Краткие лекции по алгебре (1078545), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïðè ýòîì îáû÷íî èñïîëüçóþòòðàäèöèîííóþ çàïèñü òèïà x ≤ y, x ≈ y è ò. ï.Áèíàðíîå îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ ðåôëåêñèâíûì, åñëè xBx äëÿâñåõ x; ñèììåòðè÷íûì, åñëè xBy òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàyBx. Îíî íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì, åñëè èç xBy è yBz ñëåäóåòxBz .ÏÐÈÌÅÐ 1.5. Ïóñòü X = J9, à xBy îçíà÷àåò, ÷òî x − yäåëèòñÿ íà 3.
Ýòî îòíîøåíèå, î÷åâèäíî, ðåôëåêñèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî. Áèíàðíîå îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè, åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî. Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî ÷åðåç ∼.ÏÐÈÌÅÐ 1.6. Îòíîøåíèå èç ïðèìåðà 1.5 åñòü îòíîøåíèåýêâèâàëåíòíîñòè. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå X çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.ÏîäìíîæåñòâîÎòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.[x] = {y ∈ X | y ∼ x}íàçûâàåòñÿ êëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèì x.
Ëþáîéýëåìåíò y ∈ [x] íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâèòåëåì ýòîãî êëàññà.ÒÅÎÐÅÌÀ 1.6. Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïîîòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå X åñòü ðàçáèåíèåýòîãî ìíîæåñòâà. Îáðàòíî, åñëè çàäàíî ðàçáèåíèå ìíîæåñòâàX , òî ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè,äëÿ êîòîðîãî ìíîæåñòâà ðàçáèåíèÿ ñëóæàò êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Òàê êàê x ∈ [x], òî X åñòü îáúåäèíåíèåêëàññîâ [x]. Ïîêàæåì, ÷òî ëþáûå äâà êëàññà ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò. Ïóñòü [x] ∩ [y] ̸= ∅. Òîãäà ñóùåñòâóåòòàêîé z, ÷òî z ∈ [x] è z ∈ [y].
Çíà÷èò, z ∼ x, z ∼ y. Ââèäóòðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè, èìååì x ∼ y. Åñëè9y ′ ëþáîé ýëåìåíò èç [y], òî y ′ ∼ y . Íî òîãäà y ′ ∼ x, ò. å. y ′ ∈ [x].Çíà÷èò, [y] ⊆ [x]. Àíàëîãè÷íî, è [x] ⊆ [y], à ýòî è çíà÷èò, ÷òî[x] = [y].Îáðàòíî, ïóñòü ïîäìíîæåñòâà Yα (α ∈ A) îáðàçóþò ðàçáèåíèåìíîæåñòâà X . Ïîëîæèì x ∼ y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàx è y ëåæàò â îäíîì Yα .
Êàê ëåãêî âèäåòü, ýòî îòíîøåíèåðåôëåêñèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî, ò. å. ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. ßñíî òàêæå, ÷òî ìíîæåñòâà Yα ñîâïàäàþòñ êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè ïî ýòîìó îòíîøåíèþ. ÏÐÈÌÅÐ 1.7. Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå èç ïðèìåðà 1.5. Èìååì[1] = {1, 4, 7}, [2] = {2, 5, 8}, [3] = {3, 6, 9}. 2. Ïîíÿòèå ãðóïïû. Ïóñòü M ìíîæåñòâî. Áèíàðíîé îïåðàöèåé íà ýòîì ìíîæåñòâå íàçûâàåòñÿîòîáðàæåíèå f : M × M → M . Ýëåìåíò f (a, b) íàçûâàåòñÿðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè ê ïàðå (a, b). Âìåñòî f (a, b)ïèøóò îáû÷íî a ∗ b, a ◦ b èëè èñïîëüçóþò êàêîé-òî äðóãîé çíàê.Ìíîæåñòâî âìåñòå ñ îïåðàöèåé îáîçíà÷àåòñÿ òîãäà (M, ∗), (M, ◦)è ò.
