Методичка с примером ДЗ (1062944), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого фактора в отдельности, но и их взаимодействия.
Определим числа опытов N=uk , где u – число уровней каждого фактора (должно быть на 1 больше порядка полинома), k – число исследуемых факторов.
Для линейной модели и двух исследуемых факторов достаточно провести 4 опыта, т.е. опытные точки располагаются в вершинах квадрата (рис. 7) факторного пространства, а модель будет иметь вид:
Y = b0 + b1X1 + b2X2+ b12X1X2
где b0 – значение функции отклика в центре плана, коэффициенты b1 и b2 характеризуют степени влияния соответствующих факторов на функцию отклика, а b12 характеризует влияние взаимодействия факторов.
Х1
+1
-1 +1
X2
-1
Рис. 7. Расположение экспериментальных точек.
Для рассматриваемого случая матрица планирования будет иметь вид, представленный в таблице 3: Таблица 3.
| Номер опыта | X0 | X1 | X2 | X1X2 | Y1 | Y2 | Y3 | Y4 |
| S2 |
| 1 | +1 | -1 | -1 | +1 | 2,931 | 2,954 | 2,931 | 2,926 | 2,935 | 1,58x10-4 |
| 2 | +1 | +1 | -1 | -1 | 3,288 | 3,317 | 3,252 | 3,28 | 3,284 | 7,15x10-4 |
| 3 | +1 | -1 | +1 | -1 | 2,832 | 2,842 | 2,823 | 2,835 | 2,833 | 0,62x10-4 |
| 4 | +1 | +1 | +1 | +1 | 3,11 | 3,1 | 3,1 | 3,121 | 3,108 | 1x10-4 |
Предварительная обработка результатов: в эксперименте были проведены 4 параллельных наблюдения для каждой комбинации факторов с целью повышения точности эксперимента. Поэтому необходимо рассчитать 
по формуле:
А также определить выборочные дисперсии по формуле:
Уменьшение знаменателя в последней формуле на 1 связано с тем, что величина среднего арифметического, относительно которой берутся отклонения, сама зависит от элементов выборки. 
Обработка результатов ПФЭ с целью составления уравнения математической модели:
-
Проверка воспроизводимости экспериментов, т.е. проверка однородности вычисленных по данным параллельных опытов дисперсий среднего арифметического значения функции отклика в каждом опыте, т.е. в каждой строке, по критерию Кохрена.
Критерий Кохрена применяется для оценки однородности нескольких дисперсий при равном числе повторов в каждом эксперименте, в частности, при проверке воспроизводимости эксперимента, состояшего из нескольких опытов.
Для его использования рассчитываются дисперсии экспериментальных значений функции отклика в каждом эксперименте. Очевидно, что недоверие будут вызывать наибольшие значения. Поэтому критерий Кохрена подсчитывается как отношение максимального значения изменчивости среди N опытов к сумме изменчивостей во всех опытах:
Найденное экспериментальное значение сравнивают с критическим Gkp , представляющим собою максимально возможное значение критерия G, при котором гипотеза об однородности дисперсий может считаться справедливой. Критическое значение определяется исходя из числа сравниваемых дисперсий N=4, числа параллельных опытов n=4 и заданного уровня значимости (р=0,01). Если Gэ<=Gkp, то «подозрительное» максимальное значение изменчивости S22 не является «инородным». В противном случае эксперимент не является воспроизводимым.
Gkp (0,01; 4,4)=0,78
Значит, «подозрительное» максимальное значение изменчивости S22 не является «инородным». Дисперсии однородны. Следовательно, эксперименты воспроизводимы.
-
Вычисление коэффициентов полинома по формуле
-
Оценку значимости коэффициентов.
Основой для оценки значимости является критерий Стьюдента, который в этом случае рассчитывается по формуле
где дисперсия ошибки определения коэффициента равна S2(bj) = S2(Y) / nN , где стоящая в числителе дисперсия воспроизводимости оценивается как среднее арифметическое группы выборочных дисперсий (т.е. дисперсий функции отклика по каждому опыту), а n – число параллельных опытов для каждого условия.
Коэффициент признается незначимым, если t для числа степеней свободы N(n-1) меньше критического значения, найденного по таблице. В нашем случае все tj>tкр. Делаем вывод, что все коэффициенты значимы.
После расчёта коэффициентов получается уточненная имитационная модель процесса.
Y = b0 + b1X1 + b2X2+ b12X1X2=3,04+ 0,156X1 – 0,0695X2 – 0,0185X1X2
-
Проверка адекватности уравнения.
Модель должна быть адекватна описываемому явлению.
Надо оценить отклонение предсказанного моделью значения выходного параметра (функции отклика) y^i от результатов эксперимента в каждой точке факторного пространства. Для оценки этого отклонения служит дисперсия адекватности:
Таблица 4.
| N |
|
|
| 1 | 2,935 | 2,935 |
| 2 | 3,284 | 3,284 |
| 3 | 2,833 | 2,833 |
| 4 | 3,108 | 3,108 |
где зн – число значимых коэффициентов в аппроксимирующем полиноме.
В таблице 4 представлено сравнение экспериментальных данных и данных, полученных по математической модели.
. Для определения дисперсии адекватности делаем ещё один опыт, результаты которого приведены в таблице 5.
Таблица 5.
| Номер опыта | X0 | X1 | X2 | X1X2 | Y1 | Y2 | Y3 | Y4 |
|
|
| 5 | +1 | +0,268 | -1 | -0,268 | 3,15 | 3,204 | 3,084 | 3,12 | 3,14 | 3,15 |
Сравним дисперсию адекватности и дисперсию воспроизводимости по критерию Фишера при числах степеней свободы f1 = N - зн и f2 = N (n-1):
F = S2ад / (S2(y)/n)
Fэ = S2ад / (S2(y)/n)=10-4/(2,5875x10-4/4)=1,546
По таблице Fкр(0,01;1;12)=9,33
Fэ ≤Fкр, следовательно, модель адекватна.
Итак, полученная математическая модель имеет вид:
R = 3,04+ 0,156t – 0,0695∆ – 0,0185t∆
В данном уравнении время отжига t и величина стравленного слоя ∆ безразмерны. R – электрическое сопротивление.
Вывод
Сравнение дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости показало, что полученная математическая модель адекватно описывает процесс отжига ТЭМ, и как следствие, процесс деградации ТЭМ при их эксплуатации.
Проанализировав полученную математическую модель процесса, можно сделать вывод о том, что время отжига (время эксплуатации ТЭМ) наибольшим образом влияет на электрическое сопротивление. Увеличение R является индикатором процесса диффузии материала проводника и припоя в полупроводник, т.е. деградации ТЭМ. В данном случае сдерживающим фактором служит использование в ТЭМ полупроводникового термоэлемента, подтравленного с тех сторон, с которых производилась резка слитка. Чем больший слой ТЭ будет подтравлен, тем более правильная структура полупроводника будет использована в ТЭМ, тем дольше прослужит ТЭМ, имея характеристики в пределах допуска. Взаимное влияние времени отжига t и величины стравленного слоя ∆ также увеличивает электрическое сопротивление. Однако взаимное влияние этих двух факторов в 8,5 раз ниже влияния времени отжига (времени эксплуатации ТЭМ) и в 3,5 раза ниже влияния структуры ТЭ (величины стравленного слоя ∆).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
