Варфоломеев В.И., Копытов М.И., Проектирование и испытания баллистиеских ракет (1049210), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Поскольку все г выборок имеют практически одинаковые дисперсии, то Р1 — — — (И)!, + 2Рэ ~' г„) Р, ( ! -1- ~ ~~)' г ), (12.82) к<р ГС, где г, — коэффициенты корреляции оценок Х,„и Х, 376 На основании выражения (12.20) оценки Х„, являются линейными функциями измерений д„,„. Поэтому для любых двух оценок Х,, и Х! можно записать: !р Х,, = Ь„у„+ Ь„у„+ ... + Ь...у... + (12.33) Ь ... Ь Хрр Ьррурр + Ьроуро + "' + Ьрт — р Ур т р + + Ьр Ур + "'+ Ьрм Урм где Ь вЂ” некоторые коэффициенты; утт у — некоррелированные измерения, начинающиеся рт~ рт с номера 1=р и (=р (рис. 12.1); М*=М или М' =М вЂ” 1.
Из рнс. 12.1 видно, что каждое измерение у„коррелировано только с измерениями,у, , и у, так как интервал между ними меньше та. Поэтому, учитывая стационарность случайной функции ошибок измерений, можно записать 1 Эгтортг (Угт Урт) + ,'~' октар т — р Р (Утт Ур т — р) ттр т=о г . (12.34) м м* '«~ эо ~ эо ттр ттн Полагая, что на интервале „коэффициенты Ь практически не меняются, что соответствует предположению о несущественном изменении коэффициентов а;ь окончательно получим го — — г (Д? (р — г)) + г [тл — а? (р — г) ), (12.35) где рз! — шаг времени, через который следуют измерения.
Подставляя выражение для коэффициента корреляции (12.35) в выражение (12,32), после преобразований, учитывая, что из ?? выборочных оценок можно получить И(Я вЂ” 1) парных сочетаний, получим — = — (1 + 2 )г (тр) + г (т ) +...+ г (тя,)) ) = ~ар, (12 35) и р где 5 ) г(т)рйр и вычисляется по формуле трапеций. о Таким образом„при известной корреляционной функции ошибок измерений на основании выражений (12.36), (12.29) и (12.21) можно найти дисперсию оценок Хь получаемых пря 37? Рис.
!2.3. Оптимальный шаг измерений: о — виды корреляционных Функций тапи 1, И, П1, !Го б — соответствующие ии отношения дясперсий йт ~(0,1 —:0,2) вя (12.37) совместной обработке всех коррелированных измерений по схеме метода наименьших квадратов. Проанализируем полученную зависимость. Из формулы (12.36) видно, что эффективность оценок Х, по сравнению с оценкой Х;„зависит от вида корреляционной функции ошибок измерений и числа 7хх измерений на интервале та. Используя полученную формулу, построим график отношения В, сс= — для различных чиселгг =+ и видов корреляцион1г й ных функций ошибок измерения (рис.
12.3). Из рисунка виду гг) но, что дисперсии оценок Х; Д ПГ 1У меньше дисперсии оценок Хив полученных только по выборке некоррелнрованных и) измерений. Таким образом, одновре. менная обработка всех кор.са х' релнрованных измерений по схеме метода наименьших тй квадратов эффективнее статистической обработки выборки только некоррелированных измерений. Кроме того, из рис. !2.3 следует, что при уменьшез б т з а уз ю ут уа ху аэ в нии шага обработки М коэффициент с(, а следовательно, и эффективность оценок Хь быстро стремится к некоторому предельному значению, определяемому корреляционной функцией ошибок измерений. Причем при ве.
личине шага между измерениями дисперсия оценок Х; уже практически не уменьшается. Исходя нз этого, можно сделать вывод, что в указанном выше смысле такой шаг обработки и измерений является опти. мальным. Если шаг обработки больше оптимального, то мы существенно проигрываем в эффективности оценок, а если он меньше оптимального, то дополнительные затраты на обработку результатов измерений не ведут к заметному увеличению эффективности оценок.
Формула (12.36) несколько неудобна тем, что при одновременной обраоотке коррелированных измерений по схеме метода наименьших квадратов получаются оценки для дпс- 378 персий Вь а не дисперсии В;„необходимые для вычислений Вь Однако, используя формулу (12.36) и выражая дисперсии ВР через дисперсии В„можно получить следующую зависимость (12.38) где и=2 0,5+ ~ г(т); (т=Ы, 2У, ..., со). Из выражения (12.38) видно, что дисперсии В; и Вз совпадают только при некоррелированных измерениях, когда г(т) = =О.
Рассмотренный выше метод определения тяговых, расходных и аэродинамических характеристик ракет совместной обработкой коррелированных наблюдений достаточно общий. Такой же подход может быть предложен и для определения других параметров, перечисленных в $12.4, точность непосредственного определения которых невысока. Следует заметить,что применение метода наименьших квадратов является весьма эффективным для получения оценок параметров ракеты, которые непосредственно не могут быть измерены, ио связь которых с измеряемыми величинами известна. При рассмотрении метода оценки тяговых и расходных характеристик ракеты мы нигде ие оговаривали число камер двигателя.
