Айвазян С.А., Бухшгабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. - Прикладная статистика (1027378), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Тогда (!9.53) примет вид: л О (д) = ~ ~Ь(у — О'Х;, Ь(и». (19.54) 1 В качестве оценки функционала )у' (О, дв (у)) можно взять функционал л л' (6) = — ~лР !окав(6, Х~) =!пав л ал 1 л л + ~ 1оа Я Ь(6'(Х вЂ” Х,); Ь(6' ХД). 4=1 1=1 Решив теперь задачу: найти зги птах й' (6). (19.55) в ПолУчаем оценкУ длЯ Ом и, следовательно, им (У). Дла завеР- ~пения шага осталось построить выборку Х"и = (Х1м, ..., Х,щ, и) из распределения !и (Х).
Воспользуемся следующим общим фактом [231[, [258[. Пусть !» (Х) и (, (Х) — плотности распределения рмерных случайных векторов; Х = (Х„..., Х„) — выборка из распределения !» (Х). Тогда если г (Х) = !, (Х)!!, (Х)— ограниченная функция, то следующий алгоритм просеивания позволяет получить из выборки Х выборку Х из распределения !,(Х).
Положим у -= гпах г(Х). Пусть (и» ..., ия) — выборка х из равномерного распределения на интервале [О, П. Тогда наблюдение Х~ Е Х включается в Х, если ид < г (Х~), и выбрасывается из рассмотрения в противном случае. Из (19.49) и (19.51) теперь получаем: !м(Х) ! (В Х) ! (д) 1„, (е„д) Взяв согласно (!9.54) в качестве оценки функции г (Х) функцию ям (6' Х) = — Ъ' |г(6'(Х вЂ” Х»); й (6' Х)), при помощи описанного выше алгоритма просеиваем выборку Х"и-' из распределения !и, (Х) и получаем выборку Х"и из распределения !ч (Х). Таким образом, М-й шаг процедуры описан.
В качестве начальной плотности 1, (Х), если нет дополнительной информации, обычно берется р-мерное нормальное распределение Ф (а, В), где а и Х вЂ” оценки по выборке Х<"~ среднего значения и ковариационной матрицы. 19.8.2. Вычислительная томография и прикладная статистика. Термин «томография» (томо — сечение, слой; графия— описание) возник впервые в рентгенографии в начале нашего века и относился к восстановлению плотности сечения !и (Х) по ее проекциям аналоговым способом. В общих чертах схема рентгеновской томографии следующая [152[. Пусть  — некоторое тело, например голова пациента, и ! (Х) — плотность зтого тела в точке Х Е 1«». Если на В вдоль прямой $ направить тонкий пучок рентгеновских лучей, то измеряемую величину 1ой !»1! можно с приемлемой точностью считать равной интегралу от ! (Х) вдоль прямой 3, где 1, и ! — интенсивности пучка до его попадания на тело В и после его выхода из В соответственно. Заставив источник рентгеновского излучения и детектор 520 восстановить плотность сечения 7»»(Х), по ее проекциям)п (у, 0,,), ...
7п (у, Ом), точнее, восстановить (п (Х) по массиву данных Цп (уа, О„,), й = 1, ..., К, »» = 1, ..., »»"). (19. 56) Аналоговый способ давал такУю оценкУ 7»» (Х), котоРаЯ не всегда позволяла с необходимой точностью решить основную задачу. Только соединение устройства для получения проекций )п (у, О ) с ЭВМ и создание соответсгвующего математического обеспечения по»волило решить зту задачу с нужной для прикладных целей точностью. Рождение вычислительной рентгеновской томографии относится к началу 70-х годов.
В настоящее время вычислительная томография — область научной и прикладной деятельности, в которой, с одной стороны, изучаются способы получения проекции ~,» (у, О) на основе того или иного способа взаимодействия проникающего излучения (не обязательно рен»теновского) с телом, а с другой стороны, развиваются методы и программно-алгоритмическое обеспечение решения задачи (19.56). Рассмотрим следующую статистическую задачу: пусть имеется набор выборок Г" = (ум,..., у.,),, У™ = (у,м, ", у.мм) одномерных наблюдений. Восстановить плотность | (Х), Х Е Р', если известно, что )'" — выборка из распределения ) (у, 0,„) для каждого и» = 1, ..., М, О„, Е йг, 110„11 = 1, где 7(у, О„)= ) 7(Х)б Х «19.57) Задача (19.57) тесно связана с задачей томографии (!9.56).
Действительно, если дана выборка Х" = (Х,, ..., Х„) р-мерных наблюдений, то, положив г"' = (О„', Х,,..., двигаться так, чтобы соединяющая их прямая с находилась все время в плоскости П, получаем возможность измерить проекции~ Гп (у, О) плотности сечения )п (Х) гела В плоскостью П, где Π— направ»ение, ортогональное $ в плоскости П.
Технические возможности рентгеновского томографа позволяют для фиксированной плоскости П получить достаточно большой набор проекций )п (у, О,), 7(у, Ом). Ясно, что на самом деле измеряется не функция (»» (у, О,„), а набор ее значений !»» (у»„О ), й = 1,, К. Основная задача томографии: Так как !»(у, В ) является плотностью распределения, то из (19.58) следует, чы> !" (" (Х)д Х 1 для всех Г Е 1, (т). Обозначим через и„, ортогональный проектор из Л., в 1 (т).
