Mathcad - костян (1071187)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Домашнее задание №3 по курсу"Теории вероятностей и математической статистики"Группа: РЛ3-51Головащенко К.С.Вариант: 5Задание:1. Для заданной выборки найти оптимальную величину интервала группировки,сгруппировать статический материал.2. Найти частоту, относительную частоту, накопленную частоту и относительнуюнакопленную частоту каждого интервала группировки. Выполнить графическуюиллюстрацию.3. Найти статистическую функцию распределения и построить её график.4. Вычислить относительную частоту попадания случайной величины в заданный интервал.5.

Вычислить выборочные медиану и моду.6. Найти выборочную среднюю и среднюю дисперсию.7. Найти исправленную выборочную дис персию.8. Найти выборочные центральные моменты третьего и четвёртого порядков.9. Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса.10. Произвести подбор распределения.11. Методами мометов и максимального правдоподобия найти точечные оценкипараметров распределения.12. Найти интервальные оценки параметров распределения.13. Вычислить теоретические частоты.14. Проверить с помощью критерия Пирсона гипотезу о виде распределения.Имеется выборка x из n элементов.x := READPRN ( "D:\Kostyan Documents\матан\тервер_дз№3_Андрей\var11_tabl.txt" )n := rows ( x)n = 90Сначала для неё составим вариационный ряд X, который состоит из тех же элементов, чтои x, но упорядоченных по возрастанию.X := sort ( x)Далее составляем интервальный статистический ряд.

Для этого выберем число интерваловв группе (по таблице)ln ( n)= 6.492ln ( 2 ) ln ( n)  ln ( 2) g := round g := 7Длина каждого интервала группировки D определится к акΔ :=max ( X) - min ( X)gΔ = 17.214Определим границы интервалов группировки, а также их с рединные значения. Учтём, чтолевая граница должна быть менее минимального значения, чтобы не попадать на границыинтервалов:i := 0 .. ( g - 1 )Xmini := min ( X) + Δ  iXmaxi := min ( X) + Δ  ( i + 1 )Начало отрезкаКонец отрезк а 22.5  39.714  56.929 Xmin =  74.143  91.357  108.571  125.786  39.714  56.929  74.143 Xmax =  91.357  108.571  125.786  143 Xmidi :=Xmini + Xmaxi2Середина отрезка 31.107  48.321  65.536 Xmid =  82.75  99.964  117.179  134.393 Далее определим число элементов N i, попавших в каждый отрезок.

При этом важноотметить, что правый конец интервала не включается, за исключением последнего.n-1N i :=if Xk  Xmini (Xk < Xmaxi  i  g - 1 )  ( Xk  Xmaxi  i = g - 1 ) , 1 , 0k = 0Полученный вектор N определяет частоту каждого интервала. Для получения век тораотносительных час тот необходимо к аждый элемент век тора N разделить на числоэлементов n:NRN :=nНакопленные частоты для интервала k будут определяться соответственно суммой всехчастот, предшествующ их элементу (k+1).iSNi :=NkRSN :=SNnk = 0Частота Относительная частота Накопленная частотаОтносительнаянакопленная частота5  11   24 N =  19   15  10  6  0.056  0.122  0.267 RN =  0.211  0.167  0.111  0.067 5  16   40 SN =  59   74  84   90  0.056  0.178  0.444 RSN =  0.656  0.822  0.933  1 Вычисления произведены верно, так как последние элементы век тора накопленных частоти относительных накопленных частот равны соответственно n и 1.Построим гистограмму распределения:Гистограмма распределения2825.222.419.616.8Ni21411.28.45.62.8022.542.58362.66782.75102.833122.917143XmidiДругой способ графического изображения предварительных результатов обработк ивыборки - это полигон частот.

Построим его.Полигон частот6054484236Ni302418126022.539.71456.92974.14391.357108.571125.786143XmidiДля примерного изображения функции распределения построим полигон нак опленныхчастот.Полигон накопленных частот907560SNi 453015039.71454.46969.22483.9898.735Xmaxi113.49128.245143Определим выборочную функцию распределения, к оторая показывает отношение числаэлементов, меньших чем x, к полному числу элементов.F ( x) :=1nn-1(if Xk < x , 1 , 0)k =0x := min ( X) , min ( X) +max ( X) - min ( X)n.. max ( X)Эта функция меняется скачкообразно, поскольку выборка имеет конечное числоэлементов.Выборочная функция распределения10.80.6F( x)0.40.2022.539.71456.92974.14391.357108.571125.786143xНайдём выборочную медиану.

Она удовлетворяет соотношению F(m e) = 0.5. Медианаделит площадь гистограммы пополам. Что бы найти медиану, сначала линейноинтерполируем относительную накопленную частоту RSN, т.е. построим к усочно-линейнуюфункцию F1(x), проходящую через точки (Xm ax0. ,RSN 0),(Xm axm-1бRSNF1 ( x) := linterp ( Xmax , RSN , x)G ( x) := 0.50.80.6F1( x)0.40.20050100150xРешим уравнение F1(x)=0.5. Выберем начальное приближение : gege :=Xmax0 + Xmaxg- 12GivenF1 ( ge ) = 0.656ged := Find ( ge )ged = 0F1 ( ged) = -0.226Мода определяется как точка наибольшего значения плотности распределения. Введёмплотность распределения как производную функции распределения, либо к ак частотураспределения.Определим максимальное значение для K:Kmax := max ( N )Kmax = 24Индекс, соответствующий наибольшему значению, равен:imax := match ( Kmax , N )imax = ( 2 )таких номеров в общем случае может быть несколько, поэтому imax-вектор.Определяем выборочную моду, как середину интервала с номером im ax0 :moda := Xmidmoda = 65.536( imax0)Далее вычислим начальные и центральные выборочные моменты:k := 1 ..

