Математическое обеспечение автоматизированного проектирования изделий сложной формы с учетом реальной геометрии (1025251), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Величина отклоненияопределяется углом между нормалью и осью. Можно задать отклонениеот параллельности торцовых плоскостей как угла между нормалями.Так на основе единого математического описания поверхностейцилиндра получены различные отклонения расположения.Цилиндр, ось которого не перпендикулярна основаниюВ процессе проектирования ОП и технологии его изготовленияможет оказаться удобным представлять координаты относительноповерхности, СК которой не совпадает с СК тела. Изменение базисатребует преобразования не только номинальных значений параметров,но и допусков на их отклонения.
Пусть допуск на параметр P СКOx 1 y 1 z 1 задан в СК Ox 0 y 0 z 0 : P 10 = (P 10 ) max - (P 10 ) min Если выразитьпредельные отклонения P в СК Ox 2 y 2 z 2 : (P 10 ) max (P 12 ) max , (P 10 ) min (P 12 ) min , то P 12 = (P 12 ) max - (P 12 ) min . Однако СК Ox 2 y 2 z 2 имеетсобственную погрешность расположения в СК Ox 0 y 0 z 0 . Невозможнополучить выражение преобразования допусков из-за случайногохарактера положения одного базиса в другом. Задача может бытьрешена при использовании статистического моделирования. В каждойреализации известно случайное положение всех СК, в том числе и той,которую требуется принять за базовую. Поэтому можно вычислитьтекущие случайные параметры любой СК относительно произвольнозаданного базиса Ox 2 y 2 z 2 , имеющего текущее случайное положение вбазисе Ox 0 y 0 z 0 .Глава 3 посвящена разработке алгоритмов определения точностигеометрических параметров ОП по координатам измеренных точекреальных поверхностей (РП).
Рассмотрена постановка и решениезадачи оптимального размещения отсчетных поверхностей в массиветочек реальных поверхностей (РП), исходя из критерия минимумасреднеквадратичного отклонения.При обработке результатов измерения основной задачей являетсяпостроение математического эквивалента РП , который будем называтьотсчетной поверхностью, для оценки степени соответствия найденныхпараметров заданным номинальным значениям. Для каноническихповерхностей предлагается использовать средние поверхности,размещаемые из условия минимума среднеквадратичного отклонения, адля каркасных - номинальные поверхности, чтобы избежатьнеобходимости назначать допуски на все параметры поверхности.В общем случае размещение отсчетной поверхности F (x, y, z) = 0заключается в поиске вектора R н начала отсчета и матрицы вращения A нСКП, обеспечивающих ее оптимальное положение в заданном массиветочек, исходя из минимума среднеквадратичного отклонения точек РПM pi (x poi , y poi , z poi ), i = 1, ..., k от ближайших к ним точек отсчетнойповерхности M oi (x oi , y oi , z oi ):k21ε i min, i = [(x oi - x poi ) 2 + (y oi - y poi ) 2 + (z oi - z poi ) 2 ] 0.5 .ki 1На каждом j-м шаге ( i ) j min, при условии F (x oij , y oij , z oij ) = 0.В данной диссертационной работе рассматриваются толькоканонические поверхности первого и второго порядка.
Этот классохватывает подавляющее число поверхностей, встречающихся вмашиностроении, при этом такое ограничение допускает решение безприменения поисковых методов.Поиск оптимального положения аналитической поверхностипервого и второго порядка в множестве заданных точек включает:1) Нахождение уравнения поверхности методом наименьшихквадратов с решением СЛАУ методами Гаусса или квадратного корня.Неоднородность СЛАУ обеспечивается нормированием матрицыкоэффициентов G по элементу G (p,q) с ненулевым минором:G (i + CInt ((i + 1) \ (p + 1)) / ((i + 1) / (p + 1)),_j + CInt ((j + 1) \ (q + 1)) / ((j + 1) / (q + 1))) / G (p,q).2) Определение параметров поверхности по ее уравнениювыполняется по матрице вращения, которая для поверхностей второгопорядка находится приведением квадратичной формы к каноническомувиду.Разработан обобщенный алгоритм, который включает нахождениесобственных чисел матрицы квадратичной формы A, как корнейхарактеристического уравнения det (A - E) = 0, имеющего видприведенного кубического уравнения 3 + b 2 + c + d = 0.
