вопросы для подготовки к экзамену (1079821)
Текст из файла
Математический анализ, ИУ9, 2-й семестрВопросы для подготовки к экзамену/2009г1. Теорема о разложении правильной рациональной дроби на простейшие и ее доказательство.2. Интегрирование простейших дробей и рациональных функций.3. Дать определение интеграла Римана. Доказать его свойства: линейность и интеграл отконстанты.4. Необходимое условие интегрируемости и его доказательство.5. Нижние и верхние интегральные суммы. Критерий интегрируемости, его доказательство.6. Доказательство интегрируемости непрерывных функций и функций с конечным числом точек разрыва.7. Сформулировать и доказать свойство аддитивности определенного интеграла.8.
Доказать свойства определенного интеграла: монотонность, теорему о сохранении интегралом знака подынтегральной функции, теорему об оценке модуля и теорему об оценкеопределенного интеграла.9. Доказать две теоремы о среднем для определенного интеграла.10. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о непрерывности интеграла c переменным верхним пределом.11.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производнойот интеграла по его верхнему пределу.12. Вывести формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.13. Вычисление определенных интегралов. Вывести правила интегрирования по частям и подстановкой.14. Интегрирование периодических функций, интегрирование четных и нечетных функций наотрезке, симметричном относительно начала координат.15. Вывести формулы для вычисления с помощью определенного интеграла площади плоскойфигуры для случаев, когда граница задана в декартовых координатах или параметрически.16.
Вывести формулу для вычисления с помощью определенного интеграла площади плоскойфигуры, граница которой задана в полярных координатах.17. Привести формулу для вычисления с помощью определенного интеграла объема тела поплощадям параллельных сечений в декартовой системе координат.18. Вывести формулу для вычисления с помощью определенного интеграла объемов тел вращения вокруг осей OX и OY в декартовой системе координат.19. Дать определения длины дуги кривой и спрямляемых кривых.
Доказать достаточное условие спрямляемости кривых.20. Определение длины дуги кривой. Вывести формулы для вычисления с помощью определенного интеграла длины дуги кривой, заданой параметрически, в декартовой или полярнойсистемах координат.21. Кривизна кривой и ее геометрический смысл. Вывести формулы для вычисления кривизныграфика функции и кривизны плоской кривой, заданной параметрически.22. Определение радиуса кривизны, круга кривизны и центра кривизны плоской кривой. Эволюта и эвольвента.
Механический способ построения по заданной кривой одной из ее эвольвент. Доказать геометрический смысл круга кривизны. Вывести формулу для вычислениякоординат центра кривизны.23. Дать определение несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконечном промежутке. Доказать признаки сравнения для таких интегралов.24. Дать определение несобственного интеграла от неограниченной функции на конечном отрезке интегрирования. Сведение несобственного интеграла от неограниченной функции кнесобственному интегралу по бесконечному промежутку.
Сформулировать признаки сходимости интегралов от неограниченной функции.25. Сформулировать свойства несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконеч-26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.ном промежутке. Вывести формулу Ньютона — Лейбница, правила интегрирования почастям и подстановкой для таких интегралов.Сформулировать свойства несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконечном промежутке.Дать определение абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла. Сформулировать теорему о их связи.Кривая в пространстве как годограф векторной функции.
Предел и непрерывность векторной функции. Доказать теорему о покоординатной сходимости векторной функции.Касательная к кривой и производная векторной функции. Достаточное условие существования касательной с доказательством и геометрический смысл производной векторной функции. Правила дифференцирования векторных функций. Доказать свойство производнойвекторной функции постоянной длины.Открытые и замкнутые множества в Rn . Доказать, что Rn является топологическим пространством.Определить структуру топологического пространства в Rn . Доказать компактность n–мерного бруса.Доказать критерий компактности множеств в Rn .Определение функции многих переменных (ФМП).
Координатные функции. Предел ФМПпо базе и его свойства. Доказать теорему о покоординатной сходимости ФМП.Непрерывность функции многих переменных в точке. Сформулировать свойства функций,непрерывных в точке. Доказать теорему о непрерывности сложной функции.Непрерывность функций многих переменных на множествах. Теорема о непрерывных отображениях компактов и линейно связных множеств. Ее доказательство и вывод из неесвойств функций, непрерывных на компактах и на линейно связных множествах.Определение дифференцируемости и дифференциала функции многих переменных (ФМП).Доказать теорему о покоординатной дифференцируемости ФМП и второе необходимое условие дифференцируемости.Понятие частной производной.
Дифференцируемая функция многих переменных (ФМП) иматрица Якоби. Доказать первое необходимое условие дифференцируемости ФМП в точке.Геометрическая интерпретация частных производныхДать определение дифференцируемых функций многих переменных. Доказать достаточноеусловие дифференцируемости.Дифференцируемые функции многих переменных. Доказать теорему о дифференцированиисложной функции. Цепное правило.
Доказать свойство инвариантности дифференциалафункции многих переменных.Основные правила дифференцирования. Доказать линейность и правило Лейбница для дифференциала и частных производных функции многих переменных.Частные производные высших порядков. Матрица Гессе. Доказать теорему о смешанныхпроизводных.Частные производные и дифференциалы высших порядков. Доказать теорему Тейлора дляфункций многих переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.Сформулировать и доказать теорему о неявной функции в общем случае.Сформулировать и доказать теорему об обратной функции.
Сведение теоремы о неявнойфункции к теореме об обратной функции.Производная по направлению дифференцируемой функции. Вывести формулу для производной по направлению дифференцируемой функции.Градиент функции многих переменных. Доказать свойства градиента дифференцируемойфункции.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Доказать достаточные условия их существования и вывести уравнения. Дать геометрическую интерпретацию дифференциалафункции двух переменных.48. Понятие локального экстремума функции многих переменных. Сформулировать и доказатьнеобходимое условие экстремума. Стационарные и критические точки.
Схема исследованияфункций на экстремум.49. Сформулировать и доказать достаточные условия экстремума функции многих переменныхв общем случае и в двумерном случае.50. Постановка задачи на условный экстремум. Функция Лагранжа. Сформулировать и доказать необходимые условия экстремума.51. Сформулировать и доказать достаточные условия условного экстремума в общем случае.Типовые задачиИнтегральное исчисление функций одного переменного.ОЛ-1, задачи 7.3, 7.7, 9.2, 9.3, 9.10–9.15; задачи к/р и д/з.Дифференциальное исчисление функций многих переменных.ОЛ-2, задачи 2.2–2.8, 3.1–3.8, 4.2–4.9, 5.2–5.11, 6.1–6.5, 7.1–7.4, 7.7–7.13; задачи к/р и д/з.ЛитератураОЛ-1: Зарубин B.C., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н.
Интегральное исчисление функций одногопеременного. - М.: Изд-во МГТУ, 1999. - 528с.ОЛ-2: Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчислениефункций многих переменных. - М.: Изд-во МГТУ, 2000. - 456с.ОЛ-3: Зорич В.А. Математический анализ. Часть I. Изд. 2-е. М.: ФАЗИС, 1997.
— 554 с.ОЛ-4: Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу.:Учебник для университетов и пед. вузов. М.: Высш. шк. 1999. — 695 с..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
