Краткие лекции по алгебре (1078545), страница 3
Текст из файла (страница 3)
4. Ãðóïïû äâèæåíèéÃðóïïû åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò êàê ãðóïïû äâèæåíèé ñèììåòðè÷íûõ ôèãóð. ×åì ñèììåòðè÷íåå ôèãóðà, òåì áîëüøå åå ãðóïïà äâèæåíèé.Íàçîâåì äâèæåíèåì ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâà (ïëîñêîñòè), ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèÿ. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå âñåãäà áèåêòèâíî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äâèæåíèå ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ.Ýòî è åñòü äâèæåíèå â îáû÷íîì ïîíèìàíèè. Ïóñòü Ω ôèãóðà(íàïðèìåð, ìíîãîãðàííèê) â ïðîñòðàíñòâå.
Äâèæåíèÿ, ïåðåâîäÿùèå ôèãóðó Ω â ñåáÿ, îáðàçóþò ïîäãðóïïó âñåé ãðóïïû äâèæåíèé. Îíà íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé äâèæåíèé ôèãóðû Ω.ÏÐÈÌÅÐ 4.1. Íàéäåì ãðóïïó äâèæåíèé ïëîñêîñòè, ïåðåâîäÿùèõ â ñåáÿ ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê. Îáîçíà÷èì åãîâåðøèíû ÷åðåç 1, 2, 3. Èñêîìàÿ ãðóïïà G ìîæåò áûòü îòîæäåñòâëåíà ñ ïîäãðóïïîé â S3 ïåðåñòàíîâîê ýëåìåíòîâ 1, 2. 3. Ïðèýòîì ÷åòíûå ïîäñòàíîâêè îòâå÷àþò äâèæåíèÿì, ñîõðàíÿþùèìîðèåíòàöèþ, íå÷åòíûì íå ñîõðàíÿþùèì. Çíà÷èò, G ìîæíîîòîæäåñòâèòü ñ ïîäãðóïïîé A3 ⊂ S3. Èòàê, G ∼= A3 ∼= C3.
ÏÐÈÌÅÐ 4.2. Íàéäåì ãðóïïó äâèæåíèé ïðîñòðàíñòâà, ïåðåâîäÿùèõ â ñåáÿ ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê. Çäåñü, êðîìå äâèæå14íèé èç ïðèìåðà 4.1, åñòü åùå òðè âðàùåíèÿ âîêðóã âûñîò òðåóãîëüíèêà. Èì îòâå÷àþò ïîäñòàíîâêè (12), (13) è (23). Ãðóïïà,òàêèì îáðàçîì, ñîâïàäàåò ñ S3. ÏÐÈÌÅÐ 4.3. Íàéäåì ãðóïïó G äâèæåíèé ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû. Îáîçíà÷èì åå âåðøèíó ÷èñëîì 1, àâåðøèíû îñíîâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî 2, 3, 4 è 5. ßñíî, ÷òîëþáîå äâèæåíèå ïåðåâîäèò âåðøèíó 1 â ñåáÿ. Âðàùåíèÿ âîêðóãâûñîòû ïèðàìèäû íà óãëû, êðàòíûå π/2 (âêëþ÷àÿ òîæäåcòâåííîå) ñîñòàâëÿþò åùå ÷åòûðå ýëåìåíòà ãðóïïû.
Êàê ëåãêî ïîíÿòü,ýòèìè äâèæåíèÿìè ãðóïïà è èñ÷åðïûâàåòñÿ. Åå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïîäãðóïïîé â S5, ñîñòîÿùåé èç ïîäñòàíîâîê e, σ =(1)(2345), σ 2 = (1)(24)(35) u σ 3 = σ −1 = (1)(2543). Ãðóïïà Gèçîìîðôíà ãðóïïå C4. ÏÐÈÌÅÐ 4.5. Íàçîâåì n-óãîëüíûì äèýäðîì ìíîãîãðàííèê,ñîñòàâëåííûé èç äâóõ îäèíàêîâûõ ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíûõ ïèðàìèä ñ îáùèìè îñíîâàíèÿìè. Íàéäåì ãðóïïó G äâèæåíèé ÷åòûðåõóãîëüíîãî äèýäðà.
