этому уравнению – точка О(0, 0). В плоскости у = 0 получаем , это уравнение пары прямых . В плоскости х = 0 уравнение даст пару прямых . В плоскостях z = z₀ получаем , или , это уравнения эллипса с полуосями (az₀/c) и (bz₀/c), линейно расширяющимися с ростом z₀. Поверхность изображена на картинке справа. Если а = b, поверхность будет конусом вращения.

Вопрос №14 Эллиптический параболоид. Эта поверхность задается каноническим уравненим . В плоскостях х = 0 и у = 0 получаются параболы и , в сечении

z = z₀ (z₀ > 0) – эллипс .

Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение этой поверхности . В плоскости у = 0 получается парабола , ветви которой направлены вверх вдоль оси Oz; в плоскости х = 0 - парабола , ветви которой направлены вниз вдоль оси Oz. В сечениях плоскостями х = х₀ получаются параболы , получающиеся перемещением вершин парабол в точку, лежащую на параболе при х = х₀.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)