Шпаргалочка (1021452), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Теорема об ограниченном множителе.
Если все члены ряда (1) равномерно сходящиеся на множестве Е умножить на функцию ограниченную на Е, то равном. сх-ть ряда (1) на Е сохранится.
23. Радиус сход-ти, интервал сход-ти, область сход-ти.
C0+C1(x-a)+C2(x-a)2+...+Cn(x-a)n+...==
Cn(x-a)n (1), где Сn и а - действительные числа, наз-ся степенным рядом с центром х=а. Заменой =х-а такой ряд приводится к виду (вместо пишем х):
С0+С1х+С2х2+...+Сnхn+...= Сnхn (2) поэтому можно ограничится изучением ряда (2). Ряд (2) всегда сходится к точке х=0: S(0)=C.
24. Свойства степенных рядов. Теорема о равномерной сход степенного ряда.
anxn = a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (1). Степенной ряд (1) сходится равномерно в каждом замкнутом промежутке, расположенным внутри области сход-ти степеного ряда (1).
25. Теорема Абеля
Если степенной ряд (2) сходится в точке х00, то он абсолютно сходится при х<х0, т.е. на [-x0,x0], если он расходится в точке х0 0, то расходится при х<x0, т.е. на [-,-x0] и [x0,+].
Теорема о радиусе сходимости
Для каждого степенного ряда (2) существует неотрицательное число R
такое, что на ]-R,R[ ряд абсолютно сходится, а вне отрезка [-R,R] (т.е. на [-,-R] u [R,+]) расходится.
Число R - радиус сход-ти степенного ряда (2), [-R,R] -интервал сходимости.
Замечание1.
Для степенного ряда (1) интервалом сход-ти является [a-R,a+R].
Замечание2.
На концах интервала х=R ряд (2) может сходится (абсолютно или не абсолютно) и расходится, поэтому область сход-ти степенного ряда с точностью до граничных точек совпадает с интервалом сходимости чтобы найти область сход-ти степенного ряда достаточно найти интервал сход-ти, а сход-ть в граничных точках х=R исследовать непосредственной подстановкой этих точек в ряд (2). Что же касается интервала сход-ти ряда (2), то он совпадает с интервалом сход-ти ряда из модулей Cnxn, т.к. внутри интервала сходимости ряд (2) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд Cnxn, а вне интервала сход-ти ряд (2) расходится и тем более расходится ряд из модулей. Таким образом дело сводится к нахождению интервала сход-ти положительного ряда из модулей, а к этому положительному ряду можно применять признаки сход-ти положительных рядов.
26. Формула Тейлора.
Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки х=а, тогда имеет место формула Тейлора:
. Rn(x) - остаточный член, который может быть представлен в виде: 
(2) - форма Лагранжа, где -расположена между точками х и а. Другой вид: 
27. Ряды Тейлора и Маклорена.
; f(x)=Sn(x)+Rn(x) (6); f(x)-Sn(x)=Rn(x) (6). Потребуем, чтобы функция f(x) имела бесконечное число производных f(n)(x) в точке x=а и её окрестности. Получим:
lim (f(x)-Sn(x))=lim Rn(x)=0 (7) . Если lim Rn(x) сущ-ет и равен 0, то f(x)=lim Sn(x) (8) 
(9) - ряд Тейлора. При а=0 получаем ряд Маклорена:
.
Замечание Функция представлена в форме ряда Тейлора в том случае если Rn(x)0.
28. Теорема о представлении степенных рядов рядом Тейлора.
Если функция f(x) представима степенным рядом f(x)= an(x-a)n,
то этот степенной ряд явл-ся рядом Тейлора : f(x)= 
(x-a)n, т.е. an= (11). И такое разложение единственно и коэффициенты нах-ся по формуле (11).
29. Теорема (достаточный признак сход-ти степенного ряда к функции f или представлении в виде ряда Тейлора).
Пусть f(n)(x)C=const n=0,1,2... в некоторой замкнутой окрестности точки аХ, тогда функция f представима степенным рядом Тейлора.
31. Ряды Фурье.
Далее мы будем рассматривать глобальное разложение, то есть на конечном отрезке [a,b].
