evtiheeva_n_n__izmerenie_yelektricheskih _i_neyelektricheskih (1024282), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

1.1.чем большие, то тогда д л я описанияслучайныхприменятьнормальныйторогопогрешностейраспределениявероятностей,следуетдляко­щ2=у (А)гдезакону (А)2(1.4)(1/ал/2я)ехр(-Д /2а ),плотность—вероятностейслучайнойп о г р е ш н о с т и Д;а —среднее к в а д р а т и ч е с к о е значение случайной п о г р е ш н о с т и .Кривые, соответствующие выражениюп р и в е д е н ы на рис.(1.4)д л я р а з н ы х значений о,1.1.

В и д н о , что п р и м а л ы х з н а ч е н и я х о в е р о я т н е йполучить малую погрешность измерений, нежели при больших.В е р о я т н о с т ь т о г о , чтопогрешность результата и з м е р е н и я находитсям е ж д у заданными предельными значениями Аг и Д 2 , вычисляетсяпоформулеоP(At<<АД2)=jy(A)dA=Д1Д2dA-ехрД ! oV27rИнтеграл в ф о р м у л ефункцииЛапласа(1.5)(1.5)м о ж н о вычислить,22Ф(г)теории вероятностей ирезультатов.г о*'ое-* 'статистическойиспользуяприводимыеdt,обработкевтаблицык н и г а х поэкспериментальных[2, 2 8 ] .Н е т р у д н о з а м е т и т ь , чтоР{АгВ< А < Д2)табл.тервалов121.1с[At,=(1/2) [ Ф ( Д 2 / а )- Ф ^ / а ) ] .приведены значения вероятностейоД2],заданных вединицахо.(1.6)длянекоторыхин-Таблица 1.1оВероятность РоИнтеряал [Дь Дг]1попадания в интер­вал [Д ь[ (2/3) а, (2/3) а ]0,50,68[-0,0][-2С, 20]-РД2]0,50,32[-30, 3 0 ]0,950.997[-40, 40]0,999930,05.0,0030,00007В п е р в о м с т о л б ц е т а б л .

1.1 у к а з ы в а ю т с я и н т е р в а л ы , х а р а к т е р и з у е м ы еоос в о и м и н и ж н и м и и в е р х н и м и г р а н и ц а м и Дх и Д2 с о о т в е т с т в е н н о . Второйс т о л б е ц д а е т в е р о я т н о с т и Р т о г о , что с л у ч а й н а я п о г р е ш н о с т ь результа­та измерения не выходит за границы соответствующих интервалов.В т р е т ь е м с т о л б ц е п о к а з а н о , к а к о в ы в е р о я т н о с т и в ы х о д а с л у ч а й н о й по­грешности за пределы интервалов.Согласно табл.1.1вероятности получения значения случайныхп о г р е ш н о с т е й в и н т е р в а л е [— ( 2 / 3 ) а, + ( 2 / 3 ) о] и за е г о п р е д е л а м и оди­н а к о в ы , в т о в р е м я к а к в с р е д н е м т о л ь к о 0 , 3 % и з м е р е н и й и м е ю т по­г р е ш н о с т и , а б с о л ю т н о е з н а ч е н и е к о т о р ы х п р е в ы ш а е т 30.

З н а ч е н и е по­г р е ш н о с т и ( 2 / 3 ) 0 н а з ы в а е т с я в е р о я т н о й п о г р е ш н о с т ь ю , а значение З очастосчитаютпрактическинаибольшейвозможнойпогрешностью.О д н а к о п р и б о л ь ш о м ч и с л е и з м е р е н и й (и > 20 -г- 3 0 ) м а к с и м а л ь н а я по­г р е ш н о с т ь н е р е д к о м о ж е т п р е в ы ш а т ь За.К а к у ж е у к а з ы в а л о с ь , часто р а с п р е д е л е н и е п о г р е ш н о с т е й м о ж н о при­нять равномерным:приД 2 > Д > А\;1/(Д2 - Д О п р иДх < Д < Д 2 .0У (А)Такой закон распределения характерен, например,отсчетапошкалеприбора,погрешностейдляпогрешностейдискретностивцифровыхи з м е р и т е л ь н ы х п р и б о р а х , п о г р е ш н о с т е й к в а н т о в а н и я в аналого-цифро­в ы х преобразователях (АЦП).Рассмотрим далее о ц е н к и параметровгрешностейр а с п р е д е л е н и я с л у ч а й н ы х по­п р я м ы х и з м е р е н и й .

Н а п о м н и м , что с л у ч а й н а я а б с о л ю т н а яопогрешностьопределяетсяформулойД = х— х и , где х —результати з м е р е н и я ; л:и — и с т и н н о е з н а ч е н и е и з м е р я е м о й в е л и ч и н ы . Е с л и б ы л опроведено ислучаевп р я м ы х и з м е р е н и й о д н о й и той же величины, то в о б щ е мкаждомоД,-изактовизмеренийпогрешностьбудетразной:о= х. - х и , г д е Д ;г-го и з м е р е н и я .— п о г р е ш н о с т ь /-го и з м е р е н и я ; х.

