Варфоломеев В.И., Копытов М.И., Проектирование и испытания баллистиеских ракет (1049210), страница 59
Текст из файла (страница 59)
В следующем параграфе будут изложены постановка подобной задачи н некоторые пути ее решения. й 1Я.В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЯГОВЫХ, РАСХОДНЫХ И АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК РАКЕТЫ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЛЕТНЫХ ИСПЫТАНИЙ Для определения характеристик рассеивания точек паде- ния, гарантированной дальности полета и выполнения проч- Збя Р(г, 6) = С(г) р„® вЂ” Е,р„(6); т (1) = Е (г) р„(т); Х (г, 6) = С, (г), г Р'„2 р» (6), (12.11) где р,(1) — случайная функция давления у переднего днища камеры двигателя; Ь' — скорость обдува ракеты; р»(6) — случайная функция атмосферного давления; Р, и Е, — площадь выходного сечения сопла и площадь мнделя ракеты; С(») и Е(1) — случайные функции коэффициентов тяги в пустоте и расхода топлива; а в скорость звука; 6 в показатель адиабаты воздуха.
На основании выражений (12.11) удельная тяга двигателя в пустоте (12.12) т. е. является также случайной функцией времени. Случайные функции С»(1), Е(1) и С(1) между собой слабо коррелированы, Поэтому для определения тяги, секундного 370 ностных расчетов необходимо знать основные силы, приложенные к центру масс ракеты в полете. Сила тяги Р(1, 6), сила лобового сопротивления Х(1, 6) и секундный расход массы т(1) являются случайными функциями времени 1 и высоты 6. Поэтому в ходе летных испытаний могут решаться две задачи: — определение оценок математических ожиданий и дисперсий искомых случайных функций по результатам серии независимых испытаний; — определение оценок реализаций этих функций и их дисперсий по результатам одного испытания. В последнем случае дисперсия оценок реализаций учитывает ошибки измерения и разбросы оценок из-за ограниченного числа измерений.
Поскольку определение реализаций искомых функций н величин после каждого испытания позволяет затем провести совместную обработку данных по серии, то рассмотрим ре. шение только второй задачи: В ходе летных испытаний не удается непосредственно измерить аэродинамические силы. В ракетах с РДТТ, кроме того, трудно измерить секундный расход массы. Поэтому перечисленные выше силы могут быть определены лишь косвенно. Эти силы можно представить в следующем виде: расхода массы, удельной тяги и лобового сопротивления ракеты достаточно найти статистические характеристики случайных функций С,(1), Е(1) и С(1). Искомые характеристики связаны известным уравнением движения центра масс ракеты тВ'= Р— Х, (12.13) где Ф вЂ” проекция кажущегося ускорения центра масс на продольную ось ракеты. После преобразований, учитывая зависимости (12.11), уравнение (12.13) примет следующий вид; = С (г) Рк (г) — ГаРх (и) —" Рм г 'Рз (Ь) Сх (г) (12.14) ,з Ь~ Р) 3С (~) = х, + х т + х 12 + ...; 3Е (1) = х + х,г + х „12+ „,; 6С~ (1) х~ + хам+11 + х~ ~.~/ + (12.15) Уравнение (12.14) с учетом зависимостей (12.15) может быть после преобразований сведено к линейному уравнению ~ ау(т) х = у (~), (12.15) /=1 где а,.(1) и у(т) — функции, определяемые по данным испытаний; хт — неизвестные величины; з — число неизвестных величин.
Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что все ошибки измерений сосредоточены в функции у(1). Как правило, измерения проводятся в дискретные моменты времени 1„1м ..., 1. (рпс, 12.!), Позтому в результате всех 371 где т, — стартовая масса ракеты. В ходе испытаний измеряются илн бывают известны из расчетов функции р„(1), Ф(1), рь(й), г'„(1), а(Г) и величины тО Ра Рм Случайные функции С(1), ЕЯ и С,.(1) могут быть представлены в виде суммы расчетных неслучайных значений и случайных центрированных функций ЗС(1), 3Е(1) и ьС,(1).
В свою очередь реализации зтих центрированпых случайных функций можно представить в виде суммы случайных величин н неслучайных функций вида: измерений можно получить систему из п так называемых условных уравнений (23]: ~~~ау,х =у, (1=1,2, ...,л). /=! Ошибки измерения параметров, входящие в значения у!, могут быть приведены к случайным стационарным функциям с нормированными корреляционными функциями следующего вида (рис. !2.2): г(т) = е (12.13) Поскольку ошибки измерений при испытаниях зависят от большого числа факторов, то на основании центральной предельной теоремы можно предположить нормальный закон нх распределения. В этом случае для обра- !А ботки опытной информации может быть применен метод наименьших квадратов (23), Однако возможность непосредственного применения это- и го метода усложняется коррелиро- Т ванностью измерений и большим объемом опытной информации.
