Интересная задача (УСЛОВИЕ ИЗ ФАЙЛА СПИСАТЬ) (1035179)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задача. Представим себе шахту, пронизывающую земной шар по одному из его диаметров. За какое время тело, брошенное вэту шахту, достигнет центра Земли? Сопротивление движению отсутствует.Решение.1. Прежде всего, надо найти силу, которая действует на тело во время полета. Это гравитационная сила — Земля действует натело силой тяготения. В случае притяжения для двух материальных точек эта сила вычисляется так:F =Gm1m2r2(1)(m1 и m2 — массы притягивающихся точек, r — расстояние между ними, G — гравитационная постоянная ≈ 6,67⋅10-11 Н⋅м2/кг2).Однако в нашем случае Земля, внутри которой летит тело, никак материальной точкой считаться не может.

В такой ситуациинадо мысленно разбивать Землю на материальные точки, находить силы, действующие на тело со стороны каждой такой точки,и складывать. Подобные задачи решаются с помощью интегралов, но в нашем случае без этого можно обойтись.Можно заметить, что формула гравитационного взаимодействия двух точечных масс (1) имеет точно такой же вид, как формулаэлектростатического взаимодействия двух точечных зарядов (закон Кулона):F =kq1q 2r2Роль масс m1 и m2 здесь играют модули зарядов q1 и q2, а вместо гравитационной постоянной G константа k ≈ 9⋅109 Н⋅м2/Кл2.Получается, что все выводы, полученные относительно взаимодействия зарядов в электростатике можно применять кгравитационному взаимодействию масс! (Только надо учитывать особенности в направлении сил: гравитация — это всегдапритяжение, m1 и m2 — положительные числа, тогда как электростатическое взаимодействие может быть и притяжением иотталкиванием)Рис.

1+В электростатике доказывается, что внутри равномерно++Равномернозаряженной сферы напряженность электрического поля,заряженная сферасоздаваемого зарядами, лежащими на этой сфере, равнаq++нулю. Т. е. суммарная электрическая сила, действующая наточечный заряд, помещенный внутрь сферы, со стороныСуммарная сила, действующая на этот заряд созарядов, лежащих на сфере, равна нулю. (Если сфера++стороны зарядов, лежащих на сфере, равна нулю заряжена равномерно.) Доказательство можно провести с+помощью теоремы Гаусса или просто путем суммированиясил, действующих со стороны бесконечно малых площадок.Так вот, этот факт справедлив и для сил тяготения: гравитационная сила со стороны массивной сферы на тело, находящеесявнутри этой сферы, не действует.Зная это, можно легко вычислить силу, действующую на тело массой m, находящееся в шахте на расстоянии x от центра Земли(см.

рисунок 2).ХПредставим себе сферическую поверхность радиуса x с центром в центре Земли(наше тело m лежит на этой поверхности). Такая сферическая поверхностьразбивает Землю на шар радиуса х, находящийся внутри данной поверхностиm(желтый шар на рисунке), и внешнюю сферу (синяя штриховка на рисунке).Внешняя (заштрихованная синим) часть Земли состоит из сфер, для которыхтело m находится внутри и гравитационная сила со стороны этих сфер на тело mxне действует. Получается, что сила тяготения действует на тело m только соОстороны внутреннего шара радиусом х (закрашенного желтым на рисунке).Найдем эту силу по формуле (1) – формула справедлива не только для двухматериальных точек, но и для двух шаров (m1 и m2 — массы шаров, r —расстояние между их центрами)Рис.

2В этой формуле выражение ρ4mρ πx 343F =G= Gmρπx2x3(2)4 3πx — масса шара радиусом х, к которому притягивается тело m (ρ - плотность3вещества планеты, (4/3)πx3 — объем шара).Из формулы (2) видно, что на тело, падающее в шахту, действует гравитационная сила, направленная к центру планеты,и пропорциональная расстоянию х до этого центра. То есть, чем дальше тело падает, тем меньше сила тяготения.

