Блейхут Р. - Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов (1044113), страница 30
Текст из файла (страница 30)
кд) . (аг — Ьд) — х (ад .!. Ьс) Умножение имеет ту же гтруктуру, чта и комплексное умножение; на саыам деле рассматриваемое кольцо «вляется полем Зто вы- текает из следугоцгей общей жоремы Т еорема 3.3.3. Ка ьиа миагачггисе ла модулю ираггдгииаза м щочзгиа р (х) яллщтсл щлгм вгагда н нале ю тогда, кмда мнщо.
член р (х! лрасаг '). Даказатехлсюео Пусть мпога«лен р (х) прост с)тоблы доказать, что рагсмвтривасмое колыга образует нале, дос~аточно показать, что каждын неиулевон элеыент выест млльтипликативный обрат. ный. Пусть з(х) — некоторый ненулевой элемент кольна Тогда дейв (х) ыц бей р (х). Так как мнагочлен р (к) прост, то ПОД В (х), р (х) ! --. 1.
Согласно следствию 2.?.у, 1= а(х) р(х) 1-Ь(х)з(х) для некоторых многочленов а (х) и Ь (т). Следовательно, 1 У, ы, (1! =. )(, а~ (а (х) р (х) д Ь (х) з (хй =: Я„()(Ь(х)) й ()(з(х))= К ~ г(6(х))5(х) Таким образом, в кольце маогочленов по модулю многочлена р (х) мнагочлен Г(, <а !(т (х)! является мулыипдикативным об. ратным к з(х) Теперь предположим, что много~лен р (х) не прост.
Тогда р (х) — г (х) з (х) для некоторых г (х) н з (х). Если кольцо явля. ется палим, то многочлен г (х) имеет обратный г ' (к), и поэтому я(х) — К,ги (з(г)! = К,,а(г. '(х) г(х).зщД = =. К, за (г ' (х) р (х) ! — О. ;)о з (х) чь О, и мы получаем противоречие. Слеловательно, такое кольцо не мажет быть полем. Теорема описывает один нз способов построения поля камвлекс.
иых чисел С как расшнренвя поля вещественных чисел;:. Так как многоютев»з -, 1 является простмм над полем вещественных Н шз г». ь ! р л ггг сэ ии г» тюэн» пати чисел, то и можно расширить до множества (а -1- Ьк), где а и Ь вещестзег г, адавая ложен е и умножение по модулю х'+ 1. Тогда (а ф Ьх) (с ф йк) = (аг — Ьй) 1 (ай -1- Ьс) к, (а -1- Ьх) ф (с -1- йх) = (а -1- с) -1- (Ь + й) к. Эти формулы будут более привычны, если вместо к поставить 1: (а ' (Ь) -1- (с -1- )д) = (а -1- с) -1- ) (Ь -1- й), (а -1- 15) (с ф 14) == (ас — Ьй) -1- 1' (ай -1- Ьс) Эт же самая конструкция чажег быть использована для расширь вия любога поля, пал которым миогочлен х -1- 1 просюй Танин полем валяется, например, 6Р (7), и ега можно расширить до поля 6Р (49) точно так же, кзк поле вещественных чисел да поли камалексных чисел, чта и было формально проделано перед до- назательствам последней теоремм. С другой стороны,мнагочлен х' -1- 1 не является простым мно.
гочленам иад полем 6Р (5) и не может быть использован для его расширения. Чтобы состроить расширение 6Р(25) пачя 6Р (б), вада воспользоваться ьгно~о ~ленам х* -1- к -1- 1, который является простым над 6Р (5) При этом модуле правила умножения прио бретает вид (а ф »Ь) (с ф хй) = (ас — Ьй) -1- х (ий 4- Ьс — Ьй). Умножение в этом поле отлична от уываження в намплекснам псле Умна;кение всегда будет задаваться этим правилом, если аале 6Р(р') получается кан расширение поля 6Р (р) с помощью мвогочлена х' -1- х ф 1, н такОе расшврение всегда возможно, если х' - х -1- 1 является простым над 6Р (р). В гастности, этот многа глен можно использовать при расширении 6Р (2) до 6Р (4). 5А.
Минимальные ыногочлены н сопряжения Элемент некоторого поля может быть корнем многачлсна, козффициеяты коюрого прзнздлежат некоторому меньшечу полю. Если элемент ивляется корнем хотя бы одного т»като многачлена, та с ним оказывается связанным один специальный многочлсн, представляюгипй особый интерес. Определение 5.4.1. Пусть Р— некоторое пале, а элемент принадлежит некатароыу расширению паля Р. Ь(инимагьным мласаыенам ) (х) элемент» Ь над полем Р назыыется ненулевой приведенный чиогочлен наименыпей степени, такой что коэффициенты его принадлежат освовнаму полю Р, а элемент Р является корнем. ~вз , 1инимальный мнагочлен над полем Р существует не для всянога элемента расшнреция — элементы вещественного поля, не имеющие минимальных многочленаз с рациональными коэфф»- циснтами, называются трансцендентными числами — на если для даинага элемента минимальный мнагочлен существует, та ов едвнственен.
