вопросы для подготовки к экзамену (1079593)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Вопросы для подготовки к экзамену для ИУ-6 (1-й курс 2-й семестр)по ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ и ФУНКЦИЯМ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ / 2009г.ВНИМАНИЕ! Теоремы, критерии, следствия, свойства, условия необходимо знать с доказательствами, а формулы для вычисления — с их выводом. Ссылки по линейной алгебре даны на главыучебника: Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.Глава 1• Определение линейного пространства.• Свойства линейного пространства.• Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов.• Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.• Определение базиса. Теорема о единственности разложения.• Линейные операции в координатной форме.•Определение размерности, теоремы о ее связи с понятием базиса.• Определение матрицы перехода, преобразование координат вектора при замене базиса.Глава 2• Определение линейного подпространства. Примеры.

Линейная оболочка векторов.• Определения и теоремы о сумме и пересечении линейных подпространств.• Определение прямой суммы линейных подпространств и соответствующее необх. и дост. условие.• Теорема о размерности суммы линейных подпространств.• Определение ранга системы векторов, теорема о нем и вычисление.Глава 3• Определение евклидова пространства и свойства скалярного произведения.• Доказательство неравенства Коши-Буняковского.• Определение нормированного пространства и нормы. Введение нормы в евклидовом пространстве.• Определение ортогональной системы векторов и ее свойство.• Определение ортогонального и ортонормированного базисов.

Вычисления в ортонорм. базисе.•Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Теорема о существовании ортонормированного базиса.Глава 4• Определение линейного оператора, примеры.• Определение матрицы линейного оператора и ее основное свойство.• Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Подобные матрицы, их свойство.• Произведение линейных операторов и его матрица.Глава 5• Определения характеристических многочленов и уравнений матрицы и линейного оператора.• Определения собственных векторов и собственных значений линейного оператора и матрицы,собственного подпространства.• Теорема о связи собственных значений и характеристического уравнения.• Вычисление собственных векторов и собственных значений линейного оператора и матрицы.• Теорема о линейной независимости собственных векторов.• Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов.

Следствие для матриц оприводимости к диагональному виду.Глава 6• Определение сопряженного оператора, теоремы о его существовании, единственности и о егоматрице.• Определение самосопряженного оператора.• Теоремы о корнях характеристического уравнения самосопряженного оператора.• Теоремы о собственных векторах самосопряженного оператора.• Теорема о приводимости матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду (общийслучай без доказательства). Следствие для матриц.Глава 7• Определение и свойства ортогонального оператора.• Определение ортогональной матрицы и ее свойства.• Теоремы о связи ортогональных матриц с преобразованиями ортонормированных базисов.• Ортогональное преобразование матрицы.

Теорема о приведении симметрической матрицы кдиагональному виду ортогональным преобразованием.Глава 8• Квадратичные формы, их матрицы и ранг. Вырожденные и невырожденные квадратичные формы.• Преобразование матрицы квадратичной формы при линейных заменах переменных.• Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа.• Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду ортогональнымпреобразованием.• Формулировка и вывод закона инерции.•Определения различных типов квадратичных форм и их связь с собственными значениями матрицквадратичных форм.Формулировка критерия Сильвестра.•Глава 9• Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.• Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.ВНИМАНИЕ! Ссылки по функциям многих переменных даны на главы учебника:Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н.

Дифференциальное исчисление функций многихпеременных, Иэд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.Глава 1• Определения ε-окрестности точки из Rn, открытых, замкнутых и ограниченных множеств, границымножества, окрестности точки и множества, компакта, линейно связного множества, области в Rn.• Определения векторных и скалярных функций многих переменных (ФМП), координатных функций,графика и поверхности уровня ФМП.• Определение предела векторной ФМП в точке, его свойства и теорема о связи с пределамикоординатных функций.• Определения векторных ФМП непрерывных в точке, на множестве, их свойства и теорема о ихсвязи с непрерывностью координатных функций.• Определение непрерывности векторной ФМП по части переменных и ее связь с непрерывностьювекторной ФМП (по всем переменным).• Формулировка свойств ФМП, непрерывных на компакте.Глава 2• Определение частных производных первого порядка векторной ФМП, и теорема о связи с частнымипроизводными координатных функций.• Матрица Якоби векторной ФМП.• Геометрическая интерпретация частных производных скалярной ФМП.• Определение дифференцируемости векторной ФМП и его связь с дифференцируемостьюкоординатных функций.• Теоремы о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости ФМП.• Теорема о дифференцируемости сложной ФМП.

Правило дифференцируемости сложной ФМП.• Определение дифференциала ФМП и теорема об инвариантности формы его записи.Глава 3• Определение частных производных второго порядка скалярной ФМП, матрица Гессе.• Теоремы о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.• Определение частных производных и дифференциалов высшего порядка скалярной ФМП.• Формулы Тейлора и Маклорена ФМП.• Приложения для приближенных вычислений.Глава 4• Понятие о неявной функции.• Случай одного уравнения с двумя неизвестными, формулировка теоремы о неявной функции ивывод формулы для ее производной.• Формулировка теоремы о неявной функции в общем случае, вывод формулы для ее матрицы Якоби.• Теорема об обратной функции.Глава 5• Определение производной по направлению, теорема о ее существовании и формула ее вычисления.• Определение градиента, его свойства.• Касательная плоскость и нормали к поверхности, условия их существования и вывод их уравнений.• Геометрическая интерпретация дифференциала ФМП.Глава 6• Определение локального экстремума скалярной ФМП.• Теорема о необходимых условиях существования локального экстремума скалярной ФМП.• Стационарные и критические точки скалярной ФМП.• Теорема о достаточных условиях существования локального экстремума скалярной ФМП.• Достаточные условия существования локального экстремума скалярной функции двух переменных.Глава 7• Определение условного локального экстремума скалярной ФМП.• Теорема о необходимых условиях существования условного локального экстремума скалярнойфункции двух переменных.

Функция и множитель Лагранжа, геометрическая интерпретация.• Теорема о необходимых условиях существования условного локального экстремума скалярнойФМП. Функция и множители Лагранжа.• Формулировка теоремы о достаточных условиях существования локального условного экстремумаскалярной ФМП..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов вопросов/заданий