Напомним, что, по определению, >т (Д = ага пнп ) ~ — Ц~'. 5»Е М>> Оператор пм задается формулой „а(х)=):(х) + ~7.(в;„х, в,„) — 7(в' х, в)) х !1(х', г>) я(в х. в„) ' (19. 59) где )т (Х, р) — равномерное распределение в шаре х) радиуса р. Используя операторы и, можно для любого („Е Е, построить последовательность >ге 6=и>)е» " 1~=и~>г»>-» (19.60) где и, = н „если и> — т, делится иа М, которая будет сходиться к решению следующей задачи: 522 В' Л„), оказываемся в условиях задачи (19.57) для любо~о набора направлений В,, ..., Вм. С другой стороны, если даны выборки У"м, и> = 1, ..., М, то, восстановив по выборке у' плотность ( (у, В„,), оказываемся в условиях задачи (19.56). !9.8.3.
Алгоритм восстановления плотности по ее проекциям иа основе принципа минимальной вариабельности. Опишем > еперь и >вес> ныи ал > орнтм из л>атематическог о обеспечения >омографпи !162! как алгоритм восстановления многомериои плотности 1„(Х) по ее одномерным проекциям у, (д, в,), ...,~. (у,в„).
В >омографин, естественно, рассматриваютси только плотности, сосрс >оточенные в ограниченных областях, позтому будем считать, что )» (Х) обращается в б вне п>ара О с )г>'. Обо ничим через !.> (О) !., гильбертово пространство функции )' (Х), Х Е й», ( Р (Х) бХ = !!!>!)><'оо о со скалярныл> произведением (г>, ).,) .-- ( 1> (Х) (х (Х) г(Х и о через (., (и>) с: 1, подпространство функций, таких, что ! (д, В„,)= )1(Х)б(В' Х вЂ” д)>(Х=-)ч(д, В„). (!9,58) Ь найти ) (х) - агй пнп (() — )„1>. (19.61) )( ))«., лу] ''Решение задачи (19.61) и берется в ко пес гве оценки плотности ) (Х) с данны>и проекциями ! (!), О,), ..., ! (!)<, Ом).
Испо.)ьзуя явную формулу (!9.59) для проектора и„„ пол)чаем из (19.ой) описание алгоритма построения опенки ) (Х). В качестве начального приближсшп) )„(Х), если нег дополнительной информации, обычно берется равномерное распределение Й (Х: р) В этом случае получается опенка (Х), которая среди всех ! с (1 ! а ()и) имеет наименьшую ! вариабельность, т с.
доставляет минимум функционалу ФИ 1 )>(( Х на () 1, (и)). 'в ) И( (19 59) и (19.60) следлет )„,,--и„,)„,,|(>= ~(К(О;„Х, О„,) ~„,,(О;„Х, О„,))'х )1(~ (')- бХ г (' (!.О), а„) — 1,— <я а,!)" б, )< (в;„х, О„,) .) )(<)) О ! где < == сопя!. Такпл( образом, можно исполыовать аргументы целенаправленного проецирования для получения более быстрой модифпьапнн описанного алгоритма, Положим и В(О !) Г (!.В). О„) — ((», в„,!)' (19,62) )( (в, в„,! Пусть уже построены приближения )„, !),, (л. Взяв функционал г' (0„„1„) в качестве критерия выразительности проекции )', Ь, О„,) относительно приближения )л, найдем )и ()г) = агя шах г (О„„!),) )к>ачм и (ададим следующее приближение формулой )д.„, (Х) = = и <ю ))л (Х).
3 а м е ч а н и е. Функционал (19.Г>2) можно использовать в ра(ведочном апачи(е для нахождения выразитсльныл проекций данной выборки Х<") = (Х, „, Х„) р-черных наблюдений, считая /<-й ио важности выразительной проек- 623 цией проекцию (9„'Х„..., О~Х„), для которои оценка функционала р (О„, 1„>), й 'Л-. ! достигает своего максимального >начения. Таким образом, решая задачу восстановления плотности по выборке ука>анным выше ал>оритмоч, по ходу по.>учения оценок плотности )»„ будем получат>, и соответггвующие выразительные проекции 19.8.4.
Алгоритм восстановления плотности по ее проекциям на основе принципа максимума энтропии. Пусть Г' (у, 6>), ..., г„(у, йм) — - данный набор одномерных проекций искомой многомерной плотносги )', (Х) Обозначим через Ь~~ пространство плотностей ! (Х) в В и через >.> (т) ~ >.; — подпрострапство плотностей г" (Х), таких, что г (у, 9,„) = ~ ! (Х) б (9' Х вЂ” у) йХ = г, (у, 9 ), п Здесь, в отличие от п. 19.8.3, можно считать В неограниченным подмножеством в КР, в частности, В может совпадать с В основе конструкции алгоритма из п.19.8.3 лежит геометрия гильбертова пространства Ь,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