Для егочисленного решения предложен эффективный алгоритм на основеанализа аналитического решения и исследования кубической функциина экстремумы.Собственные векторы f k = (x, y, z) являются корнями матричногоуравнения A k f k = 0, где A k =(A - k E) f k = 0. Для уникальных k , еслиминор Mk 00 = ak 11 ak 22 - ak 12 2 0, то x - свободная переменная иak ak ak10 ak 21ak ak ak 20 ak12x.y 10 222 x , z 20 2 11ak12 ak11 ak 22ak12 -ak11 ak 22Аналогично вычисляется f k , при других ненулевых.
Для кратных kf 0 (0) = f 2 (0), f 0 (1) = f 2 (1), f 0 (2)= | f 2 | (1 / cos - cos ), f 1 = [f 2 xf 0 ].Матрица линейного преобразования M состоит из нормированныхсобственных векторов. f k / | f k |. Перейдем в канонический базис:X T A X + 2 B X + C =(M X k ) T A (M X k ) + 2 B (M X k ) + C = =X k T (M T A M) X k = X k T A k X k + 2 B k X k + C.Выделение из канонической квадратичной формы полного квадратадает параметры поверхности и точку начала отсчета.Вид отсчетной поверхности зависит от точности вычисления A k , B k ,C.
Так цилиндр можно представить, как вытянутый эллипсоид, чтоинтерпретируется как аналитическая модель отклонения формы.Предложен аналитический алгоритм вычисления отклонения формыканонических поверхностей приближенным градиентным методом.Градиент (F x ', F y ', F z ') вычисляется в точке M i (x i ,y i ,z i ), от которойследует определить расстояние до поверхности. Показано, чтопогрешность, вызванная тем, что градиент проведен не в точкеповерхности, пренебрежимо мала в силу малости отклонений.
ТогдаF x ' = 2 (a 00 x i + a 01 y i + a 02 z i + b 0 ),F y ' = 2 (a 10 x i + a 11 y i + a 12 z i + b 1 ),F z ' = 2 (a 20 x i + a 21 y i + a 22 z i + b 2 ).Градиент и точка M i задают прямую, коллинеарную нормали:(x - x i ) / F x ' = (y - y i ) / F y ' = (z - z i ) / F z '.Выразив переменные y и z через x, и подставив в уравнениеповерхности, получим точку пересечения градиента с поверхностью.Отклонение формы есть расстояние от нее до точки M i .В главе 4 рассмотрена реализация задач анализа и контроляточности выходных параметров ОП в виде пакетов прикладныхпрограмм на основе предлагаемой геометрической модели и концепциистатуса.
На их базе проведен вычислительный эксперимент помоделированиюраспределенийвыходных,выполненаоценкаположения на полученных распределениях значений выходныхпараметров при заданных допусках отклонений точек поверхностейОП.Моделируются параметры геометрии масс: объем, координатыцентра масс и моменты инерции. Моделирование включает: построение номинальной геометрической модели; проверка значений выходных параметров при номинальныхзначениях входных (управляемых) параметров; задание допусков на отклонение входных параметров; выполнение необходимого количества итераций моделирования; статистическую обработку и анализ результатов эксперимента.Модель одной реализации есть совокупность графическихэлементов представляющих поверхности объекта моделирования, иправило образования из них единого тела логическими операциями.Каждая реализация моделирования состоит из следующих шагов: вычисление случайных значений координат собственных СКграфических элементов, представляющих поверхности модели; создание из выбранных элементов единого тела объектамоделирования по заданному алгоритму с сохранением копийэлементов; определение выходных параметров моделируемого тела; запись текущих значений выходных параметров объектамоделирования и (при необходимости для последующейстатистической обработки) управляемых параметров в файлстатистики; удаление моделируемого тела (откат в исходное состояние).Состояние модели в каждой реализации определяется случайнымизначениями e i геометрических параметров ее элементов.
Величина e iесть сумма номинального значения N i и случайного отклонения i впределах допуска i : e i = N i + i . Систематические погрешности нерассматриваются. По теоремам Шеннона принято, что распределение iподчиняется одному из трех модельных законов: равновероятностному,экспоненциальному или нормальному:Выбор модельного распределения по теоремам ШеннонаПринято количество реализаций n = 3011, что соответствует P д =0,9973 и = 0,9973 для двусторонних непараметрических интервалов.По накопленной статистике построены гистограммы распределения(Приложение 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