ï. Åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, îïåðàöèþ áóäåì çàïèñûâàòüìóëüòèïëèêàòèâíî, ò. å. âìåñòî f (a, b) ïèñàòü ïðîñòî ab.Ïóñòü (M, ∗) ìíîæåñòâî ñ îïåðàöèåé. Îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿàññîöèàòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáûõ a, b, c ∈ M èìååìÁèíàðíûå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).Îíà íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáûõâåðíî ðàâåíñòâîa, b ∈ Ma ∗ b = b ∗ a.Ýëåìåíò e íàçûâàåòñÿ íåéòðàëüíûì, åñëè äëÿ âñåõ a ∈ M ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàa ∗ e = e ∗ a = a.Åñëè íåéòðàëüíûé ýëåìåíò ñóùåñòâóåò, òî îí åäèíñòâåííûé.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü e′ äðóãîé íåéòðàëüíûé ýëåìåíò. Òîãäàe = e ∗ e′ = e′ .Ïóñòü ñóùåñòâóåò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò e, è a ýëåìåíò èçM . Ýëåìåíò b ∈ M íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ê a, åñëèa ∗ b = b ∗ a = e.10ÏÐÈÌÅÐ 2.1. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâà ñ îïåðàöèÿìè (Z, +) è(Z, ·). Îïåðàöèè àññîöèàòèâíû è êîììóòàòèâíû, åñòü íåéòðàëüíûå ýëåìåíòû 0 è 1 ñîîòâåòñòâåííî.
Îáðàòíûì ê a ∈ Zîòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ñëóæèò ýëåìåíò −a; ïî îòíîøåíèþ ê óìíîæåíèþ îáðàòèìû òîëüêî ýëåìåíòû 1 è −1. Ãðóïïîé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî G, âêîòîðîì ââåäåíà áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ, ïðè÷åì âûïîëíåíû ñëåäóþùèå àêñèîìû.1) (ab)c = a(bc) äëÿ âñåõ a, b, c ∈ G;2) ñóùåñòâóåò åäèíèöà, ò. å. òàêîé ýëåìåíò e ∈ G, ÷òî ae =ea = a äëÿ âñåõ a ∈ G;3) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ G ñóùåñòâóåò îáðàòíûé ýëåìåíòa−1 , ò. å. òàêîé, ÷òî aa−1 = a−1 a = e.Îòìåòèì, ÷òî îáðàòíûé ýëåìåíò âñåãäà åäèíñòâåííûé. Ýòîäîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê äîêàçûâàëàñü åäèíñòâåííîñòüîáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ï. 1.
À èìåííî, åñëè b è c ýëåìåíòû, îáðàòíûå ê a, òîÎïðåäåëåíèå ãðóïïû.b = (ba)b = b(ab) = be = b(ac) = (ba)c = ec = c.Åñëè äëÿ âñåõ a, b ∈ G ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî ab = ba, òîãðóïïà íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíîé, èëè àáåëåâîé.ÏÐÈÌÅÐ 2.2. Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Z ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ îáðàçóåò àáåëåâó ãðóïïó. ÏÐÈÌÅÐ 2.3. Ïóñòü M íåïóñòîå ìíîæåñòâî, G = S(M ) ìíîæåñòâî áèåêòèâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìíîæåñòâà M . ÒîãäàG ãðóïïà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè êîìïîçèöèè. Åäèíè÷íûìýëåìåíòîì G ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå idM . Ýëåìåíòû ãðóïïû íàçûâàþòñÿ ïîäñòàíîâêàìè ìíîæåñòâà M . Â÷àñòíîñòè, åñëè M = Jn, òî ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïîé è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Sn. Äëÿ êîíå÷íîé ãðóïïû G íàçîâåì ÷èñëî |G| åå ïîðÿäêîì.Ïóñòü G ãðóïïà.Ïîäìíîæåñòâî H ⊆ G íàçûâàåòñÿ åå ïîäãðóïïîé, åñëè1) x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H ;2) x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H .ßñíî, ÷òî ïîäãðóïïà ñàìà ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé.Îòìåòèì, ÷òî åñëè N ïîäãðóïïà â H , à H ïîäãðóïïà âG, òî N ïîäãðóïïà â G.Ïîäãðóïïû.