4μk :=1nn-1j =0( )Xjkνk :=1nn-1( Xj - μ1) kj =0Коэффициент эксцессаКоэффициент асимметрииA :=ν33A = 0.246Э :=( ν2) 2Начальные моментыν4( ν2)2-3Э = -0.534Центральные моменты081.1063μ =  7.308  10 5 7.161  10  7.498  107 014 -3.853  10730.247ν= 3  4.856  10  1.315  106 Для теоретической оценки будем использовать нормальный закон распределения. Егоплотность записывается как:-1f ( x , μ , σ) :=( x- μ)e2σ22σ  2πXср := μ1Xср = 81.106среднее значение выборк иσ :=σ = 27.023среднеквадратичное отклонение выборкиν22σ = 730.247дисперсия выборкиДля определения параметров ЗР используютс я точечные оценки. Для данного случаяопределим параметры ЗР m и s, пользуясь методами моментов и максимальногоправдоподобия.

Находим дисперсию:( )2DX := μ2 - μ1DX = 730.247Тогда среднеквадратичное отклонение для нормального ЗР равноσ1 :=DXσ1 = 27.023Математическое ожидание вычисляется из первого момента:MX := μ1MX = 81.106μ1 := MXμ1 = 81.1060.1f ( x , μ1 , σ1 )0.05050100150xДля оценки параметров методом максимального правдоподобия вводится функция L(m,s),которая называется функцией правдоподобия. Задача определения параметров сводится кнахождению таких параметров m и s, при которых значение L максимально. Длянормального ЗР функция L определяется как произведение вероятностей для каждогоэлемента выборки:n -1L ( μ , σ) :=Given()f Xj , μ , σj = 0После подстановки и упрощения получимnL ( μ , σ) := 1  e σ  2π n- 112( Xk-μ) 22 σ k = 0Для определения макс имума находим частные производные и, приравнивая их к нулю,получаем следующую систему:μ2 := min ( X)σ2 := max ( X) - min ( X)Givern-1( Xk - μ2) = 0k = 0n-12n  σ2 =( Xk - μ2)2k = 0 μ2   := Minerr ( μ2 , σ2) σ2 μ2 = 81.106σ2 = 27.023При оценке методом моментов были получены следующие результаты:μ1 = 81.106σ1 = 27.023Как видно, результаты равны.Оценка, полученная для среднеквадратичного отклонения, является смещённой.

Найдёмисправленную оценку S:S := σnn-1S = 27.174Поскольку полученные оценки не являются точными, необходимо определить, какоедопускается отклонение от реальных величин. Для этого применяются интервальныеоценки. Примем доверительную вероятность g равнойγ := 0.95α :=1-γ2Уровень значимости a равенα = 0.025Поскольку известна дисперсия, то будем использовать центральную статистикуT ( μ) :=MX - μσ nОна имеет распределение Стъюдента с n-1 степенями свободы. Вычислим квантильуровня 1-αqt ( 1 - α , n - 1) = 1.987нижняя граница доверительного интервалаa := MX -S qt ( 1 - α , n - 1 )a = 75.414nВерхняя границаb := MX +S qt ( 1 - α , n - 1 )b = 86.797nДля оценки СКО используем статис тикуT2 ( σ) :=(n - 1) S22σОна имеет X2 распределение с n-1 степенями свободы.

Вычислим квантильqchisq ( 1 - α , n - 1 ) = 116.989Нижняя граница ДИ:qchisq ( α , n - 1 ) = 64.793c :=S n - 1qchisq ( 1 - α , n - 1 )c = 23.702Верхняя граница ДИ:d :=S n - 1qchisq ( α , n - 1 )d = 31.849с вероятностью γ СКО попадет в интервалВыдвинем статистическую гипотезу Н0: СВ Х имеет норм. распределение спараметрами МХ и σХ. Проверим эту гипотезу исользуя критерий Пирсона()()Pi := pnorm Xmaxi , MX , σ - pnorm Xmini , MX , σNti := n  Pi 4.297  11.041  19.157 Nt =  22.451  17.774  9.504  3.431 5  11   24 N =  19   15  10  6 Если X действительно имеет нормальное распределение с параметрами MX, σто расхождение между M и N должны быть незначительны. Вычислим суммуквадратов отклонений с некоторыми весовыми коэффициентами g-1 ( N i - Nti )2U := Ntii = 0U = 4.252Сумма имеет распределение χ2τ := g - 3τ= 4τ степень свободыqchisq ( γ , τ) = 9.488В нашем случае U<qchisq(γ,τ), поэтому Н0 не отклоняется, Х имеет нормальноераспределение с параметрами МХ σX.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов курсовой работы