Действительно, если Рн (х) и )гп (к) оба являются нинзмалышми ыногочленами элемента Р, то онн обз приведенные, имеют одну и гу же степень и Р является нх корнем. Тогда многачлен 7 1х) —.. Рп (х) — )а' (к) имеет иеныпую степень и Р яв. ляется его корнем. Следовательно, 7 (к) = О и )нг (х) равен ("> (к) Теорема бл.2. Каждый минимальный мнсгачген яггяепкя единстггнним и простым Ес и ) (х) — минимальный лнагачген элемента Р, а й (х) — некоторый миагачгг, дгя кс грига Р яи ляется корнем, то ) (х) аегшп й (х). Доказательство.
Елинстеенность минимального мноючлена мы уже доказали. По определению многочлен 7 (х) явлнетсн при. .«дсннмм, Предположим, ч. и 7 (х) раэлагаетси в произВедение двух многачленон, ) (х) = а (х) Ь (х). Тогда 7 (й) а (Р) Ь (1)) = О, так что катя бы один из многочленав с (х) н Ь (к) имеет степень, мень. шую чем степень 7 (х), н элемент Р служит его корнем. Следова- тельно, минимальный многочлен являетс» простым.
Для доназательства второй части теаремм запишем й (М =- 7 (х) Ь (х) + (х). Степень многочлена а (к) меньше степени ) (х), так что я (х) не может иметь элемент Ь своим корнем. Но О = й (Р) = 7 (Ь) й (р) ф . (Р) = , (Р), так что многочлен а(х) равен нулю, и теорема донаэана () Каждый элемент Р поля Р имеет над Р минимальный много. ~лен первой степеви, равный 7(к) = к — Р.
Если элемент 11 не принадлежит полю Р, то степень ега минимального многа глена равна дзум или больше Следовательно, минимальный мвагачлен может иметь н другие карин Но тогда минимальный мнагочлен элементе Р является минимальным многочленом и лля других, отличных от Р, элементов. Определение 5.4.5. Двв элемента некоторога расширения паля Р, имеющие общий минимальный миагочлен над Р, называются гспряж иными (относительно Р). В общем случае один элемент мажет иметь более одного сопря- женногс элемента,яа самом деле столько, какова степень ега ми- нимального мнагочлена Подчеркнем, по отношение сопряжен- 55.
Кртюэн»еп лены 155 1И Гг. 5. т р лгеоры ры ислен ности двух элементов зависит от основного пол» Два элемента помплекснаго поля могут быть сопряженными относителыга поля рациональных чисел, но не быть сопряженными относительно поля вещественных чисел.
Например, минимальный многочлен над О комплексного числа (у 2 равен х' — 2, а над и равен х* ф у 2 Множество сопряженных с ) г 2 элементов, содержащее этот элемент, относительно поля О равно (рг2, — т 2, ) г' 2, †) ~ 2), а относительно поля и равна ((р'2, †(рг2!. 5.5. Круговые многочлены Над произвольным полем У можно выписать разложение мно. гочлена х" — 1 в произведение его простых делителей. х" — 1 = р, (х) р, (х) ... рк (х). Если Р— поле рапиональных чисел, то просты» делители нахо.
днюя сравнительна легка Оии представляют собой многочлепы, «огорые даются следующим определением. Определение 5.5.1. Над произвольным полем Р для каждого н «дуговой лногоюып определяется равенством Ц (х) = П (х — и'„), иод и. где и„равно парню ') степени л из единицы в некотором расши. ренин поля Р. Главным образом вас будут интересовать «руговые ивогочлены , над полем рациональных чисел (1. В этом случае и, = е Г'"г" принадлежит полю комплексных чисел, а для и< )55 коэффи.
циентами круговых многочленав являются — 1, 0 или + 1. В достаточна большом расширении поля Р— для поля рацио. нальных чисел таковым является «омплексное пале — многочлен х" — 1 может быть разложен в виде — г х" — 1 = П (х — ы'„), г а и\е и„ вЂ” корень степени и иэ едивипы.
Следовательно, каждый ируговой многочлен можно иыразить в виде произведения неко. торых из этих линейных множителей. Определение кругового многочлена спепиально построено так, чтобы все его каэффипиенты были рациональными. и/ При малмх л круговые многочлены можно легко «ычислить, разлагая мвогочлен х" — 1. Очевидно, что (1, (х) = х — 1. Для выяснения общей ситуации найдем несколько началаных миого- членов. Пусть л =- 2. Тогда ** - 1 = ( - 1)( + 1) =- Е,(х) О.
(х) Пусть и = 3. Тогда х' — ! =- (х — 1) (х' -'; х + 1) = От (х) ГУ, (х). Пусть л = 4. Тогла сг 1 (х 1) (х ! !) (хз 1 !) От (х) ггг (х) ! г (х)' Отметим, что на «аждом ажге папвляется только один новый множитель. Пусть н =- 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