Поэтому все полученные выше формулы справедливы и для многокамерных двигателей. При расчете статистических характеристик параметров С и Е (12.!1) мы находим суммарные для двигателя (ракеты) величины. Однако там, где в формулы входит случайная функция р„(г), для миогокамерного двигателя имеется в виду среднее давление р(1). Для простоты изложения далее индекс А будем опускать. Среднее давление для двигателя с и камерами может быть определено по зависимости Р (~) = — (Р, (Г) + Р, (Г) + ...
+ Р1 (~) + ... + Р„(Г)), (12.39) где Р;(1) — случайная функция давления в 1-и камере. Найдем вероятностные характеристики функции среднего давления р(1). В соответствии с теоремой о математическом ожидании линейной функции от случайных параметров математическое ожидание функции Р(1) имеет вид У3 и (г) = — ~~ тр (г), (12.40) /=! где т;(1) — математическое ожидание давления в )-й камере. 379 мулам (12.39) — (!2,48) найти вероятностные или статистические характеристики среднего давления. Для ракет с многокамерными двигателями, кроме рассмотренных выше функций тяги, секундного расхода топлива и лобового сопротивления, важной характеристикой нагружения конструкции является разность тяг отдельных камер ЬР(!).
Разность тяг п-камерного симметричного двигателя является случайной функцией только времени, так как величину г',рь(л) можно считать одинаковой для всех камер, На основании формулы (12.1!), учитывая сказанное выше, можно записать аР(г) = С(г) (Р~ (г) + Ри (г) + - + Лад (г) Риьцъ (г) — р„д+ (~) — - — рл(ф)] =С(1) Ьр(К) (124б) где Лр(!) — случайная функция средней разности давлений многокамерного двигателя. Для определения вероятностных характеристик функции Лр(Г) необходимо знать математические ожидания и дисперсии давлений в каждой камере, а также корреляционные моменты давлений в каждой паре камер, то есть те же вели- нины, что и для оценки среднего давленияр(!). По аналогии с выражением (!2.40) математическое ожидание функции Лр(!) имеет вид Аналогично выражению (12.41) можно записать зависимость для дисперсии функции Лр(!) л е>, (с)= а ХОрр(~)+2,~.' кд(г) (1248) В формуле (!2.48) корреляционные моменты имеют разные знаки, так как и входящие в функцию Лр(!) значения давлений имеют различные знаки (12.46), Для симметричного двигателя при одинаковых условиях работы камер (Ор, = В,, = ...
= Ор„и Км — — К„= ... = К,„п„): 0 (1) = —, (л0~, (1) — лКм(Г)] = ~ [! — Рм(1)]. (12.49) ! П„(г) 881 Соответственно среднее квадратическое отклонение этой функции имеет вид (12.50) Для двигателей с независимыми процессами в одинаково работающих камерах среднее квадратическое отклонение функции Ьр(1) определяется следующей формулой: ан (Х) ан (1) 1 М «~ )Гл ' (12.51) Сравнение формул (12.45) и (12.51) показывает, что средние квадратические отклонения функций р(1) н Лр(г) при независимых процессах одинаковы.
Для двигателя с зависимыми процессами .в камерах уве-' личиваются суммарные разбросы тяги и секундного расхода топлива, определяемые дисперсией средней разности давления В, (1) (12.49), (! 2.50) . Это видно из отношения средних квадратических отклонений функций р(1) н Ьр(1) е,(Г) 1/ 1+ (л П н(Г) в (г) Г 1 — рн (1) Для двигателя с независимыми процессами в камерах на основании формул (12.45) и (12.51) можно записать (12.58) 382 Рассмотренная выше особенность натруженна ракеты с многокамерным двигателем может быть объяснена н чисто физическими соображениями.
Случайное положительное отклонение давления в одной камере сопровождается одновременным повышением давления в остальных камерах, так как в двигателе имеет место положительная корреляция. При независимых процессах отклонения давлений в камерах чаще всего имеют разные знаки, поэтому суммарные разбросы меньше, а разность давлений больше. Следует также заметить, что, несмотря на большое увеличение дисперсии тяги прн зависимых процессах в камерах, абсолютные разбросы тяги в многокамерном двигателе всегда меньше, чем абсолютные разбросы в однокамерном двигателе с такой же величиной тяги, как в многокамерном. Действительно, если положить, что тяга Р, однокамерного и тяга Р многокамерного двигателей равны, то я р юр (12.54) 6р~ ая~ гй На основании зависимости (12.44) можно записать 4/ 1 + (н — 1) В, ~м Л Для независимых камер рж=О и тогда на основании выражений (12.55) или (12.45) получим я" Р ,С, )Гп ' (12.56) Анализ формул (12.55) и (!2.56) показывает, что с увеличением числа камер и уменьшением степени зависимости между процессами в ннх (рм) суммарные абсолютные разбросы тяги ракеты падают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