Îáîçíà÷èì âåðøèíû ïèðàìèä, åãî ñîñòàâëÿþùèõ, ÷èñëàìè 1 è 6, à âåðøèíû îñíîâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî 2, 3, 4 è 5. Ãðóïïó G, òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäãðóïïó â S6. Ïðè ëþáîì äâèæåíèè âåðøèíà 2ïåðåõîäèò â îäíó èç ÷åòûðåõ âåðøèí îñíîâàíèÿ, à âåðøèíà 3 â îäíó èç äâóõ ñîñåäíèõ âåðøèí. Ïîëîæåíèå îñòàëüíûõ âåðøèíòåì ñàìûì áóäåò ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíî. Çíà÷èò, ãðóïïà G íåìîæåò ñîäåðæàòü áîëüøå 8 ýëåìåíòîâ. Âðàùåíèÿì âîêðóã îñè,ñîåäèíÿþùåé âåðøèíû 1 è 6 íà óãëû, êðàòíûå π/2, îòâå÷àþòïîäñòàíîâêè e, σ = (1)(2345)(6), σ2 = (1)(24)(35)(6), σ3 =(1)(2543)(6).
Êðîìå òîãî, åñòü åùå ïîâîðîòû íà óãîë π âîêðóãîñåé ñèììåòðèè êâàäðàòà, ëåæàùåãî â îñíîâàíèè ïèðàìèä. Ýòèìïîâîðîòàì ñîîòâåòñòâóþò ïîäñòàíîâêè τ = (16)(24)(3)(5), τ ′ =(16)(35)(2)(4) è ρ = (16)(23)(45), ρ′ = (16)(25)(34) ñîîòâåòñòâåííî.Ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ äèýäðàëüíîé ãðóïïîé è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçD4 . Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ ãðóïïû Dn ïðè äðóãèõ n ≥ 3. Îòìåòèì,÷òî ïðè n = 3 ãðóïïà D3 èçîìîðôíà S3.ÏÐÈÌÅÐ 4.6.
Íàéäåì ãðóïïó G äâèæåíèé ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà. Îáîçíà÷èâ âåðøèíû òåòðàýäðà ÷èñëàìè 1, 2, 3 è 4,âèäèì, ÷òî èñêîìàÿ ãðóïïà åñòü ïîäãðóïïà ãðóïïû S4. Òàê êàêìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî äâèæåíèÿ, ñîõðàíÿþùèå îðèåíòàöèþ,òî ïîðÿäîê G íå ïðåâîñõîäèò 12. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ãðóïïà G15ñîäåðæèò âðàùåíèÿ (123), (132) âîêðóã âûñîòû òåòðàýäðà, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó 4. Àíàëîãè÷íî, G ñîäåðæèò è îñòàëüíûåòðîéíûå öèêëû. Òðîéíûå öèêëû ïîðîæäàþò ïîäãðóïïó A4 ⊂ S4(ïðèìåð 2.8). Òàê êàê åå ïîðÿäîê ðàâåí 12, èìååì G ∼= A4.
5. Äåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâåÏóñòü G ãðóïïà è M ìíîæåñòâî. Ñêàæåì, ÷òî G äåéñòâóåò (ñëåâà) íà M , åñëè çàäàíî òàêîå îòîáðàæåíèåG × M → M, (g, x) → gx,÷òî1) ex = x, x ∈ M ;2) (gh)x = g(hx), g, h ∈ G, x ∈ M .Åñëè G äåéñòâóåò íà M , òî äëÿ g ∈ G îïðåäåëåíî ïðåîáðàçîâà-íèåΦg (x) = gx,x ∈ M.Èç 2) ñëåäóåò, ÷òî Φgh = Φg ◦ Φh. Äàëåå, Φg ◦ Φg = Φe = idM .Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî â ñèëó 1). Çíà÷èò, âñå ïðåîáðàçîâàíèÿΦg îáðàòèìû, ò. å.
ïðèíàäëåæàò S(M ). Èòàê, Φ : g → Φg ãîìîìîðôèçì ãðóïïû G â ãðóïïó S(M ).Òî÷êè x, x′ ∈ M íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè îòíîñèòåëüíîäåéñòâèÿ ãðóïïû G, åñëè x′ = gx äëÿ íåêîòîðîãî g ∈ G. Êëàññûýêâèâàëåíòíîñòè íàçûâàþòñÿ G-îðáèòàìè. Îðáèòó, ñîäåðæàùóþ ýëåìåíò x0, îáîçíà÷àþò ÷åðåç G(x0). Òàêèì îáðàçîì,−1G(x0 ) = {gx0 | g ∈ G}.ÏÐÈÌÅÐ 5.1. Ïóñòü G ∼= C4 ãðóïïà äâèæåíèé ïðàâèëüíîé÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû, M ìíîæåñòâî åå âåðøèí, çàíóìåðîâàííûõ êàê â ïðèìåðå 4.3. Ýëåìåíòû G äåéñòâóþò êàê âðàùåíèÿ âîêðóã âûñîòû ïèðàìèäû.