Определение. Понятие ортогонольных и нормированных систем ф-ий:
(х), (х) интегрируемые при х[a,b], тогда 
(*) - cкалярное произведение.
для (*) вып-ся аксиомы скалярного произведения:
А1 (,)=(,)
А2 (,)=(,)=(,), =const
А3 (,1+2)=(,1)+(,2)
Определение: Функции и на [a,b] ортогональны если (,)=0, т.е. 
(х)(х)dx=0.
Определение. Понятие нормированности: =
- норма (длина вектора).
Докажем, что норма обладает всеми св-вами длины:
=[ 2(x)dx]0.5
A.1 0, =0 0
A.2 =, R1
A.3 1+2=1+2
Определения: Если для системы функций 1,2,...,n введено понятие нормы, то такая система наз-ся нормированной. Если норма каждого элемента пространства равна 1, то наз-ся нормированной на 1. Если система функций попарно ортогональна и нормированная на 1, то такая система наз-ся ортонормированной: ОН - ортонормированная система, если
; ОН 
Ряд Фурье. Коэфициенты Фурье по ОН системе.
{1(x),2(x),...,n(x)} - ОН система, т.е. 
. f(x)=
fnn(x) - ряд Фурье, где fn - коэфициенты. Умножим обе части этого уравнения на m(x) и проинтегр:
f(x)m(x)dx== m(x) fnn(x)dx= fn m(x)n(x)dx=0 - когда mn. Когда m=n:
=fn(n,n)=fn= f(x)n(x)dx f(x) (f,n)n(x)
32. Ряд Фурье для тригонометрических функций.
, f(x) 
(ancos(nx)+bnsin(nx)) (4)
где an=
f(x)cos(nx)dx, bn= f(x)sin(nx)dx, n=0,1,2,...
Определение: Функция называется кусочно-непрерывной на данном отрезке, если этот отрезок можно разбить на конечное число интегралов, в каждом из которых функция непрерывна.
Теорема Дирихле: Пусть f(x)
1)определена для всех х[-,]
2)кусочно-непрерывная на [-,]
3)кусочно-монотонная на [-,]
4)ограничена на [-,], тогда она разложима в тригонометрический ряд Фурье (4). Если точка х[-,] и в этой точки f(x) непрерывна, то сумма ряда
S(x)= (ancos(nx)+bnsin(nx))=f(x). Если точка х - точка разрыва, скачок, то S(x)=1/2 [f(x-0)+f(x+0)]
S(-)=S()=1/2 [f(+0)+f(-0)]
Замечания:
1)поведение функции f за пределами [-,] может в корне отлич от значения S.
2)если мы хотим разложить f на всей действительной оси, то согласно (4) мы должны продолжить периодическим образом с периодом 2.
33. Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.
Часто возникает задача разложения функций в тригонометрический ряд на произвольном промежутке
y[a,b] (a,b < ,a < b)
x=y+; [-,] переходит в [a,b].
,
m, f(y+)=f*(y); dx=dy, an=
f*(y)cosn(y+)dy
bn= f*(y)sin n(y+)dy, f*(y)=
+ (ancos n(y+)+bnsin n(y+))
Разложив cos и sin по формулам:
f*(y)=
+ (a*ncos ny+b*nsin ny), где нужно вычислить a*n , b*n и a*0 .
34. Разложение четных функций в тригонометрический ряд.
f(x)=f(-x) , xR1
an= f(x)cos nxdx=
f(x)cos nxdx
bn=0
f(x)= 
+ ancos nx - разложение по косинусам.
35. Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд.
f(x)= - f(-x); a0=0, an=0
f(x)= bnsin nx
bn= f(x)sin nxdx- разложение по синусам.
Примеры: 1) f(x)=x
a0= 1dx=2; an= 1cos nxdx=0
f(x)= =1
2) Функция: 
bn= 1sin nxdx
36. Разложение функций в ряд по синусам в несимметричном промежутке (0, L).
f(x) , x[0, L]. Доопределим функцию на промежутке [-L,0] (нечетным образом)
-
В ряд по синусам.
f(x)= bnsin
, где
bn=
f(x)sin dx
-
В ряд по косинусам (четным образом).
f(x)= + ancos , где
an= f(x)cos dx
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