Рас- коррелякнокнкя функция смотрим один из возможных путей ошибок измерений обработки коррелированных измерений. Выберем такой интервал тн (рис. 12.2), кратный шагу измерений, на котором корреляционной связью ошибок можно пренебречь. Выделим теперь нз выборки измерений у! только такие измерения уня (рис. 12,1), которые следуют через интервал кл, начиная с номера !=г. Поскольку такие измерения будут некоррелированными, то для их статистической обработки можно применить метод наименьших квадратов.
Если число независимых измерений больше числа неизвестных (М>У), то на основе системы М условных уравнений (12.17) для г-й выборки получим систему У нормальных уравнений вида м где А,,=,~', а„, а,„; л!=1 м ~'л,=.)~ам уг к!= ! (12.19) 373 Решения системы (12.19) имеют вид ,! :з', ( — 11'» и'л" ~'/г! !!=! Х(,—— Г (12.20) где Ь,— определитель матрицы [[А,,[[; М(Ю вЂ” минор матрицы [[А~у,[!, соответствующий элементу Аыт. Оценки Х;„для искомых параметров являются песмещенными и состоятельными. Кроме того, для своей выборки измерений д,.„они будут и эффективными, то ссть будут иметь наименьшую дисперсию.
Оценку для этой дисперсии можно определить по формуле м 12 ~; ~~, —.'ь' ,„,„„~! м,' !!!з т=! /=! д (м †./1 з! 1 Ъ Ч— Х,= —,ХХ„ г=! (12.22) Чтобы оценка Х была несмещенной, необходимо матет матическое ожидание приравнять истинному значению параметра, т. е. М [Хч[ = Х,. (12.23) На основании теоремы о математическом ожидании линейной функции коррелированных величин можно записать, что (12,24) Но так как оценки Х!„, полученные по «-й выборке, не- смещенные, то М[Х,,[ = Х, (12.25) 374 Однако нри такой обработке используется только часть измерений, следующая через интервал та (рис. !2.1).
Кроме того, первое наблюдение, определившее выборку ц взято произвольно. Все остальные выборки имеют практически такую же информативность. Для определения возможности использования всей опытной информации рассмотрим среднее арифметическое коррелированных оценок Х;„для 1'-го неизвестного: где А„у=„)',а„а;,; !=! » )'» = »„, а»; уь составленной с учетом всех и условных уравнений, совпадают с оценками Хь полученными осреднением выборочных оценок по формуле (12.22).
Решения системы (12.26) будут иметь вид 3 ~ 1 — 11»"' л1!»!»У» »=! Х = ! (12.27) Ь У где Л вЂ” определитель матрицы !!!А»1 ~|; Л (!»!э — минор матрицы з А» ~!, соответствующий элементу А»ь Сравнивая выражения (12.26) и (!2.19), получим А», = ~'„А»,э; (12.28) т. е. элементы матриц йА» ~) и (! )'»(~ являются суммами элементов матриц ))А»7,!! и 1!)'»!!!.
Предполагая, что коэффициенты а„незначительно изменяются во времени, на основании выражения (!2.!9) с точностью до одного слагаемого при различных г А»»э=сонэ(, т. е. (12.29) 375 А», = 1сА»!э. На основании выражений (12.24) и (12.25) условие (12.23) выполняется, т. е. среднее арифметическое коррелированных оценок является несмещенной оценкой искомых величин. Чтобы избежать необходимости составления и решения )г систем нормальных уравнений (12,19), расслютрим в()зможность одновременной обработки всех и коррелированных измерений. Можно доказать, что оценки, полученные при решении системы нормальных уравнении 1А„,Х,= У„ /=! Тогда на основании выражений (12.20), (12.22) и (12.28) получим: ~я~ 1 — 11~+!М',"Л У„, — 1 А=! Х;=— У Л Ьг к=! ~ ( 11(4+/>М!зл У„ (12.30) что соответствует формуле (12.27). Таким образом, обрабатывая одновременно всю опытную коррелированную информацию по схеме метода наименыпих квадратов, можно получить несмещенные оценки Х, искомых параметров.
Чтобы применять такой способ обработки на практике, необходимо убедиться в эффективности получаемых таким путем оценок. Другими словами, нужно показать, что дисперсия Рз оценок Х,: всегда меньше, чем дисперсия Р;„оценок Х;„полученных только по выборкам некоррелированных измерений. На основании выражения (12.22) и теоремы о дисперсии линейной функции коррелнрованных случайных величин можно записать, что п,= — '~2а„!.!~к„~, !!ич 1.г=! г<! где К,, — корреляционные моменты оценок Х;„ и Х „. » — символ суммирования всех парных сочетаний корк=р реляционных моментов при г<р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
