Гл3(стр45-62) (1022091), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Во второй области ( ) поперечное распределение амплитуды существенно искажается. При этом картина дифракции зависит от того, сколько зон Френеля помещается в отверстии (дифракция Френеля).

Наконец, в третьей, удаленной области ( ), размер отверстия значительно меньше первой зоны Френеля. Дифракция при выполнении этого условия, называется фраунгоферовой. Заметим, что в чистом виде дифракция Фраунгофера наблюдается на бесконечности ( ) - дифракция в параллельных лучах.

Рис.3.18

На рис. 3.18 представлено распределение интенсивности света на экране, расположенном за отверстием в виде тонкого кольца, по мере увеличения расстояния между отверстием и экраном. Можно проследить плавный переход от геометрической оптики (1-3) через дифракцию Френеля (4-7) к дифракции Фраунгофера (9-11). Число открытых зон уменьшается слева направо.

3.8. Дифракционная решетка

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на системе N одинаковых щелей, разделенных равными промежутками. Пусть ширина каждой щели b, а расстояние между центрами соседних щелей (период) d. То есть мы имеем одномерную периодическую структуру, называемую дифракционной решеткой.

Рис. 3.19

Пусть дифракционная решетка освещается параллельным пучком монохроматического света с длиной волны , падающим нормально на нее. За решеткой параллельно ей располагается собирающая линза L, а в ее фокальной плоскости - экран Э для наблюдения дифракционной картины (рис. 3.19). Рассмотрим лучи, отклонившиеся в результате дифракции от своего первоначального направления на угол . Каждая щель является источником когерентных волн, которые могут интерферировать друг с другом. Разность хода между двумя лучами, вышедшими из точек, расположенных на одинаковом расстоянии от краев двух соседних щелей, равна =dsin, значит, разность фаз между ними есть  = 2/.

Таким образом, после решетки под углом  к нормали идут N когерентных лучей, для которых разность фаз между лучом 1 и лучами 2,3,...,N равна ,2,...,(N-1). Так как все эти лучи падают на линзу под одним углом , то после прохождения линзы все они сходятся в одной точке экрана О_. Очевидно, что эта точка видна из центра линзы под углом . Интенсивность света в точке О_ может быть найдена как результат интерференции N когерентных лучей с регулярной разностью фаз между ними.

Тогда можно использовать формулу (2.32), из которой следует, что интенсивность света в точке О_ равна

,

где I_0 - это интенсивность света, вышедшего из одной щели под углом . Но эта величина была найдена в п.3.6 (формула (3.33)), следовательно,

, (3.35)

здесь I₀ - интенсивность света, вышедшего из одной щели под углом =0.

Проанализируем полученное выражение. Его можно представить как произведение двух сомножителей:

.

Графики функций I_1 и I_2 в зависимости от sin  представлены на рис.3.18 а. и б., а их произведения - на рис.3.18в. Мы видим, что при освещении дифракционной решетки монохроматическим светом, распределение интенсивности света на экране за ней представляет из себя ряд максимумов (называемых главными), разделенных практически темными участками. Угловое положение главных максимумов определяется из условия

или (m=0,1,2,...), (3.36)

При выполнении этого условия I=N²I₀, т.е. в направлении углов, удовлетворяющих (3.36), происходит увеличение интенсивности света, прошедшего через одну щель, в N² раз.

Между главными максимумами располагается N-1 минимум интенсивности, угловое положение которых находится из условий

откуда (3.37)

а.

б.

в.

Рис.3.20

Угловая ширина главного максимума  определяется как угловое расстояние между направлениями на минимумы, ближайшие к данному максимуму. Взяв дифференциал от выражения (3.37), легко получить, что

.

Отсюда видно, что ширина главных максимумов уменьшается с ростом числа щелей N.

3.9. Дифракционные спектры

Рассмотрение действия дифракционной решетки показывает, что при большом числе щелей свет, прошедший через решетку, собирается в отдельных, резко ограниченных участках экрана. Положение этих участков, определяемое формулой (3.36), зависит от длины волны , т.е. дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор.

Чем меньше длина волны , тем меньшему значению угла  соответствует положение максимума. Таким образом, белый свет, прошедший через решетку, раскладывается в спектр так, что внутренним, т.е. ближним к максимуму нулевого порядка краем его, являются фиолетовые, а наружным - красные лучи. Значение m=0 определяет максимум по направлению =0 для всех значений . Поэтому в этом направлении (направлении первичного пучка) собираются лучи всех длин волн, т.е. спектр нулевого порядка представляет собой изображение источника, сформированное в белом света.

Спектры 1-го, 2-го и т.д. порядков располагаются симметрично по обе стороны нулевого. Расстояние между соответствующими линиями спектров возрастает по мере увеличения порядка спектров, и поэтому спектры высших порядков, накладываясь, частично перекрывают друг друга. Частичное перекрытие обычно начинается со спектров 2-го и 3-го порядков.

При помощи дифракционной решетки с малым периодом для спектров высших порядков можно получить значительные углы отклонения и таким образом довольно точно измерить длину волны =(d sin )/m.

Особенность дифракционных спектров заключается в том, что отклонение волны пропорционально ее длине. В связи с этим дифракционные спектры называют нормальными, в отличие от спектров, получаемых с помощью призм, где спектр растянут неравномерно.