Когда телобудет пролетать через центр планеты (х = 0) сила тяготения на мгновение обратится в ноль, а затем станет возрастать по мереудаления от центра (пропорционально расстоянию x до этого центра).2. Теперь, когда мы знаем величину силы, действующей на падающее в шахте тело, подумаем, как можно найти времядвижения до центра. Формулы, позволяющие найти время движения, относятся к разделу «кинематика».

В этом разделе физикивыводятся формулы, связывающие путь, скорость, ускорение и время для разных типов движения (у каждого типа движениясвои формулы, поэтому сначала нужно понять какой тип движения происходит в нашей задаче). Школьникам положено знатьтри типа движения:равномерное движение (по прямой или по окружности);движение с постоянным ускорением;гармоническое движение (когда координата тела меняется по закону синуса или косинуса).Движение тела, брошенного в шахту, явно не равномерное (модуль скорости меняется). Ускорение в этом движениитоже не будет постоянным (по второму закону ньютона a = F/m, а равнодействующая сила F в нашем случае меняется поформуле (2), убывая по мере приближения к центру планеты).А вот гармоническое движение подходит.

Действительно, в гармоническом движении координата тела меняется позакону x = A⋅cos(ωt + ϕ0). Возьмем вторую производную по времени от этого равенства (вторая производная координаты ранапроекции ускорения x′′(t) = ax)x′(t) = − ωA⋅sin(ωt + ϕ0)x′′(t) = − ω2A⋅cos(ωt + ϕ0) = − ω2xxВидим, что в гармоническом движении проекция ускорения пропорциональна координате: ax = − ω2xТа же ситуация в нашей задаче.

Записав второй закон Ньютона для тела, падающего в шахту, получим:ax = Fx /m = − (4/3)GρπxВывод: падающее в шахту тело совершает гармоническое движение с циклической частотой ω = ( 4 / 3)Gρπ .К такому выводу можно прийти и иначе. На тело, падающее в шахту, действует сила, пропорциональная расстоянию x доцентраF = kx(это формула (2), где буквой k обозначено k = (4/3)Gmρπ)Такая же сила действует на груз, прикрепленный горизонтальной пружиной жесткостипружина недеформированаkк неподвижной стенке: F = kxk2Получается, что движение камня, брошенного в шахту, от поверхности (x = R) до центраЗемли (x = 0) аналогично движению груза на пружине (рис.

3) из отклоненного положенияОХ(«1» на рисунке 3) в положение равновесия («2» на рисунке 3). И в том и в другом случаедвижение происходит под действием силы F = kx, сонаправленной с вектором скорости.F = kx1Это движение колебательное, происходит по гармоническому (т. е. синусоидальному)закону. (Тело в шахте тоже будет совершать колебания: пролетит Землю насквозь, потомХОполетитобратно и т.

д.)xРис. 3Время движения груза на пружине от положения «1» до положения «2» равно четвертипериода колебаний: t =T π m. Точно так же и время движения тела до центра Земли равно четверти периода колебаний:=4 2 k3T π m π(3)t= ==4 2 k2 4GρπЗдесь вместо k подставлено k = (4/3)Gmρπ.3. Если мы хотим получить в задаче числовой ответ, то надо знать среднюю плотность Земли ρ. В таблице из учебникаастрономии можно найти эту величину: ρ = 5,5⋅103 кг/м3.Можно вычислить плотность Земли, исходя из ее радиуса R = 6370 км (он есть в учебниках и задачниках по физике) иускорения свободного падения g = 9,81 м/с2.4ρ πR 3M43gкгg = G 2 = G 3 2 = Gρ πR ⇒ ρ =≈ 5,5 ⋅10 3 3RR34GπRмПодставим эту плотность в формулу (3) и получим окончательный числовой ответ: t ≈ 1267 с.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов вопросов/заданий