Курсовая работа по Диф.Гем. В-2 (course work) (1075670)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский государственный технический университетИмени Н. Э. БауманаАэрокосмический факультетКафедра Вычислительная математикаи математическая физикаКУРСОВАЯ РАБОТАпо курсуДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯГЕОМЕТРИЯИ ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГОАНАЛИЗАВыполнил:студент 2-го курсаБаланин А.С.Преподаватель:к.ф.-м.н.,доц.Щетинин А.Н.Реутов – 2014Задача 1. Найти эволюту трактрисы.tx = −a ln tg + cos t ,2y = a sin t.Если кривая задана параметрическими уравнениями, то координаты (ξ, η) центракруга кривизны выражаются формулами:ẋ2 + ẏ 2ẏ,ẋÿ − ẍẏξ =x−η=y+ẋ2 + ẏ 2ẋ.ẋÿ − ẍẏГеометрическое место центров кривизны данной кривой называется ее эволютой. Найдем ее уравнение :! 2 cos t11−sint=−a;−sint=−aẋ = −asin tsin t2 tg 2t cos2 2tẍ = −a=a−2(cos t) sin2 t − cos3 tsin2 t=a2 cos t sin2 t + cos t(1 − sin2 t)sin2 t=cos t(2 sin2 t − sin2 t + 1)cos t(sin2 t + 1)=a;sin2 tsin2 tÿ = −a sin t.ẏ = a cos t;tξ = −a ln tg + cos t −2a!!4costa2+ a2 cos2 t a cos t2sin t!!=cos2 tsin2 t + 1a sin t − a cos ta cos tsin tsin2 tcos t (cos4 t + cos2 t (1 − cos2 t))t == −a ln tg + cos t − a2cos2 t sin2 t − cos2 t sin2 t + 1tcos ttt= −a ln tg + cos t − a= −a ln tg − a cos t + a cos t = −a ln tg .22222sin t − sin t − 1a2η = a sin t +a= a sin t +cos4 tsin2 t!+ a2 cos2 t!cos2 ta sin t − a cos tsin t!(−a)sin2 t + 1a cos tsin2 tcos2 t=sin tcos4 t + cos2 t(1 − cos2 t)cos2 tcos2 ta(−a)=asint+a=.2222sin tsin tsin tsin t cos t − cos t(sin t + 1)Мы получили, что координаты центра кривизны равны:taξ = −a ln tg; η=.2sin t1Видно, что если применить к ξ функцию ch (), то получим: t −1t +explntgexplntg− a ln tg22ξtch = ch= ch ln tg==aa22! t1 t1 − cos t 1 1 − cos tsin t1 = tg == tg ++==2 2sin t 2sin t1 − cos tt 2tg2!!221−2cost+cost+sint1−cost111== 2=2sin t(1 − cos t)2sin t(1 − cos t)sin tt2–что в свою очередь равноη.aПолучаем, что :η = a chξ– уравнение эволюты трактрисы.aЗадача 2.

Найти натуральные уравнения кривой.Кривая задана в пространстве уравнениями:x = 3 ch t + 4t,z = 4 ch t − 3ty = 5 sh t,(a 6 t 6 b)или в векторной форме:r(t) = (3 ch t + 4t, 5 sh t, 4 ch t − 3t)(a 6 t 6 b).Формулыk = k(s),κ = κ(s)где k и κ – кривизна и кручение кривой, а s – натуральный параметр (длина дуги)называются натуральными уравнениями кривой.Для нахождения натуральных уравнений кривой вначале вычислим ее кривизну икручение, которые находятся по формулам:k=|r0 × r00 |,|r0 |3κ=r0 (t) = (3 sh t + 4, 5 ch t, 4 sh t − 3) ;r00 (t) = (3 ch t, 5 sh t, 4 ch t) ;r000 (t) = (3 sh t, 5 ch t, 4 sh t) .2(r0 , r00 , r000 ).|r0 × r00 |2~k~i~j000r × r = 3 sh t + 4 5 ch t 4 sh t − 3 = 3 ch t5 sh t4 ch t ~i(20 ch2 t − 20 sh2 t + 15 ch t) − ~j(12 sh t ch t + 16 ch t − 12 sh t ch t + 9 ch t) ++ ~k(15 sh2 t + 20 sh t − 15 ch2 t) = ~i(20 + 15 sh t) + ~j(−25 ch t) + ~k(20 sh t − 15);p2t + 625 ch2 t + 400 sh2 t − 600 sh t + 225 =|r0 p× r00 | = 400 + 600 sh t + 225 shp√= 625 + 625 ch2 t + 625 sh2 t = 25 ch2 t − sh2 t + ch2 t + sh2 t = 25 2 ch t;p|r0 |p= 9 sh2 t + 24 sh t + 16 + 25 ch2 t + 16 sh2 t − 24 sh t + 9 =√= 25 sh2 t + 25 ch2 t + 25 ch2 t − 25 sh2 t = 5 2 ch t;√|r0 |3 = 250 2 ch3 t;Подставляем все это в формулу для k:√25 2 ch t1√k==3250 2 ch t 10 ch2 t3 sh t + 4 5 ch t 4 sh t − 35 sh t4 ch t = −125;(r0 , r00 , r000 ) = 3 ch t 3 sh t5 ch t4 sh t (Результат смешанного произведения векторов был получен на сайтеWolframAlpha(перейти по ссылке));|r0 × r00 |2 = 625 · 2 ch2 t;Подставляем все это в формулу для κ:κ=− 125225 · 25 · 2 ch t=−1.10 ch2 tПолучилось, что кривизна k и кручение κ равны:k = −κ =110 ch2 tНайдем натуральный параметр s:Zts=Zt √t√√0|r (u)| du = 5 2 ch u du = 5 2 sh u = 5 2 sh t.000Так как ch2 t = sh2 t + 1, то из формул для k и κ получаем натуральные уравнения:k = −κ =s235+ 50.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания