Лекции Русакова (1021002), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Так как а∈В, то А=В={1,2,3}.Пример 4. Доказать, используя тождества алгебры множеств, чтоA ∪ (B \ A) = A ∪ B.Решение. Используя тождества алгебры множеств, получаемA ∪ ( B \ A) = A ∪ ( B ∩ A ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ A ) = ( A ∪ B ) ∩ I = A ∪ B.Пример 5. Упростить выражение (A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ B ∪ C.Решение. Используя законы и тождества алгебры множеств, получаем:(A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ B ∪ C = [(A ∪ A ) ∩ B ∩ C] ∪ B ∪ C =I ∩ B ∩ C ∪ B ∪ C = ( B ∩ C) ∪ ( B ∩ C) = IПример 6.
Построить диаграммы Венна для множеств А, В, С, D⊂I,если А∪В⊂С∪D, A ∩ B ≠ ∅ , A ∩ D ≠ ∅ .Решение. Одно из возможных решение может быть представленоследующей диаграммой:35Пример 7. Опрос 100 студентов, изучающих иностранные языки,показал: английский язык изучают 29 студентов, немецкий –30, французский–9, только французский- 1, английский и немецкий – 10, немецкий ифранцузский – 4, все три языка – 3 студента. Сколько студентов не изучаютни одного языка? Сколько студентов изучают только немецкий язык? Прирешении использовать диаграммы Венна.Решение. Введем обозначения: I – множество всех опрошенныхстудентов; А – множество студентов, изучающих английский язык;Н –множество студентов, изучающих немецкий язык; Ф – множество студентов,изучающих французский язык (См. диаграмму Эйлера-Венна на рис.
1.1)Поусловиюзадачи( Í ∩ Ô ) \ ( À ∩ Ô ∩ Í ) =4-3=1;очевидно,чтоА ∩ Ф ∩ Н =3,тогда(А ∩ Н) = (А ∩ Ф ∩ Н) = 10-3=7. В такомслучае только немецкий язык изучают 30-7-3-1=19 студентов.Из условия задачи также следует, что (А ∩ Ф) \ (А ∩ Ф ∩ Н) = 9-1-1-3=4,а поэтому только английский язык изучают 29-4-3-7=15 студентов.
Тогдачисло студентов, не изучающих ни одного языка, будет равно36Рис. I \ (А ∪ Ф ∪ Н) = 100-(1+1+3+4+7+15+19)=50 студентов.Пример 8. Доказать аналитически: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) .Решение. Введем обозначения: D = (A ∩ B) ∪ C ; E = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) .а). Пусть x ∋ D , тогда имеет место либо x ∈ A ∩ B , либо x ∈ C .
Еслиx ∈ A ∩ B , тогда x ∈ A и x ∈ B и в таком случае x ∈ A ∪ C и x ∈ B ∪ C или,что тоже самое, x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) , т.е. x ∈ E . Если x ∈ C , тогда можнозаписать x ∈ A ∪ C и x ∈ B ∪ C одновременно. Откуда, очевидно, и в этомслучае x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) , т.е. x ∈ E .Итак, если x ∋ D , то x ∈ E . Следовательно, D ⊆ E.б). Пусть x ∈ E . Тогда x ∈ A ∪ C и x ∈ B ∪ C . Если x ∈ A ∪ C , то либоx ∈ A, либо x ∈ C. Но если x ∈ C , то (см. п.а) x ∈ D . Если же x ∉ C , тогдаx ∈ B. Из последнего следует, что x ∈ A и x ∈ B, т.е. x ∈ A ∩ B , или, чтотоже самое, x ∈ (A ∩ B) ∪ C , т.е.
x ∋ D .Итак, если x ∈ E то x ∋ D . Следовательно, E ⊆ D .Из пп. а и б следует, что D ⊆ E и E ⊆ D . Следовательно, D=E, т.е.(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) . Тождество доказано.Пример 9. Доказать, что для произвольных множеств А и В имеетместо соотношение A ⊆ B = B ⊆ A .Решение. Для доказательства используем метод от противного, т.е.предположим, что A ⊆ B иB ⊄ A . Тогда37Из А⊆В ⇒ если а∈А, то а∈В.(1)С другой стороны, из B ⊄ A ⇒ существует такой элемент а, что a ∈ B иa∉A⇒ a ∈B и a ∈A .(2)Но с учетом (1) и (2)a ∈ A и a ∈ B ⇒ a ∈ B и a ∈ B ⇒ a ∈ (B ∩ B) =∅,т.е.получилипротиворечие.Следовательно, предположение B ⊄ A ложно и поэтому B ⊆ A , т.е.A ⊆ B ⇒ B ⊆ A.Аналогичноможнопоказать,чтоB⊆A⇒A⊆Bи,значит,A ⊆ B = B ⊆ A , что и требовалось доказать.Пример 10. {(1,2), (2,2), (Иванов, Петров)} есть функция с областьюопределения {1, 2, Иванов} и областью значений {2, Петров}.Пример 11. {(1,2), (1,3), (2,5)} не является функцией, т.к. различныеэлементы (1,2) и (1,3) имеют одинаковую первую координату.Пример 12.
Множество {(a,b), (c,b), (e,d), (k,m)} есть функция, аподмножество этого множества {(a,b), (e,d)} является сужением этойфункции на множество {a,e}.Отображение R : X → X представляет собой отображение множества Хв самого себя и определяется парой (Х, R), где R ⊆ X 2 . В этом случае дляобозначения данного отображения используется термин отношение и вводятспециальную символику: yRx – у находится в отношении R к х.ПодмножествоR ⊂ A1 × A 2 × × A n называетсяn-местнымотношением между А1, А2, …..An. Если n=2, то R называется бинарнымотношением.Пример 13.
Множество {(3,4), (4,6), (7,9), (4,12)} будучи множествомупорядоченных пар натуральных чисел, есть бинарное отношение на N, где N– множество натуральных чисел.Отношение R называется ( R ⊂ A × A = A 2 ):38рефлексивным, если для любого a ∈ A имеет место a R a ;антирефлексивным, если ни для какого a ∈ A не выполняется a R a ;симметричным, если для пары (a , b) ∈ A 2 из aRb следует bRa;антисимметричным, если из aiRaj и ajRai следует, что ai=aj;транзитивным, если для любых a, b, c из aRb и bRc следует aRс.Отношение R называется отношением эквивалентности, если онорефлексивно, симметрично и транзитивно.
Обозначается символом ≡.Пример 14. Докажите, что отношение равенства «=» на любоммножестве является отношением эквивалентности.Решение. Действительно, для данного отношения выполняютсясвойства:рефлексивности(а=а);симметричности(а=в→в=а);транзитивности [(а=в и в=с) → а=с].Отношением предпорядка на множестве А называется отношениеR ⊂ A × A , если оно рефлексивно и транзитивно.Отношением порядка называется отношение, если оно рефлексивно,антисимметрично и транзитивно.Отношением строгого порядка называется отношение, если оноантирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.Пример 15.
Задано бинарное отношение R на множестве М={1, 2, 3, 4}.Является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным,транзитивным? Найти область определения δR, область значений ρR,обратное отношение R-1, пересечение и объединение отношений R и R-1R={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4).Решение.Отношение R, заданное на множестве М, называется рефлексивным,если для всякого х из этого множества хRх истинно. Заданное отношение неявляется рефлексивным, так как нет пар (2,2) и (3,3).39Отношение R, заданное на множестве M называется симметричным,если на этом множестве из xRy следует yRx.Заданное отношение неявляется симметричным, т.к., например, пара (1,2) ∈ R, а (2,1) ∉ R.Отношение R, заданное на множестве M называется антисимметричным, если на этом множестве из xRy и yRx следует x=y.
Заданноеотношение не является антисимметричным, так как ему принадлежат пары(1,4) и (4,1), но 1≠4.Отношение R, заданное на множестве M называется антирефлексивным, если для любого x ∈ M xRx ложно. Заданное отношение антирефлексивно, так как (уже было показано) нет пар (2,2) и (3,3).Отношение R, заданное на множестве M называется транзитивным,если на этом множестве из xRy и yRz следует xRz. Заданное отношениеявляется транзитивным, так как для любых двух пар (a,b) и (b,c) следует,что (a,c) ∈ R, где а, в, с ∈ М.Областью определения отношения R называется множество δR ={x| ∃(у)xRy}. Следовательно, областью определения R является двухэлементноемножество {1, 4}.Областью значений отношения R называется множество ρR={y|∃(x)xRy}. Следовательно, областью значений является все множество М={1, 2, 3,4}.Обратным1отношениемдляRназываетсяотношениеR-={(y,x)|(x,y) ∈ R}.Обратное отношение R-1={(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (1,4), (2,4), (3,4),(4,4)}.Пересечение R и R-1 равно R ∩ R-1={(1,1), (4,1), (1,4), (4,4)}.Объединение R и R-1 равно R ∪ R-1={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (4,1), (4,2),(4,3), (4,4), (2,1), (3,1)}.401.10.