3.10. Дисперсия и разрешающая сила дифракционной

решетки

Основными характеристиками любого спектрального аппарата являются его дисперсия и разрешающая сила.

3.10.1. Дисперсия дифракционной решетки

Дисперсия угловая D_угл или линейная D_лин определяет угловое  или линейное l расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу

; (3.38)

т.к. l=f  (f - фокусное расстояние линзы, расположенной между дифракционной решеткой и экраном), то D_лин=fD_угл.

Найдем величину угловой дисперсии для дифракционной решетки. Для этого продифференцируем по  выражение (3.36), получим d cos  = m, откуда

. (3.39)

Для малых углов cos   1 и

. (3.40)

3.10.2. Разрешающая сила дифракционной решетки

Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн , при которой две спектральные линии воспринимаются раздельно

, (3.41)

где  - длина волны, вблизи которой проводятся измерения.

Рэлей ввел критерий, согласно которому две линии в спектре можно считать разрешенными (т.е. наблюдаемыми отдельно). Две линии с длинами волн ₁ и ₂ принято считать разрешенными в k-м порядке, если k-й дифракционный максимум для длины волны ₁ совпадает с минимумом, ближайшим к k-му максимуму, для длины волны ₂ . При этом суммарная интенсивность в провале между двумя линиями дифракционного спектра равна 0,7 от интенсивности максимумов. Считается, что такое различие в интенсивностях может быть легко зарегистрировано глазом (рис.3.21а). Если же спектральные линии расположены ближе, то в промежутке между линиями будет находиться провал меньшей глубины (неразличимый глазом) или вообще "горб" интенсивности (рис.3.21б).

Рис.3.21

Получим на основе критерия Рэлея выражение для разрешающей силы дифракционной решетки.

Положение середины k-го максимума для длины волны ₁ определяем из (3.36)

d sin _max = m₁. (3.42)

Правый, ближайший к k-му максимуму, минимум для длины волны ₂, расположен под углом (см.(3.37)), удовлетворяющим условию

d sin _min = m₂+₂/N. (3.43)

Из условия Рэлея следует, что _max = _min. Обозначим ₁= и ₂, тогда из (3.42) и (3.43) следует

k((k+1/N).

Отсюда k =/N или

R=/=kN, (3.44)

Итак, дифракционная решетка способна разрешить тем более близкие спектральные линии, чем больше у нее число щелей N и чем выше порядок спектра k. У современных решеток число штрихов достигает 1200 на 1 мм.

3.11. Дифракция рентгеновских лучей

Явление дифракции рентгеновских лучей впервые было экспериментально обнаружено Лауэ, Фридрихом и Книппингом в 1912 г. В 1913 г. Брэгги и Вульф дали интерпретацию явления дифракции рентгеновских лучей на кристаллах как селективного отражения от систем атомных плоскостей.

Рис. 3.22

Обычные дифракционные решетки, у которых период имеет величину порядка длины световой волны, для наблюдения дифракции рентгеновских лучей неприемлемы, т.к. длины рентгеновских волн в 10⁴ раз меньше световых волн. Оказалось, что пространственной дифракционной решеткой для рентгеновских лучей могут служить кристаллы, у которых расстояние между рассеивающими центрами (атомами) одного порядка ( 10^-10 м) с длиной волны рентгеновских лучей.

В кристаллах атомы расположены упорядочено, образуя трехмерную решетку. Рентгеновские лучи возбуждают атомы кристаллической решетки, вызывая появление вторичных волн, которые интерферируют подобно вторичным волнам от щелей дифракционной решетки. Разбив кристалл на ряд параллельных плоскостей (рис.3.22), проходящих через узлы решетки, можно выделить в нем большое число параллельных атомных слоев.

Пусть падающий пучок рентгеновских лучей образует угол  с одной из систем таких плоскостей. Кристаллическую структуру, изображенную на рис.3.22, можно рассматривать как объемную дифракционную решетку с периодом d, равным расстоянию между соседними слоями атомов. Разность хода лучей, рассеянных первым и вторым слоем атомов, для случая, когда направление падающих и рассеянных лучей составляет с атомными плоскостями один и тот же угол , равна BC+CD. Подсчет этой величины дает для разности хода лучей 1 и 2 выражение

=2 d sin. (3.45)

Условие максимума для междуатомной интерференции будет

2 d sin  = k, (3.45)

где k = 1,2,3,... причем разным k соответствуют разные углы скольжения . Для дифракции рентгеновских лучей в кристаллах выражение (3.46) называется формулой Вульфа-Брэгга. Изучая дифракцию рентгеновских лучей, можно по измеренным углам  для дифракционных максимумов и по известной длине волны монохроматического рентгеновского излучения исследовать внутреннюю структуру кристаллов.

Рис. 23

Если направить на кристалл пучок рентгеновских лучей, обладающих набором различных длин волн, то лишь те из них, которые удовлетворяют условию (3.46), дадут интерференционную картину, т.е. существенные пики интенсивности рентгеновского излучения. Таким образом, можно выделить из широкого спектра пучок лучей, соответствующих узкому диапазону длин волн.

Типичная дифракционная картина рентгеновских лучей на кристалле представлена на рис. 23.

Характеристики

Список файлов книги