Дробышев Г.Ф., Семёнов В.С. - Цепи синусоидального тока (1063956), страница 2
Текст из файла (страница 2)
;,, 1 2 (1О) Для синусоидальной функции времени и(~)=У з1п(сои+и), амплитуда А = У„, аргумент у =в~+и, поэтому комплексная величина в (9) Аел =У ед'" ' =У е'"е'"' =У е~ ' (11) Первый множитель в этой формуле У = Ь" е'~ называется комплексной амплитудой. Модулем комплексной амплитуды является амплитуда синусоидальной функции, а аргументом — начальная фаза, таким образом, комплексная амплитуда включает в себя оба параметра синусоиды: амплитуду и начальную фазу. Модуль второго множителя — экспоненты е~~' = сова~+ у'з1пи~ — ра- вен единице, его аргумент линейно нарастает во времени с угловой скоростью в.
Геометрически экспонента будет изображагься единичным вектором, вращающимся с постоянной скоростью в против хода часовой стрелки. При 1 = О фиксируется начальное положение единичного вектора, которое совпадает с комплексной амплитудой, что обычно и используют при построении векторных диаграмм. Запись комплексной амплитуды по заданной синусоидальной функции получается очень простой, как легко убедиться из примера: и = 14в1п(в~+ 45'), Ст„= 14е~~~; ~ = 5 впаяв~ - 30'), 1' = 5е ~'~ .
Запись мгновенных значений синусоидальной функции по задан- ной комплексной амплитуде также производится элементарно: Х =100е ~'~, тогда ф) =100в1п~в~-60 ) . В методе комплексных амплитуд используют важное свойство экспоненциальной функции, состоящее в том, что производная и интеграл от нее являются также экспоненциальными функциями, причем операция дифференцирования эквивалентна умножению функции на~в, а интегрирование — делению на~в: — ~е'"') = ~ве"'"', ~Г"'й~ = — е~ ' й у'в На основании изложенных правил можно составить комплекс ные алгебраические уравнения, соответствующие любым линейным дифференциальным уравнениям электрической цепи, записанным согласно законам Кирхгофа для гармонических функций. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение ~3) нз примера: Найдем установившийся синусоидальный ток в цепи, используя представление тока и напряжения в виде разности двух сопряженных экспонент ~9).
Первому слагаемому — напряжению У е'"'— будет соответствовать слагаемое тока Х е"' . Подставим эти вели- чины в уравнение (13) с учетом (12) и получим .ь Х м ХгвХ.Х е~'+гХ е'"'+ — е'"' =ЦьХ.+ — +г)Х е~' =У е'"'. (14) Х'ы1 Хвс При подстановке в уравнение (13) сопряженных слагаемых напря.кения и тока, как легко проверить, получим равенство, сопряженное и, следовательно, эквивалентное равенству (14). Поэтому в формуле (9) сопряженное слагаемое можно отбросить, достаточно рассматривать действие только первого слагаемого. Решение уравнения (14) относительно искомой комплексной амплитуды тока приведет к соотношению У У .
1 Х вЂ” — — — —, где У = г+ ХаХ. + 2 ХиС ХаС Коэффициент пропорциональности У между комплексными амплитудами тока и напряжения зависит от элементов цепи и частоти и называется комплексным сопротивлением, но не является изображением синусоидальной функции времени. Таким образом, решение дифференциальных уравнений сводится к решению алгебраических уравнений. В этом и заключается главная особенность комплексного метода. Введение комплексных сспротивлений и проводимостей как коэффициентов пропорциональности между комплексными амплитудами напряжения и тока позволяет перейти к закону Ома в ком,плексной форме для установившихся синусоидальных режимов: Запишем теперь законы Кирхгофа в комплексной форме. Первый закон Кирхгофа — равновесие мгновенных значений токов ветвей ~~ в узле электрической цепи, при замене токов их комплексными амплитудами получает Вид ~алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов в узле равна нулю).
Второй закон Кирхгофа о равновесии мгновенных значений напряжений и~ в замкнутом контуре при замене напряжений их комплексными амплитудами приобретает вид ~алгебраическая сумма комплексных напряжений в контуре равна нулю), При пользовании комплексными числами по-прежнему важны выбор и разметка положительных направлений. При анализе электрических цепей встречаются нелинейные операции, например, произведение дьух гармонических функций. как в случае вычисления мощности в цепи электрического тока, когда р = и~, а и = У„а1п~в~ + р), г:=- Х в1п~св1+ о,). Произведение комплексных амилитуд У .1 не отражает баланса мощностей, хотя модуль этого произведения правильно определяет значение полной мощности, но действительная и мнимая части не соответствуют активной и реактивной мощностям.
Поэтому при расчете мощности комплексным методом вместо комплексного тока используют сопряженную ему величину, и тогда нужная расчетная формула 5 = Ь' * Х = У Хе"~ "' = Ясовф — а) + уыпф — а)1 = Р+ Щ У= —, Х:= —, и.
