Shpori (1021435), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если ряд сходится условно, то каким бы ни было число A, можно так переставить члены ряда, что сумма полученного ряда будет равна A

Замечание: Можно сделать ряд расходящимся

Функциональные ряды.

1) Основные определения.

Рассмотрим последовательность функций . с общей областью определения Е.

Определение 1. (1) называется функциональным рядом.

Пример 1. Здесь .

Пусть точка . Тогда ряд (1) в точке обращается в числовой ряд (2):

, который может сходиться или расходиться.

Определение 2. Совокупность всех значений переменной х, для которых

функциональный ряд (1) обращается в сходящийся числовой ряд, называется

областью сходимости функционального ряда.

Или: . Если , то - сумма ряда в

точке .

) Равномерная сходимость функционального ряда.

Определение 1. Последовательность функций с общей областью

определения называется равномерно сходящейся к функции не множестве

, если .

Обозначение: ; - предельная функция последовательности.

Определение 2. Функциональный ряд сходится к сумме равномерно

на множестве Х, если последовательность его частичных сумм сходится

равномерно к на Х. Записывают так:

последовательность частичных сумм сходится к S равномерно на Х.

функциональный ряд сходится к сумме S в области D.

функциональный ряд сходится равномерно к S на множестве .

Признак равномерной сходимости.

Определение 1. Числовой знакоположительный сходящийся ряд

называется мажорантой на множестве Х для функционального ряда , если

.

Теорема (признак Вейерштрасса): Если функциональный ряд имет на

множестве Х мажоранту, то он сходится равномерно на Х.

4) Методы построения мажоранты.

1) использование св-ва ограниченности ф-ций

. .

2) использование св-ва монотонности

а) [1/3;3] т.к. функция монотонно

возрастает на данном отрезке - мажоранта на этом множестве.

б) - сходящийся ряд на , ,

3) использование неравенства

- равномерно сходится на . .

4) нахождение максимума функции

а) .

б) сходится равномерно на .

Здесь неравенство (3) неприменимо. .

. - мажоранта на .

Замечание: при х<0, .

5) использование св-в геометрической прогрессии.

. Область определения . Сходится равномерно на

тогда это уже будет убывающая геометрическая прогрессия,

- мажоранта. Кстати, .

6) Ряд сходится равномерно на , но признак Вейерштрасса здесь

не работает. , но не может быть мажорантой, т.к. расходится.

Поступим по определению: , ,

сходится равномерно на .

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда

Теорема 1:

1)

2) -непрерывна в

1), 2) - непрерывна в

1. Действие с равномерно сходящимися рядами

Теорема (о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда)

1) (непрерывна на )

2)

1), 2)

Теорема (о почленном дифференцировании функционального ряда):

1)

2) сходится в

3)

1) 2) 3)

Теорема (о линейной комбинации равномерно сходящихся рядов):

Теорема (о предельном переходе):

1) определена в и для

2)

а) - числовой ряд сходится

б)

Замечание: Из этой теоремы легко следует Т.1 (о непрерывности суммы)

Степенные ряды.

1. Теорема Абеля

Рассмотрим наиболее общий вид степеного ряда: ,

где - комплексная переменная.

Теорема. Если ряд сходится в точке , то он абсолютно

сходится в круге и сходится равномерно в круге .

Напоминание: геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел -

расстояние между точками: .

Следствие. Если ряд расходится в точке , то вне круга

он расходится (доказательство "от противного").

2. Круг и радиус сходимости степенного ряда.

Опр. Положительное вещественное число R называется радиусом сходимости

степенного ряда , если он сходится в круге , и расходится

вне его, т.е. для .

Опр. Круг с центром в точке называется центром сходимости.

Замечание. На окружности поведение степенного ряда неизвестно.

Он может сходиться или расходиться в различных точках этой окружности.

Теорема (Коши-Адамара). Рассмотрим ряд . Если , то

.

Замечание. Центр круга сходимости - в точке => зная радиус R, мы знаем

область сходимости.

Ряды Тейлора

1. Единственность ряда Тейлора

Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные любого порядка, т.е.