Ãîìîìîðôèçìû ãðóïï.11ÏÐÈÌÅÐ 2.4. Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 1.5,ìíîæåñòâî An âñåõ ÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê íà n ýëåìåíòàõ îáðàçóåòïîäãðóïïó ãðóïïû Sn. Îíà íàçûâàåòñÿ çíàêîïåðåìåííîé ãðóïïîé.Ïóñòü G è G′ ãðóïïû. Îòîáðàæåíèå f : G → G′ íàçûâàåòñÿãîìîìîðôèçìîì ãðóïï, åñëèf (xy) = f (x)f (y)äëÿ âñåõ x, y ∈ G. Áèåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì. Åñëè ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì ãðóïïû G íà ãðóïïó G′,òî ýòè ãðóïïû íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè. Ýòî îáîçíà÷àåòñÿ òàê:G ∼= G′ . Êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, îòíîøåíèå èçîìîðôíîñòè åñòüîòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè ãðóïï èçîìîðôíûå ãðóïïû íåðàçëè÷èìû.Íàçîâåì ïîðÿäêîì o(x) ýëåìåíòà x ãðóïïû íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå n ñî ñâîéñòâîì xn = e.ÏÐÈÌÅÐ 2.5.  ãðóïïå S3 èìååì o(σ) = 2, ãäå σ îäíàèç òðàíñïîçèöèé (12), (13) èëè (23), o(τ ) = 3, ãäå τ îäèí èçòðîéíûõ öèêëîâ (123) èëè (132). .Íàçîâåì ýëåìåíòû x è y ãðóïïû G ñîïðÿæåííûìè, åñëè y =gxg −1 äëÿ íåêîòîðîãî g ∈ G. Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèåñîïðÿæåííîñòè åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.Îòìåòèì, ÷òî ïîðÿäêè ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ ðàâíû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè y = gxg−1 è xn = e, òîy n = (gxg −1 )(gxg −1 ) ... (gxg −1 ) == gx(g −1 g)x ... (g −1 g)xg −1 = gxn g −1 = e.Çíà÷èò, o(y) ≤ o(x).  ñèëó ñèììåòðèè è o(x) ≤ o(y), îòêóäào(x) = o(y).ÏÐÈÌÅÐ 2.6.
 ãðóïïå S3 ýëåìåíòû σ = (12) è (13) ñîïðÿæåíû: (23)(12)(23) = (13). Ýëåìåíòû (12) è (123) íå ñîïðÿæåíû,òàê êàê èõ ïîðÿäêè ðàçëè÷íû. Ââåäåì åùå îäíî ïîíÿòèå, êîòîðîå íàì ïîíàäîáèòñÿ â äàëüíåéøåì. Íàçîâåì ïîäãðóïïû H, H ′ ⊆ G ñîïðÿæåííûìè, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé g ∈ G, ÷òîH ′ = gHg −1 = {ghg −1 | h ∈ H}.ßñíî, ÷òî ñîïðÿæåííûå ïîäãðóïïû èçîìîðôíû.12Êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî ìíîæåñòâà ïîäãðóïï ïîäãðóïïà. Ïóñòü G ãðóïïà è M ⊆ G ïîäìíîæåñòâî. Ïåðåñå÷åíèå < M > âñåõïîäãðóïï ãðóïïû G, ñîäåðæàùèõ M , íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïîé,ïîðîæäåííîé ìíîæåñòâîì M , à ñàìî M ïîðîæäàþùèì ìíîæåñòâîì ïîäãðóïïû < M >.ÏÐÈÌÅÐ 2.7. Êàê ìû âèäåëè (ñëåäñòâèå 1 èç òåîðåìû 1.4),ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà Sn ïîðîæäàåòñÿ âñåâîçìîæíûìè òðàíñïîçèöèÿìè (ij).