,Гг' где 5, Р, Д вЂ” соответственно полная, активная и реактивная мощ- НОСТИ. К и. 1Л. Для заданной цепи следует указать неизвестные токи и напряжения для мгновенных значений, затем записать уравнения связи этих токов и напряжений по законам Кирхгофа ~см. домашнее задание «Цепи постоянного тока»). Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, изображенную на рис. 5. Обозначим все неизвестные токи в ветвях и запишем нужные уравнения: й, . Й, и = з, ~, + Մ— + г,з, + Х., —; й Й 1 г.. Жз 0=1г+ — ~г й — уг — Ц вЂ” ~, зз ~з сз ау Эгим уравнениям соответствуют комплексные алгебраические уравнения Х,=Х +Х,; У = ~г, + уаХ„)Х, + ~г, уаХ.,)Х,; 1 . ° О=~зз+ — — — )Хз -(г, + уаХ )Х,.
уаГз l В этих уравнениях все комплексные амплитуды уменьшены в ~2 раэ„т.е. Х, =Х ~Л; Х, =Х,„, УЛ „Х, =Х„,,~ й; и=и ~ й, Теперь необходимо вычислить все комплексные сопротивления ветвей, когда заданы параметры элементов ветвей. Пусть ~1 = =10м, гз= 50м, г;= 50м„Х~,=-аХ,= 60м, Л' =аХ,,=50м, л." =1/аС =5 Ом, тогда их комплексные сопротивления равны ~! =,»'аХ, =бу, 7 „= ууХ =-5у, У,, =1у|у~С, = — 5у, злу, =36~2~ш~у, ХУ = 36 В. Решив совместно систему алгебраических уравнений (16) относительно токов Х,, Х'„Х„найдем: Х, =3(1- у) А, Х, =-Зу А, Х, = ЗА.
Напряжение на ветви с током гз в комплексной форме ХУз =Хзй Л,,)=З'Р 5.У)=(15 15У)В. К и. 12. Баланс активной н реактивной мощности можно выразить уравнением баланса комплексной мощности: сумма всей по- 12 требляемой мощности ф, +Я, +...)„где 5'„— мощность„потребляе- мая каждой ветвью, равна всей подводимой (Я +5,, +...) „где 5, мощность„подводимая каждым генератором, т.е. «5, = ~~ 5р.
Баланс комплексной мощности можно также представить в виде равенства ;«Ю,Х, =-,'«,'Х„-"Л„, 117) если положить, что направление ~оков в любом источнике принимается совпадающим с направлением его ЭДС. Если заменить Л его составляющими, то получим выражение для активной и реактивной мощностей в правой части уравнения (17), которые должны быть равными соответствующим частям комплексной мощности в левой части.
Определим в рассматриваемом примере комплексную мощность источника Я=УХ, =36(3+ЗХ) =108+108Х =Р+ ХД, где Р, Д вЂ” соответственно активная и реактивная мощности, отдаваемые источником, а затем комплексные мощности, потребляемые каждой ветвью: Ю, = Х;К, =(3Л)'~1+ 6Х) =18+108Х; 2 2 2 1,Х) Я, = Х, У, = 3 (5 — 5Х') = 45 — 45 У., В итоге,ГР„= Р, + Р, + Р, =108 Вт, ~ Д„=108+45-45 =108 ВЛР Условия баланса выполняются, К п. 1.3.
Распределение потенциала в цепи можно представить на комплексной плоскости„сопоставляя точки цепи с определенными точками на плоскость. Векторная диаграмма, при которой каждой точке цепи соответствует определенная точка на плоскости, называется топографической. Для построения топографической векторной диаграммы поступаем так: на основании проведенного расчета строим векторы токов Х„Х, Х, „векторы составляющих напряжения на отдельных участках цепи отложены на диаграмме в том же порядке, в каком на схеме следуют соответствующие эле- менты цепи. Начало координат отмечено точкой а(ф„=О).
Комплексный потенциал точки Ь определяем согласно закону Ома: ~Рь ~Ра ~ йа ~Ра + 1м1212 Численное значение второго слагаемого У, равно У„, =Х,аХ., =35=15В. Откладываем этот вектор в выбранном масштабе от точки а в направлении »Х2, т.е. в направлении, определяемом поворотом вектора тока Х2 на угол 90' против хода часовой стрелки (рис. 6). Конец построенного вектора У„, определяет точку Ь топографической диаграммы.
Точно так же определяем потенциал точки с: ~р, =ф»,+У,, =ф +1'г . Численное значение второго слагаемого ХХ,», равно У,», =1,». =3 5=15В. Откладываем этот вектор в направлении 1, от точки Ь к искомой точке с. Их векторная сумма равна У,„. Далее в фазе с 1, построим вектор Х,»; и перпендикулярно к нему в сторону опережения вектор»Х,,Х, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