Îðáèòîé òî÷åê 2, 3, 4, 5 ñëóæèòìíîæåñòâî {2, 3, 4, 5}, à îðáèòîé òî÷êè 1 ñëóæèò ìíîæåñòâî èçîäíîé ýòîé òî÷êè. Ïóñòü x0 ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà èç M . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîSt(x0 ) = {g ∈ G | gx0 = x0 } ⊆ G.Êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, St(x0) ïîäãðóïïà â G. Îíà íàçûâàåòñÿñòàöèîíàðíîé ïîäãðóïïîé â G òî÷êè x0 ∈ M .16ÏÐÈÌÅÐ 5.2. Ïóñòü G è M òàêèå æå, êàê â ïðèìåðå 5.1.Òîãäà St(1) = G è St(i) = {e}, åñëè i = 2, 3, 4 èëè 5.
 îáùåì ñëó÷àå èìååìgx0 = g ′ x0 ⇐⇒ g −1 g ′ ∈ St(x0 ) ⇐⇒ g ′ ∈ gSt(x0 ).Ñëåäîâàòåëüíî, ëåâûå ñìåæíûå êëàññû ãðóïïû G ïî ïîäãðóïïåñîîòâåòñòâèè ñ òî÷êàìè îðáèòûSt(x0 ) íàõîäÿòñÿ â áèåêòèâíîìG(x0 ).  ÷àñòíîñòè,|G(x0 )| = |G/St(x0 )| = (G : St(x0 )).Ïóñòü x′0h ∈ H , òî= gx0 .Ïîëîæèì H(5.1)= St(x0 ), H ′ = St(x′0 ).Åñëèx′0 = gx0 = (ghg −1 )gx0 = (ghg −1 )x′0 = x′0 .Çíà÷èò, ghg−1 ∈ H ′, ò.
å. gHg−1 ⊆ H ′. Àíàëîãè÷íî, åñëè h′ ∈ H ′,òî−1 ′−1 ′x0 = g x0 = g h gx0 ,îòêóäà h ∈ gHg , ò. å. H ′ ⊆ïîäãðóïïû H è H ′ ñîïðÿæåíû:′−1gHg −1 .Èòàê,H ′ = gHg −1 ;gSt(x0 )g −1 = St(x′0 ),Ìû âèäèì, ÷òî äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.ÒÅÎÐÅÌÀ 5.1. Ïóñòü ãðóïïà G äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâåM . Åñëè äâå òî÷êè x0 , x′0 ∈ M ëåæàò â îäíîé îðáèòå, òî èõñòàöèîíàðíûå ïîäãðóïïû ñîïðÿæåíû:x′0 = gx0 ⇒ St(x′0 ) = gSt(x0 )g −1 .Åñëè G êîíå÷íàÿ ãðóïïà èM = M1 ∪ M2 ∪ ... ∪ Mr ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà M íà êîíå÷íîå ÷èñëî îðáèò ñ ïðåäñòàâèòåëÿìè x1, x2, ..., xr , òî|M | =r∑(G : St(xi )). i=1ÏÐÈÌÅÐ 5.3.
Ïóñòü ãðóïïà G äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå M , èïóñòü R åùå îäíî ìíîæåñòâî. Òîãäà îïðåäåëåíî äåéñòâèå G íà17RM . Îáîçíà÷èì ÷åðåç gx ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ g ∈ G íà ýëåìåíòx ∈ M , à ÷åðåç Φg f ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ g ê f : M → R.Ïîëîæèì(Φg f )(x) = f (g −1 x).(5.2)Òîãäà1) (Φef )(x) = f (ex) = f (x), ò. å. Φef = f .2) (Φhf )(x) = f (h−1x) = (f ◦ h−1)(x), îòêóäà((Φg ◦ Φh )f )(x) = (Φg (f ◦ h−1 ))(x) = (f ◦ h−1 )(g −1 x) == f ((h−1 g −1 )(x)) = f ((gh)−1 (x)) = Φgh f (x).ò.
