Оптико-электронные измерительные системы на основе квази-распределенных волоконно-оптических брэгговских датчиков (1025511), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В отсутствие модуляции показателя преломления в ОВ функция 'Р должна удовлетворять скалярному волновому уравнению (так как в отсутствие модуляции показателя преломления, Ь,~(г), Ь |(г)- являются константами): 2 2 ( — + — + й й (х„у) - Р )Ч' = О д д 2 — г 2 д 2 > (1.31) где й(х,у) - распределение показателя преломления в плоскости ХГ в отсутствие модуляции показателя преломления, 1=2 кй; волновое число.
Электрическое поле на участке ОВ с модуляцией показателя преломления описывается волновым уравнением вида: ( —,+ —,+ —,+1 й (х,у)) Е=О, дх' ф' дг' (1.32) После подстановки (1.30) в (1.32) и, используя (1.31), получим: дг дг — (Ь„ехр(!' )3 г)+Ь, ехр(-ю',В.г)) Ч>+()3~+1'.(и-й'))х х(Ь„.ехр($ р г)+Ь, ехр(-1 ° р г)).'Р =О, —.+ 1'+('Р +ж и и(г)) (В, +В,) =О, д'В„д'В, (1.34) где П(г)- коэффициент связи, определяемый следующим образом: Р(г) = —. П(п -и )Ч' Ых>3уl ОЧ' ЫхИу, (1.35) Данное уравнение может быть представлено в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка: Если обозначить В ~=Ь+г(г).ехр(1 Щ и В-> = Ь >(г) ехрЯ3.г), домножить на Ч', то после интегрирования по всей плоскости ху, получим: 34 дВ„ — '- ю' ф+ й) В„= У' В В „ г дВ, ' + ~' ф+ Е)) В, = ~' В В„ дг (1.36) В случае если модуляция показателя преломления отсутствует (и=й), коэффициент связи равен нулю Р=О, решения системы тривиальны и имеют следующий вид: В,~(г)=Ь,н ехр(Ерг) и Вг(г)=Ь!ехрф3г), где Ь ~ и Ь|- константы, Отсюда можно сделать, вывод, что в отсутствие модуляции показателя преломления вперед и назад распространяющиеся и(г) = и +Ли соя(2тс.г /Л+0(г)), (1.37) где Л- период решетки.
Откуда: и - й~=2и Ьи соя(2лгlЛ+0(г))+ (Ьи. соя(юг/Л+0(г))) (1.38) Наведенный показатель преломления много меньше исходного показателя преломления (Ьи«и), поэтому ® и - и =2 и Лисок(юг!Л+0(г)) 2 2 (1.39) В работе [191 показано, что коэффициент связи Р(г) можно представить в следующем виде: .2к,2л .0(г) = к(г) ехр(+~ — г)+ к*(г) ехр( — ~ — г)+ о(г) Л Л (1.40) где к(г) и к~(г)- комплекснозначные функции, о(г)-действительная функция Заметим, что к(г), к~(г) и о(г) — функции, изменения которых на отрезке, равном длине волны, пренебрежимо малы.
фундаментальные моды не могут обмениваться энергией и распространяются без взаимного влияния. При наличии модуляции показателя преломления интенсивности вперед и назад распространяющихся мод связаны коэффициентом связи Р, В волоконных решетках наведенный показатель преломления изменяется по косинусоидальному закону, так что распределение показателя преломления вдоль оси к примет вид: 35 С целью упрощения системы уравнений, удобно обозначить функции, определяющие амплитуду поля, через функции и и ч с помощью следующего соотношения: Ь,(г) = и(т) ехр(+г'.— х) ехр(+ф(т')Ыг') .
2т о . 27т Ь (т) = у(я) ' ехр( — ! — я) ехр(-1 ~ оу(т )оЬ ) Л о (1.41) После подстановки (1.41) в (1.36) получается следующая система уравнений: ии — =+~ би+д(т) ч, ой оЬ вЂ” =-~ Й>+до(г) и й (1.42) где О=р-А/А- разностное волновое число, а дф- модифицированный коэффициент связи, определяемый в новых переменных, как: д(т) = ло(г) ехр(-2т')ст(г')ой', о (1.43) Функции 6~ф и Ь-!ф не зависят от константы распространения Р" и частоты, а переменные и и ~, можно трактовать как пронормированные функции поля, отличающиеся только фазовыми членами. Так как разностное волновое число 6=0 в окрестности брэгговской длины волны 16=2л,~~.
А то функции мах), т ® и д®- медленно изменяющиеся, то есть, их изменениями на участке равном периоду Л можно пренебречь. Если изменения показателя преломления имеют место только в В(г)= — (л — л ) л 2й (1.44) или для модифицированного коэффициента связи ц(к): л л Лл(г) Х (1.45) сердцевине оптического волокна (что фактически соответствует действительности), и более того, если допустить что решетка имеет постоянный период, тогда исходный коэффициент связи 1)(к): где ~1- часть оптической мощности, которая распространяется в сердцевине оптического волокна.
В работах по теории оптических волноводов, например в [20~ указывается, что величина и для слабо направляющих волноводов может быть определена следующим образом: (1,4б) где К- нормированная частота отсечки, определяемая по формуле: Р =( — ).а. (л -и, ). 2л (1.47) Любое решение функций п(г) и ч(г), системы уравнений (1,42) должно удовлетворять граничным условиям. Так для решетки, расположенной на отрезке О< г <Ь, с учетом граничных условий и(0)= 1; ч(1) =О; (1.48) можно определить коэффициент отражения г(б)=ч(0) и коэффициент прохождения Щ=в(Ц.