ÏÐÈÌÅÐ 2.8. Çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïà An ïîðîæäàåòñÿ âñåâîçìîæíûìè òðîéíûìè öèêëàìè (ijk), òàê êàê ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà åñòü ïðîèçâåäåíå ÷åòíîãî ÷èñëà òðàíñïîçèöèé èÏîðîæäàþùèå ìíîæåñòâà.(ij)(ik) = (ikj),(ij)(kl) = (jkl)(ilj). Ïîäãðóïïà < a >, ïîðîæäåííàÿ îäíèì ýëåìåíòîì a, íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêîé. Ýëåìåíò a íàçûâàåòñÿ îáðàçóþùåé ýòîé ãðóïïû.ÏÐÈÌÅÐ 2.9.
Ãðóïïà Z öèêëè÷åñêàÿ. Ïóñòü G =< a > è o(a) = n. Òîãäà ýëåìåíòûe = a0 , a, a2 , ..., an−1(2.1)âñå ðàçëè÷íû, à an = e. Ïóñòü l öåëîå ÷èñëî. Äåëÿ ñ îñòàòêîì,ïîëó÷àåì l = qn+r, ãäå 0 ≤ r < n. Òîãäà al = aqn+r = ar . Çíà÷èò,al ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç ýëåìåíòîâ (2.1), ò.
å. ãðóïïà G ñîñòîèò âòî÷íîñòè èç ýëåìåíòîâ (2.1). Áóäåì ýòó ãðóïïó îáîçíà÷àòü ÷åðåçCn. ßñíî, ÷òî âñå öèêëè÷åñêèå ãðóïïû ïîðÿäêà n åé èçîìîðôíû.3. Òåîðåìà ËàãðàíæàÏóñòü G ãðóïïà è H åå ïîäãðóïïà. ÏîëîæèìgH = {gh | h ∈ H}.Ìíîæåñòâà gH íàçûâàþòñÿ ëåâûìè ñìåæíûìè êëàññàìè ãðóïïûG ïî ïîäãðóïïå H . Êàæäûé ýëåìåíò êëàññà gH íàçûâàåòñÿïðåäñòàâèòåëåì ýòîãî êëàññà.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïðàâûå ñìåæíûå êëàññû.Åñëè ãðóïïà G êîíå÷íà, òî è ÷èñëî ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâêîíå÷íî.
Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî îíî ðàâíî ÷èñëó ïðàâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ èíäåêñîì ïîäãðóïïû H â Gè îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç (G : H).13ÏÐÈÌÅÐ 3.1. Î÷åâèäíî, (Sn : An) = 2. Ìíîæåñòâî ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ãðóïïû G ïî ïîäãðóïïåH îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç G/H .ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1 (Ëàãðàíæà). Åñëè H ïîäãðóïïà êîíå÷íîéãðóïïû G, òî|G| = |H| · (G : H).ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Êàæäûé ëåâûé ñìåæíûé êëàññ ïîïîäãðóïïå H ñîäåðæèò |H| ýëåìåíòîâ, à ÷èñëî ñìåæíûõ êëàññîâðàâíî |G/H|.
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ. Ïîðÿäîê ïîäãðóïïû äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû. Ïîðÿäîê ëþáîãî ýëåìåíòà äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû. Ãðóïïà ïðîñòîãîïîðÿäêà âñåãäà öèêëè÷åñêàÿ è ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà åäèíñòâåííàÿ.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Ïóñòü a ∈ G è o(a) = k. Òîãäà ïîäãðóïïà H =< a > èìååò ïîðÿäîê k. Ïî òåîðåìå k äåëèò ïîðÿäîê|G| ãðóïïû G. Åñëè |G| = p ïðîñòîå ÷èñëî, è a ýëåìåíòãðóïïû G, îòëè÷íûé îò åäèíèöû, òî o(a) = p. Çíà÷èò, ãðóïïà Gñîâïàäàåò ñ ïîäãðóïïîé < a >, ò. å. ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