— р е з у л ь т а т13П о с к о л ь к у истинное значение и з м е р я е м о й величины хи неизвестно,непосредственнослучайную абсолютную погрешность вычислить нельзя.П р и п р а к т и ч е с к и х р а с ч е т а х п р и х о д и т с я в м е с т о х и и с п о л ь з о в а т ь е г о оцен­к у . О б ы ч н о п р и н и м а ю т , что и с т и н н о е з н а ч е н и е р а в н о с р е д н е м у а р и ф м е ­т и ч е с к о м у значению р я д а и з м е р е н и й :+ х2х = (xi=+ ...

+ хп)/п=ЪхМi= 1(1.7),где Xj — р е з у л ь т а т ы о т д е л ь н ы х и з м е р е н и й ; п — ч и с л о и з м е р е н и й .Т е п е р ь а н а л о г и ч н о Д . м о ж н о о п р е д е л и т ь о т к л о н е н и е р е з у л ь т а т а каж­д о г о измерения от среднего значениящкакхvt = xt-H,(1.8)а з а т е м по ф о р м у л е2о = V ( 2 > ) / ( и - 1)(1.9)вычислить о ц е н к у а значенияногорядабольшомизмерений.среднеквадратическойСогласнотеориип о г р е ш н о с т и дан­вероятностейпридостаточноч и с л е и з м е р е н и й , и м е ю щ и х н е з а в и с и м ы е с л у ч а й н ы е погреш­ности, о ц е н к а а сходится по в е р о я т н о с т и к а.

Т а к и м о б р а з о м ,= У(.|!)•Ввиду тогочтосреднее1Л( °)арифметическоезначение х также я в л я е т с яс л у ч а й н о й в е л и ч и н о й , и м е е т с м ы с л п о н я т и е с р е д н е к в а д р а т и ч е с к о г о от­к л о н е н и я с р е д н е г о а р и ф м е т и ч е с к о г о з н а ч е н и я х . Э т у в е л и ч и н у обозна­ч и м с и м в о л о м с т ~ „ . М о ж н о п о к а з а т ь , что д л я н е з а в и с и м ы х п о г р е ш н о с т е й="с =°l>/»/Sv?/n(n-1) .(1.11)Значение ахарактеризует степень разброса x.

К а к у к а з ы в а л о с ь высрш е , х в ы с т у п а е т о ц е н к о й и с т и н н о г о з н а ч е н и я и з м е р я е м о й в е л и ч и н ы , т.е.являетсяасрконечнымназываютрезультатомвыполняемыхизмерений.Поэтомут а к ж е средней к в а д р а т и ч е с к о й погрешностью результатаизмерений.Напрактикезначениемо,в ы ч и с л я е м ы м по(1.10), пользуются вт о м случае, если н е о б х о д и м о дать х а р а к т е р и с т и к у точности применяемо­го метода и з м е р е н и я : если м е т о д точен, то р а з б р о с результатов отдель14н ы х и з м е р е н и й м а л , т.е. м а л о значение о .

З н а ч е н и е ж е аСр, в ы ч и с л я е м о епо( 1 . П ) , и с п о л ь з у е т с я д л я х а р а к т е р и с т и к и т о ч н о с т и р е з у л ь т а т а изме­ренийнекоторойвеличины, т.е. результата, полученного п о с р е д с т в о мм а т е м а т и ч е с к о й о б р а б о т к и и т о г о в ц е л о г о р я д а о т д е л ь н ы х п р я м ы х из­мерений.Введемважныепонятиядоверительнойв е р о я т н о с т и и доверитель­н о г о и н т е р в а л а . К а к у к а з ы в а л о с ь в ы ш е , с р е д н е е а р и ф м е т и ч е с к о е зна­чение 1с, п о л у ч е н н о е в р е з у л ь т а т е н е к о т о р о г о р я д а и з м е р е н и й , я в л я е т с яо ц е н к о й истинного значения х^ и, к о н е ч н о , к а к п р а в и л о , не совпадаетс н и м , а отличается на значение п о г р е ш н о с т и . Пусть Рд есть вероятностьт о г о , что х о т л и ч а е т с я о т х ^ н е б о л е е ч е м н а Д , т .

