Диссертация (1025147), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Второе уравнение системыназывается наблюдением или уравнением отклика, так как это уравнениепоказывает, какая часть динамической системы может быть наблюдаема навыходе модели [123].Первым шагом алгоритма является преобразование исходного временногоряда в последовательность многомерных векторов. Отклик системы обычнопредставляется матрицей:55 = [0 , 1 , . .
. , −1 ](2.4)где − количество точек сигнала. Пусть 2 называется длиной окна, тогда изматрицы (2.4) можно получить = − 2 + 1 многомерных векторов: = [−1 , , . . . , +2∙−2 ] , = 1,2, … (2.5)Блочная матрица Ганкеля состоит из , записанных по столбцам:01=( …1√2∙−1где1√12…2∙…………−1),…+2∙−2 ∈ 2×(2.6)− масштабный множитель [123]. Матрица Ганкеля может быть разделенана две части: матрица «прошлого» ∈ × и матрица «будущего» ∈ × ,таким образом:=()(2.7)Определим матрицу Тёплица как: = ∙ (2.8)Согласно основной теореме SSI [122] можно доказать, что матрица Тёплицаможет быть разложена как произведение двух матриц: расширенной матрицынаблюдаемости ∈ × и расширенной матрицы управляемости ∈ × ,которые соответствующим образом выражаются через системные матрицы и , и матрицу ковариаций вектора состояния ( + ) и вектора отклика ( ) [126]:−− = ∙ = ( … ) ( …−)(2.9)Матрицы и можно найти, применив к матрице Теплица сингулярноеразложение (SVD [122]):56 = ∙ = ,(2.10)где матрицы ∈ × and ∈ × содержат левые сингулярные вектора ввиде столбцов и правые сингулярные вектора в виде строк соответственно, ∈× − диагональная матрица, содержащая сингулярные значения в убывающемпорядке.
Предположим, что порядок системы (2.3) известен и равен n (в общемслучае n - неизвестно, так как неизвестно количество собственных частотколебаний на которых происходит отклик системы). Тогда матрицы и можно получить:⁄ = =⁄ (2.11)где ∈ × , ∈ × , ∈ × .Системные матрицы и могут быть получены из (2.9): = (1: ; 1: )A = + (2.12)Где матрица (1: ; 1: ) представляет из себя первые строк и столбцовматрицы ,матрица − эквивалентна матрице без последних l строк иматрица − эквивалентна матрице без первых строк, «+» означает псевдообратное преобразование.Оценка модальных параметров начинается с разложения по собственнымзначениям идентифицированной матрицы :A = −(2.13)где − диагональная матрица, содержащая комплексные собственныезначения (полюса системы) , = 1, 2, … , , а содержит собственные векторав виде столбцов.
= − ± √1 − 2(2.14)57где − коэффициент модального демпфирования на собственной форме сномером , − собственная частота с номером .Собственные формы колебаний могут быть выражены в виде: = (2.15)Оптимальный выбор параметров алгоритма SSIКак видно из предыдущего раздела, в алгоритме SSI есть два определяемыхпользователем параметра: сдвига (длина окна) 2 и порядок модели n. Дляполучения корректных оценок модальных параметров с помощью SSIнеобходимо определить оптимальные параметры алгоритма.На практике порядок модели неизвестен, и не все собственные частотыколебаний могут быть наблюдаемы. Сингулярное разложение (2.10) позволяетоценить эффективный ранг матрицы Теплица, что эквивалентно удвоенномупорядку модели, описываемой системой (2.3).
Ранг матрицы Теплицаэквивалентен числу ненулевых сингулярных значений [122]. Однако выходныеизмерения всегда содержат шум. Наличие шума в сигнале делает матрицу плохообусловленной, это означает, что для реальной задачи число ненулевыхсингулярныхзначенийвсегдабудетбольше,чемпорядоксистемы.Неправильный выбор порядка модели может привести к идентификации такназываемых математических полюсов, которые являются ошибками методаидентификации и не отражают динамику наблюдаемой системы.Одним из методов выбора оптимальных параметров алгоритма являетсяанализ сингулярных значений матрицы Теплица.
На Рис. 2.6 представленыграфики зависимости сингулярных значений матрицы Теплица системы с пятьюстепенями свободы от порядка системы при различных параметрах сдвига.Данные графики показывают, как меняются сингулярные значения приувеличении значения параметра сдвига.При малом сдвиге в графиках не удается обнаружить закономерности.Однако при увеличении параметра сдвига (показано черной стрелкой), можно58заметить, что максимальная разница в сингулярных значениях соответствуетудвоенному порядку системы, в данном случае – 10.