В работе 12Ц предложено рассмотрение системы (1,42) для двух случаев: 1) д(г)=0- решетка имеет маленький коэффициент связи и большую длину (предложено использовать это приближение для решеток с коэффициентом отражения менее 40% и длиной более 1 м); 2) фг) =соигг- для решеток с постоянным периодом и с конечной сравнительно малой длиной Ь (коэффициент отражения более 40%). Решетка с малым коэффициентом отражения слабо влияет на распространяющиеся волны, В пределе д — > 0 решения тривиальны п(г)=во ехр(-1 б г) и ч(г) =чо ехр(1 б г). С учетом граничных условий (1.48) получаются уравнения и(г) =ехр(-1 о:г) и ч=О.
Эти выражения, в свою очередь, опять подставляются в виде системы уравнений (1.42). В результате решения дифференциального уравнения первого порядка, используя граничные условия ч(0) = г(б) и ч(ас)=0, получается следующее выражение: 37 То есть, функция г(б) фурье-образ от функции — 1/2с1*(к/2). Для нахождения решения для решеток с большим коэффициентом отражения, будут рассматриваться структуры с постоянным коэффициентом связи на ограниченном участке 0 < х < Ь, где Ь- длина решетки. В этом случае система уравнений (1.42) может быть решена аналитически. Если продифференцировать систему уравнений (1,42) по к и подставить производные от исходной системы уравнений, получатся следующие, сравнительно, простые дифференциальные уравнения: (1.50) (1.51) г(Ю) = у сЬ(уА)-Маг(уХ)' (1.52) где у- параметр, определяемый следующим образом: 7' = Ц'-Ь' (1.53) Откуда коэффициенты отражения и пропускания по интенсивности определяются следующим образом: Ф~б) = ~~ГЬ4' —, ,ггг(7 г)+бг ~г,г17 7) (1.54) 7'(Ь) = ~ь~б)~— тг сЬ'~7.Ц+б"Ь'~7 Ц (1.55) На рис.
1,8 приведен рассчитанный спектр отражения волоконно-оптической брэгговской решетки (ВОБР), Решения для функций и и ~ содержат четыре константы, Эти константы можно определить, подставляя в полученные решения (1,50) граничные условия (1.48). В результате можно определить выражения для коэффициента отражения и коэффициента ослабления (по амплитуде) 38 3 Я 0.6 Ц 04 $ 0.2 0 1549 1551 1549.8 1550 1550.2 Длвна волны.
нм Рис. 1.8. Зависимость коэффициента отражения волоконно-оптических брэгговских решеток от длины волны Как видно из рисунка в спектре отражения присутствуют боковые лепестки, которые могут быть фактором дополнительной погрешности. Аналогичные лепестки наблюдаются и для решеток с малым коэффициентом отражения.
В работе 122~, был предложен метод подавления боковых лепестков при помощи создания неоднородности 1по амплитуде) наведенного показателя преломления вдоль длины решетки. Спектр отражения от структуры с неоднородным распределением наведенного показателя преломления рассчитывается численными ® методами. Существует множество методов расчета спектра отражения от таких структур (например, метод прямого численного интегрирования, использующий алгоритм Рунге-Кутта, метод передаточной матрицы, метод дискретизации решетки и т.
д,), однако в качестве метода для расчета спектра отражения решеток, используемых для создания датчиков, автором использован метод передаточной матрицы, Суть метода заключается в разбиении решетки на И участков, Внутри каждого участка решетка считается однородной. Пусть длина участка равна 39 Л=ЫХ. Применяя граничные условия и решая уравнения связанных мод, аналогичные (1.50) получается следующее сй(ул) + ~ — ль(уь) .ь у 9 — 1(уь) у — яь(уь) у .ь сь(уь) — г — ль(ул) у и(~+М ~(г+Ц (1.56) То есть поле на концах решетки может быть определено следующим образом: и(Е) и(0) (1.57) где Т- передаточная матрица Т=Т Тлч ...
Ть Искомые функции коэффициента отражения и прохождения (по амплитуде) могут быть найдены из элементов итоговой передаточной матрицы Т(имеющей размерность 2х2): г®=-У,',/Т„, ИБ)=1!Т . (1.58) Данная методика расчета решеток позволяет анализировать спектр отражения решетки с каким угодно распределением наведенного показателя преломления. 1.2.3.
Методы изготовления волоконно-оптических брэгговских решеток В настоящее время методы изготовления решеток детально изучены ~23,241. В диссертационной работе проводится краткий анализ основных методов для выбора наиболее подходящего, позволяющего делать решетки с оптимальными эксплуатационными характеристиками. Одной из наиболее важных характеристик ОВ, от которой зависит как условия записи решетки, является фоточувствительность ОВ К сожалению, фоточувствительность стандартных телекоммуникационных световодов с концентрацией германия 3 - 5 мол.% недостаточно высока для эффективной записи в них решеток. Даже при длительном облучении способов повышения этой величины. В частности, было показано, что наведенный показатель преломления (ПП) в таких световодах не превышает 5.10 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