å. Φgh = Φg ◦ Φh è ýòî â ñàìîì äåëå äåéñòâèå.6. Ëåììà ÁåðíñàéäàÏóñòü êîíå÷íàÿ ãðóïïà G äåéñòâóåò íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâåM . Äëÿ g ∈ G ïîëîæèìN (g) = |{x ∈ M | gx = x}|.ÒÅÎÐÅÌÀ 6.1 (ëåììà Áåðíñàéäà). Ïóñòü N ÷èñëî Gîðáèò. Òîãäà∑N=1N (g).|G| g∈G(6.1)ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç MG ìíîæåñòâî Gîðáèò. Ïóñòü{1, åñëè gx = x,α(g, x) =0, åñëè gx ̸= x.Òîãäà ìû ïîëó÷èì, èñïîëüçóÿ òåîðåìó 5.1 è ôîðìóëó (5.1):∑N (g) =g∈G=∑∑g∈G x∈M∑∑α(g, x) =∑=α(g, x) =G(x0 )∈MG x∈G(x0 ) g∈G|St(x)| =G(x0 )∈MG x∈G(x0 )∑∑ ∑∑∑|St(x0 )| =G(x0 )∈MG x∈G(x0 )|G(x0 )| |St(x0 )| = |G| |MG | = |G|N,G(x0 )∈MG18îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìàÿ ôîðìóëà.
ÏÐÈÌÅÐ 6.1. Ïîìåñòèì â âåðøèíû ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû îäèíàêîâûå øàðèêè, êàæäûé èç êîòîðûõìîæíî îêðàñèòü â îäèí èç òðåõ öâåòîâ. Íàéäåì ÷èñëî N ðàçëè÷íûõ ðàñêðàøèâàíèé.Îáîçíà÷èì âåðøèíû ïèðàìèäû êàê óêàçàíî íèæå. Êàæäîìóøàðèêó ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå îäèí èç òðåõ öâåòîâ: êðàñíûé(r), çåëåíûé (g), ãîëóáîé (b). Íàïðèìåð,23 1 54gr r gb→Ó íàñ M = {1, 2, 3, 4, 5}, R = {r, g, b}, ãðóïïà G ∼= C4 äåéñòâóåòíà M , êàê îïèñàíî â ïðèìåðå 4.3, à òîãäà è íà RM (ñì. ïðèìåð5.3).
×èñëî ðàçëè÷íûõ ðàñêðàøèâàíèé (à ðàçëè÷íûìè ñ÷èòàþòñÿòå, êîòîðûå íå ïåðåâîäÿòñÿ îäíî â äðóãîå ýëåìåíòîì ãðóïïû G),äàåòñÿ ôîðìóëîé (6.1):N=1(N (e) + N (σ) + N (σ 2 ) + N (σ 3 )).|G|Òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå e îñòàâëÿåò íà ìåñòå ëþáîå ðàñêðàøèâàíèå, ïîýòîìó N (e) = |RM | = 35 = 243. Ýëåìåíò σîñòàâëÿåò íà ìåñòå òàêîå ðàñêðàøèâàíèå, ó êîòîðîãî âåðøèíû 2,3, 4 è 5 îêðàøåíû â îäèí öâåò. Ïîýòîìó N (σ) = 32 = 9. Ýëåìåíòσ 2 îñòàâëÿåò íà ìåñòå òàêîå ðàñêðàøèâàíèå, ó êîòîðîãî â îäèíöâåò ðàñêðàøåíû âåðøèíû 2 è 4, à òàêæå 3 è 5.
Çíà÷èò, N (σ2) =33 = 27. Àíàëîãè÷íî, N (σ 3 ) = N (σ) = 9 è, ñëåäîâàòåëüíî,N=1(243 + 9 + 27 + 9) = 72. 4Ôîðìàëèçóåì ñèòóàöèþ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Ïóñòü M ={1, 2, ..., n} ìíîæåñòâî íîìåðîâ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ôèãóðûΩ; R êîíå÷íîå ìíîæåñòâî öâåòîâ, â êîòîðûå ìîãóò áûòü îêðàøåíû ýëåìåíòû ýòîé ôèãóðû. Ïóñòü σ ∈ n íåêîòîðàÿ ïîäñòàíîâêà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