Используя данноенаблюдение, можно с помощью итерационной процедуры найти оптимальныйпараметр сдвига, который обеспечивает корректные результаты идентификации,и не приводит к чрезмерным вычислительным затратам. Подобная процедурареализована автором работы.Рис. 2.6. Зависимость сингулярных значений матрицы Теплица от параметрасдвигаСтабилизационная диаграмма [81] является альтернативным инструментомдля отделения физических (настоящих) полюсов от математических полюсов иопределения эффективного порядка системы. Основная идея состоит в том, чтос помощью моделей возрастающего порядка выполняется несколько запусковполного процесса идентификации. По оси абсцисс стабилизационной диаграммыотложены полюсы (собственные частоты или коэффициенты демпфирования), апо оси ординат порядок модели. Физические полюсы сохраняют свое положениепри увеличении порядка системы, тогда как математические полюсы хаотическименяют свое положение.
Анализируя эту информацию, можно отделитьфизические полюсы от математических. Более подробно проблема устраненияматематических полюсов описана в [128].59На сегодняшний день существует большое количество работ, посвященныхпостроению стабилизационной диаграммы в алгоритме SSI, но нет чёткихрекомендаций по выбору длины окна. При этом, длина окна является вторымосновным параметром для метода SSI. Выбор правильной длины окна зависит отпредварительной информации о временном ряде [122]. С теоретической точкизрения длина окна 2i должна быть достаточно большой, но не более N/2. Крометого, увеличение длины окна приводит к значительному увеличению временивычислений. С другой стороны, число столбцов матрицы Ганкеля должно бытьдостаточно большим по статистическим причинам, это означает, что 2i должнобыть, как можно меньше. Таким образом, выбор оптимальной длины окнадовольно сложен.Если известно, что временные ряды могут иметь периодическуюсоставляющую с целым периодом, то предпочтительно выбирать длину окна,пропорциональнуюэтомупериоду,длялучшейоценкиколичествавозбужденных собственных частот колебаний.
Другим хорошим методомявляется построение стабилизационной диаграммы с длиной окна в качествепараметра. Это означает, что выполняется несколько запусков процессаидентификации полюсов, с варьированием параметра длины окна. В этом случаеэффективная длина окна определяется из стабилизационной диаграммы такимже образом, как и порядок модели. Процедура выбора оптимальных параметровметода SSI подробно описана автором в [81].2.5. Апробация алгоритмов идентификации модальных параметров натестовом примереМетоды идентификации динамических характеристик, описанные выше(метод стохастической идентификации и метод ширины пика (половинноймощности),легливосновупрограммногообеспеченияModalView,разработанного автором работы [30,81].
В рамках работы выполнена апробацияметода половинной мощности (ПМ) и метода стохастической идентификации(SSI) на тестовом примере. Апробация выполнена с целью сравнения точности60алгоритмов ПМ и SSI для идентификации модальных параметров механическихсистем при ударном тестировании или при воздействии неизвестныхимпульсныхнагрузок(возникающихприфрезеровании).Результатыидентификации модальных параметров с помощью алгоритма SSI сопоставленыс результатами идентификации с помощью метода ПМ, работающего вчастотной области. Как уже было отмечено выше, метод ПМ является одним изнаиболее распространенных и простых методов идентификации коэффициентовдемпфирования. Для расчета погрешности идентификации коэффициентовдемпфирования использовано соотношение 2.17.Δ =| ℎ − | ℎОтклик системы (())определяется как:∙ 100%, ∈ 1.
.5 ,(2.16)в некоторой точке на импульсное воздействие() = ∑ A ∙ e−2 ∙ sin(2 )(2.17)=1где , где ∈ 1. .5 − собственные частоты колебаний, − коэффициентыдемпфирования, A − амплитуды колебаний на каждой собственной форме, −время.Таблица 2.Параметры тестовой системы для апробации работы алгоритмовидентификации модальных параметровНомерчастоты, №Частота ,ГцКоэффициентдемпфирования , %190 – 1000.5-52190 - 2000.5-53290 – 3000.5-54390 – 4000.5-55490 - 5000.5-561Будем считать, что параметры системы являются случайными величинами ипринадлежат заданному интервалу с равномерным распределением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