е .Р(-А< *и-х= Рд< Д)или- Д <Р (хВероятность Рдзначений= Рд .< х + Д)называетсяизмеряемойдоверительнойвеличиныотх-вероятностью,Д д о х + Д—аинтервалдоверительныминтервалом.Приведенныевышенеравенстваозначают,с в е р о я т н о с т ь ю PRчтод о в е р и т е л ь н ы й и н т е р в а л от х — Д до х + Д з а к л ю ч а е т в с е б е и с т и н н о ез н а ч е н и е х^. Т а к и м о б р а з о м , ч т о б ы х а р а к т е р и з о в а т ь с л у ч а й н у ю погреш­н о с т ь д о с т а т о ч н о п о л н о , н а д о р а с п о л а г а т ь д в у м я ч и с л а м и — доверитель­ной вероятностью и соответствующим ей доверительным интервалом.Если з а к о н распределения вероятностей погрешностей известен, то позаданной доверительной вероятности м о ж н о определить доверительныйи н т е р в а л . В ч а с т н о с т и , п р и д о с т а т о ч н о б о л ь ш о м ч и с л е и з м е р е н и й частобывает оправданным использованиекакпринебольшомпринадлежатнормального закона, в то в р е м ячисле и з м е р е н и йнормальному(и < 2 0 ) , результаты к о т о р ы храспределению,следуетпользоватьсяр а с п р е д е л е н и е м С т ь ю д е н т а .

Это р а с п р е д е л е н и е и м е е т п л о т н о с т ь вероят­н о с т е й , п р а к т и ч е с к и с о в п а д а ю щ у ю с н о р м а л ь н о й п р и б о л ь ш и х и , н о зна­чительно отличающуюся от н о р м а л ь н о й при м а л ы х п.В т а б л .

1.2 п р и в е д е н ы т а к н а з ы в а е м ы е к в а н т и л и р а с п р е д е л е н и я Стью­д е н т а \t ( и ) \ рд л я числа и з м е р е н и й п - 2 -=- 30 и д о в е р и т е л ь н ы х в е р о я т дностей Рв= 0,8 -г- 0 , 9 9 . Б о л е е п о л н у ю т а б л и ц у м о ж н о н а й т и , н а п р и м е р ,[ 2 ] . У к а ж е м , о д н а к о , что о б ы ч н о т а б л и ц ы р а с п р е д е л е н и я С т ь ю д е н т ап р и в о д я т с я не д л я з н а ч е н и й п и Р,а д л я значений тп = п— 1 и а = 1 — Р д ,что с л е д у е т у ч и т ы в а т ь п р и п о л ь з о в а н и и и м и .

Ч т о б ы о п р е д е л и т ь довери­т е л ь н ы й и н т е р в а л , надо д л я д а н н ы х и и Рд найти к в а н т и л ьвычислить величиныхп=* -t( n)cJv ~ hиaдхв=*+аисрМ )1рд\t(n) \ рди'15Таблица 1.2. Квантили распределения СтьюдентаЧисло измеренийДоверительная вероятность Р^•—^П0,80,90,950,980,99234567891011121314151720303,081,891,641,531,481,441,421 401,381,371,361,361,351,341,341,331,316,312,922,352,132,021,941,901,861,841,811,801,781,771,761,751,731,7012,74,303,182,772,572,452,362,312,262,232,202,182,162,142,122,092,0431,86,964,543,753,363,143,002,902,822,762,722,682,652,622,582,542,4763,79,925,844,604,033,713,503,353,253,173,113,053,012 982,922,872,76которыебудут я в л я т ь с яверхнейи нижней границами доверительногоинтервала.Примерынахождениядоверительныхверительнойвероятностиприведенынаиболеегде аинтерваловниже.Тамд л я заданнойдо­же показана одна изупотребительных ф о р м записи результатаизмеренияввиде— результат и з м е р е н и я в единицах и з м е р я е м о й величины;Д —п о г р е ш н о с т ь и з м е р е н и я ; Др и Д н — в е р х н я я й н и ж н я я г р а н и ц ы погреш­ности измерения; Рд — доверительная вероятность.Пример 1 .

П р о и з в е д е н о 1 7 о т с ч е т о в з н а ч е н и й и з м е р я е м о й в е л и ч и н ы —напряжения(см.тов измеренийниже).Требуетсяпроизвестиобработкурезульта­(предполагая их нормальное распределение). Д л я этогов ы б р а т ь д о в е р и т е л ь н у ю в е р о я т н о с т ь Р д = 0 , 9 5 . С и с т е м а т и ч е с к о й погреш­ностью пренебречь.I123456i16iX.1168117011693167816861674789101112xii1705168516971690169016851314151617X.i— н о м е р и з м е р е н и я , х- — р е з у л ь т а т и з м е р е н и я .16821690168716801692Обработку результатовизмеренийб у д е м в е с т и в с л е д у ю щ е й после­довательности.1 . О п р е д е л и м с р е д н е е а р и ф м е т и ч е с к о е з н а ч е н и е р е з у л ь т а т о в отдель­ных измерений по формуле ( 1 .

Характеристики

Список файлов книги