15. Векторные функции нескольких переменных. (1079359), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Но это и означаетсуществование предела каждой координатной функции fi (x) при x→a, равного bi .AПерейдем к доказательству обратного утверждения и предположим, что при x→a сущеAствует предел каждой координатнойфункции fi (x), равный bi , i = 1, m. Выберем произвольное√число ε > 0. Для ε0 = ε/ m и каждого i = 1, m существует такое число δi > 0, что при◦√x ∈ A ∩ U(a, δi ) выполнено неравенство |fi (x) − bi | < ε/ m. Пусть δ = min(δ1 , . .
. , δm ). Тогда◦U(a, δ) ⊂ U(a, δi ) для каждого i = 1, m. Поэтому при x ∈ A ∩ U(a, δ) одновременно выполняются◦√неравенства |fi (x) − bi | < ε/ m, i = 1, m. Следовательно, при x ∈ A ∩ U(a, δ) имеем√pp|f (x) − b| = (f1 (x) − b1 )2 + . . . + (fm (x) − bm )2 < ε2 /m + . . . + ε2 /m = ε2 = ε,ÌÃÒÓявляется бесконечно малой при x→a тогда и только тогда, когда бесконечно малыми при x→aAAявляются все ее координатные функции. Например, из двух функцийттиg(x, y) = x+1 x2 +y 4 x−yf (x, y) = x x2 +y 4 xy 3первая является бесконечно малой при (x, y) → (0, 0), а вторая — нет.
Действительно, всекоординатные функции векторной функции f (x, y) имеют предел 0 в точке (0, 0), в то времякак координатная функция g1 (x, y) = x+1 векторной функции g(x, y) имеет предел 1 (ненулевой)в точке (0, 0).Для функций нескольких переменных остается в силе теорема 8.4 о связи функции, еепредела и бесконечно малой. Доказательство этого утверждения получается дословнымповторением доказательства теоремы 8.4.Векторная функция нескольких переменных f : A ⊂ Rn → Rm ограничена намножестве A, если множество f (A) = {y ∈ Rm : y = f (x), x ∈ A} ограничено.
Эта функция ограничена при x→a (локально ограничена в точке a), если существует такаяAТеорема 15.2. Пусть для функции f : A ⊂ Rn → Rm существует предел lim f (x) = b,ÌÃÒÓÌÃÒÓ◦проколотая окрестность U(a, δ) точки a, что функция ограничена на множестве A ∩ U(a, δ).Пределы векторных функций, бесконечно малые векторные функции имеют те же свойства,что и в случае скалярных функций нескольких переменных (т.е. при m = 1). Соответствующие формулировки и доказательства (см. 8.3) переносятся на векторные функции «почтибез изменений». Последние слова заключены в кавычки, так как в этих доказательствах, неизменяющихся по форме, изменяется смысл обозначения |a|: для числа a — это абсолютная величина, а для точки a ∈ Rn — это евклидова норма элемента a в евклидовом арифметическомпространстве Rn .Пусть для функций f : A ⊂ Rn → Rm и g: B ⊂ Rm → Rp выполнено условие f (A) ⊂ B.Тогда определена композиция отображений g ◦ f : A ⊂ Rn → Rp , которая задается равенством(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Эту композицию обычно называют сложной функцией. Верна следующая теорема о пределе сложной функции, аналогичная соответствующему утверждению дляфункций одного переменного.ÔÍ-12ÔÍ-12◦ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ75ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. ВЕКТОРНЫЕФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12Свойства предела позволяют вычислять пределы функций нескольких переменных, если онисуществуют.
Методы вычисления пределов повторяют те методы, которые использовались вслучае функций одного действительного переменного.15.3. Непрерывность векторнойфункции нескольких переменныхx→aAÔÍ-12На векторные функции нескольких переменных естественным образом переносится понятиенепрерывности скалярной функции (см. определение 8.11). Говорят, что векторная функциянескольких переменных f : A ⊂ Rn → Rm непрерывна в точке a ∈ A, если для любойокрестности U(f (a), ε) точки f (a) ∈ Rm существует такая окрестность U(a, δ) точки a, что длялюбой точки x ∈ U(a, δ) ∩ A верно включение f (x) ∈ U(f (a), ε) (или, короче, f U(a, δ) ∩ A ⊂⊂ U(f (a), ε)).Каждая точка a ∈ A является либо предельной точкой множества A, либо его изолированной точкой.
В первом случае условие непрерывности функции f в этой точке означаетсуществование предела(15.2)lim f (x) = f (a).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓx→aAu→bAÌÃÒÓÔÍ-12причем функция не принимает значение b в точках множества A в некоторой проколотой окрестности точки a. Пусть для функции g: B ⊂ Rm → Rp , удовлетворяющей условию f (A) ⊂ B,существует предел lim g(u) = c. Тогда существует предел lim (g ◦ f )(x) = c.
#ÔÍ-12ÔÍ-12x→aAÌÃÒÓВ изолированной точке множества A, согласно определению, функция f : A → Rm всегда непрерывна.Определение непрерывности функции в точке можно сформулировать следующим образом.Функция f : A ⊂ Rn → Rm непрерывна в точке a ∈ A, если если для любого числа ε > 0существует такое число δ > 0, что при всех x ∈ A, удовлетворяющих неравенству |x − a| << δ, верно неравенство |f (x) − f (a)| < ε. Другими словами, бесконечно малому приращениюаргумента в данной точке соответствует бесконечно малое приращение функции.Функцию f : A ⊂ Rn → Rm , непрерывную во всех точках множества A, называют непрерывной на этом множестве.Непосредственным следствием теоремы 15.1 является следующее утверждение.Теорема 15.3. Для непрерывности векторной функции нескольких переменных в некоторойточке необходимо и достаточно, чтобы все ее координатные функции были непрерывны в этойточке.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ76ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15.
ВЕКТОРНЫЕФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12x→aAсуществуют пределы lim fi (x) = fi (a), i = 1, m. Но это, в свою очередь, означает непрерывx→aAность в точке a координатных функций fi (x), i = 1, m (см. определение 8.11).Обратное утверждение доказывается аналогично. Если все функции fi (x), i = 1, m, непрерывны в точке a, то в этой точке существуют пределы lim fi (a) = fi (a), i = 1, m.
В этом случаеÔÍ-12ÔÍ-12тJ Пусть функция f : A ⊂ Rn → Rm , f (x) = (f1 (x) . . . fm (x)) , непрерывна в некоторой точкеa ∈ A, являющейся предельной для A. По определению непрерывности это означает, что существует предел lim f (x) = f (a). По теореме 15.1 последнее равенство эквивалентно тому, чтоСледующие так называемые локальные свойства непрерывных функций нескольких переменных вытекают из свойств предела функции нескольких переменных (см. 8.3).1∗ Если функции fi : A ⊂ Rn → Rm , i = 1, k, непрерывны в некоторой точке a ∈ A, то любаяих линейная комбинация непрерывна в этой точке.2∗ Если функция f : A ⊂ Rn → Rm непрерывна в точке a ∈ A, то она ограничена в пересечении множества A с некоторой окрестностью точки a.В сформулированных свойствах упоминание о множестве A можно опустить, если точка aявляется внутренней точкой множества A.Для векторных функций нескольких переменных, как и для функций одного переменного,верна следующая теорема о непрерывности сложной функции.Теорема 15.4.
Если функция f : A ⊂ Rn → Rm непрерывна в точке a ∈ A, f (A) ⊂ B ифункция g: B ⊂ Rm → Rp непрерывна в точке b = f (a), то сложная функция (g ◦ f )(x) = g(f (x)),x ∈ A, непрерывна в точке a.J Обозначим точку g(b) через c и фиксируем любую ε-окрестность U(c, ε) ⊂ Rp этой точки. Изнепрерывности функции g в точке b следует, что существует такая δ1 -окрестность U(b, δ1 ) ⊂ Rmточки b, что g(x) ∈ U(c, ε) при x ∈ B ∩ U(b, δ1 ), или, другими словами,g B ∩ U(b, δ1 ) ⊂ U(c, ε).а так как f (A) ⊂ B, то в действительностиf A ∩ U(a, δ) ⊂ B ∩ U(b, δ1 ).ÔÍ-12Аналогично из непрерывности функции f в точке a следует, что для уже выбранной окрестностиU(b, δ1 ) точки b = f (a) существует такая δ-окрестность U(a, δ) ⊂ Rn точки a, чтоf A ∩ U(a, δ) ⊂ U(b, δ1 ),ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12x→aAÌÃÒÓÌÃÒÓнепрерывна в точке a.
IÔÍ-12ÔÍ-12по теореме 15.1 существует предел lim f (x) = f (a), означающий, что векторная функция f (x)ÌÃÒÓÌÃÒÓx→aAÌÃÒÓ(g ◦ f ) A ∩ U(a, δ) ⊂ g B ∩ U(b, δ1 ) ⊂ U(c, ε).Итак, для любой ε-окрестности U(c, ε) точки c найдена такая δ-окрестность U(a, δ) точки a,что(g ◦ f ) A ∩ U(a, δ) ⊂ U(c, ε).Это означает, что сложная функция g ◦ f непрерывна в точке a.На рис. 15.1 приведена геометрическая иллюстрация доказательства теоремы. Ix2ÔÍ-12y2faRmU(b, d1)z2gcbOx1RpU(c, e)y1Oz1Рис. 15.1x−→aA12гдеA12 = {(x1 , .
. . , xn ) ∈ Rn : x3 = a3 , . . . , xn = an } .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Отметим, что, как и в скалярном случае, из непрерывности векторной функции функциинескольких переменных в точке a следует ее непрерывность в этой точке по любому наборупеременных, но условие непрерывности функции в точке a по любому неполному набору переменных вовсе не означает, что функция непрерывна в этой точке.Если векторная функция нескольких переменных непрерывна по части своих переменных вовсех точках некоторой области, то ее называют непрерывной в области по (этой) частипеременных (совокупности переменных ).ÌÃÒÓНа векторные функции переносятся понятия функции, непрерывной по переменномув данной точке и функции, непрерывной в точке a по части переменных.
Непрерывность по части переменных можно рассматривать как существование предела функции вданной точке по соответствующему множеству, равного значению функции в этой точке. Например, непрерывность функции f (x1 , x2 , . . . , xn ) по совокупности переменных x1 , x2 означаетсуществование пределаlim f (x) = f (a1 , a2 , . . . , an ),ÔÍ-12ÌÃÒÓRnU(a, d)ÌÃÒÓÌÃÒÓСледовательно,OÔÍ-12ÌÃÒÓ77ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. ВЕКТОРНЫЕФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ.....
. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ....... .. .. .72727375ÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ....ÌÃÒÓÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ....ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 15. Векторные функции нескольких переменных . . . .15.1. Определение векторной функции . . . . . . . . . . .
. . . . .15.2. Предел векторной функции нескольких переменных . . . . .15.3. Непрерывность векторной функции нескольких переменныхÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