Определение 1:

Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора функции f(x) в точке

Если , то ряд (1) превращается в ряд

называется рядом Маклорена функции f(x)

Итак, ряд Тейлора – ряд по степеням разности , а ряд Маклорена – ряд по степеням X.

Теорема 1 (необходимое условие представления степенным рядом)

Если в некоторой окрестности точки справедливо разложение ,

то f(x) – бесконечно дифференцируема и коэффициенты вычисляются по формулам:

Теорема 2:

Ряд Тейлора для F(x) в точке определяется единственным способом.

1. Условие представимости функции рядом Тейлора

Теорема 1 (критерий разложения в ряд Тейлора)

Пусть f(x) дифференцируема в интервале . Тогда ее ряд Тейлора сходится к f(x) тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора стремиться к нулю при

Краткая запись:

Теорема 2: (Достаточное условие разложения в ряд Тейлора)

1. f(x) бесконечно дифференцируема в интервале и

1), 2)

1. Ряды Маклорена основных элементарных функций.

Методы разложения функций в ряд Тейлора.

Ряды Фурье. Ортогональные системы функций и общие ряды Фурье.

1. Понятие гильбертова пространства.

Функция называется кусочно-непрерывной на сегменте , если она

непрерывна всюду на этом сегменте за исключением конечного числа точек

разрыва первого рода.

Рассмотрим множество всех таких функций с

интегрируемым квадратом: .

Утв.1 Пространство - линейное векторное пространство.

Аксиомы линейного пространства выполняются.

1) (переместительное св-во). .

2) (распределительное св-во).

.

3) . .

4) . Чтобы выполнялась 4я аксиома, придется принять

дополнительное условие: если - точка разрыва, то

(чтобы в точках разрыва нулевой элемент тоже равнялся

нулю).

Утв. 2 Пространство - линейное векторное пространство со скалярным

произведением, для которого выполнены все аксиомы => - евклидово п-во.

Определение. Полное евклидово пр-во называется гильбертовым пр-вом в

честь немецкого математика Гильберта (1862-1943), кот. в 1900 сформулировал

23 проблемы математики.

Понятие полноты пространства разберем ниже.

2) Норма функции и её свойства.

Опр. Число называется нормой функции , если .

Св-ва нормы:

В пространстве определим норму .

Утв.3 - линейное нормированное пространство.

3) Ортогональные и ортонормированные системы функций.

Опр. 1 и называются ортонормированными на , если их

скалярное произведение = 0, т.е. .

Опр. 2 Система функций называется ортогональной на ,

если функции системы попарно ортогональны, т.е. .

Опр.3 Система называется ортонормированной, если

.

4) Метод ортогонализации линецно независимой системы функций. (метод

Грамма-Шмидта).

Пусть - линейно-независимая система функций, т.е. в евклидовом

пространстве . Положим

. .

Тогда - ортогональная система, а - ортонормированная.

5) Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

- ортогональная система функций в . Предположим, что

разложима в ряд по системе и он : (1)

,

.

Ряды Фурье по тригонометрическим системам.

Опр: Системы (1) и система

(2) будем называть тригонометрическими системами. Докажем

ортогональность для системы (1) на :

Опр: ортогональна на множестве, если .

а) , как интеграл от нечетн. функции на четном интервале.

б) .

в) (в силу нечетности произведения функций).

г) .

д)

Итак, какие две различные функции мы не возмем, они ортогональны, значит

система ортогональна на . Вычислим нормы элементов системы (1):

.

. . Итак:

.

Запишем тригонометрический ряд для произвольной функции. Ряд Фурье по

тригонометрической системе на :

Это ряд Фурье функции

по системе (1) на . Вычислим коэффициенты . Умножим

скалярно левую и правую части на 1: . В силу ортонормальности

системы (1) все отмеченные произведения равны 0, за исключением первого . Обозначим за . Для вычисления

умножим обе части на :

. В

силу ортогональности системы все отмеченные скобки равны 0, за исключением

предпоследней . Чтобы вычислить коэффициенты

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)