Задачи для самостоятельного решения.№ 1.1. Пусть А={{1,2,3}, {1,3}, 1, 2}. Верно ли, что {1, 2}∈А?{1, 2}⊂A?№ 1.2. Перечислить элементы множестваA = {x | x =n, n=1, 2,…}.n2 + n + 3№1.3. Перечислить элементы следующих множеств:A = {x | x ∈ {{a , b}, {a , b, c}, {a , c, d }}};B = {x | x ⊂ {a , b, c, d}};C = {x | x ⊆ {a , b, c, d}}.№ 1.4. Перечислите все элементы множестваP ⊆ A = {{1, 2}, {3}, 1}.№1.5. Пусть А – произвольное множество. Что представляют собойследующие множества: A ∩ ∅ ? A ∪ ∅ ? A \ ∅ ? A \ A ?№ 1.6. Множество А состоит из натуральных чисел, делящихся на 4,множество В – из натуральных чисел, делящихся на 10, множество С – изнатуральных чисел, делящихся на 75. Из каких чисел состоит множествоA ∩ B ∩ C?№ 1.7.
Даны произвольные множества А, В, С такие, что:A ⊂ B и A ⊂ C;A ⊂ C и B ⊂ C.Чему равно A ∩ B ∩ C ? A ∪ B ∪ C ?№ 1.8. Даны произвольные множества А, В и С такие, что A ⊂ B,B ⊂ C . Чему равно A ∩ B ∩ C ? A ∪ B ∪ C ? A \ C ? C \ A ?№ 1.9. Даны множества:а). А={h,o,t} и B={t,o,o,t,h};б). A={r,e,s,t} и В={s,t,r,e,e,t}.Верно ли, что A ⊂ B ? B ⊂ A ? A = B ?41№ 1.10. Известно, что а). A ∩ B ∩ C = A;б).
A ∪ B ∪ C = A . Каковыследствия из этих уравнений?№ 1.11. Задано, что S={a1, a2, a3}, причем известно, что A ⊂ S , A={a1,a2}; B ⊂ S ,B={a2, a3};C ⊂ S ; C={a2}.Найти элементы следующихмножеств: A ∩ A; A ∩ B; B ∩ A; (A ∩ B) ∪ (B ∩ C).№ 1.12.
Пусть I={1,2,3,4,5}, X={1,5}, Y={1,2,4}, Z={2,5}.Найти множества:а) X ∩ Y ;б) (X ∩ Z) ∪ Y; в) X ∪ (Y ∩ Z) ; г) (X ∪ Y) ∩ (X ∪ Z);д) X ∪ Y; е) X ∩ Y; ж) X ∩ Y; з) (X ∪ Y) ∪ Z; и) X ∪ (Y ∪ Z);к) X \ Z; л) (X \ Z) ∪ (Y \ Z).№ 1.13. Пусть I={a,b,c,d,e,f}, A={a,b,c}, B={f,e,c,a}, C={d,e,f}.Найти множества:а) A \ C; б) B \ C; в) C \ B; г) A \ B; д) A ∪ B; е) B ∩ A; ж) A ∩ C;з) C ∩ A; и) C∆A.№ 1.14.
Даны два произвольных множества А и В такие, что A ∩ B = ∅.Что представляют собой множества A \ B и B \ A ?№ 1.15. Даны два произвольных множества С и D такие, что C ∩ D = ∅.Что можно сказать о множествах C ∩ D и C ∪ D ?№ 1.16. Дано произвольное множество Х. Найти множества: a ) X ∩ X;б) X ∪ X; в) X \ X; г) X \ X .№ 1.17. Какие из следующих утверждений справедливы:а) 0 ∈ ∅; б) ∅ = {0}; в) | {∅} |= 1; г) {{∅}} ∈ {{{∅}}}; д) | {{∅}} |= 2 ?№ 1.18. Сформулируйте следующее утверждение на языке множеств:даны множества А, В и С; определить множество, включающее в себя толькодва из этих множеств.№ 1.19. Решите предыдущую задачу при условии, что множества А, В иС взаимно не пересекаются.42№ 1.20. Даны множества V, W, Y, X и Z.
Определить множество,включающее по крайней мере два из множеств V, W, X и Y и невключающее Z.№ 1.21. Упростить выражения:A ∩ B ∪ B;(A ∪ B) ∩ ( A ∪ B) ∪ (A ∪ B);(A ∪ B) ∪ ( A ∪ B) ∩ (A ∪ B);[(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ D)] ∩ (A ∩ B ∩ C ∩ D ∪ I);(A ∩ B ∩ C ∩ D) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ (A ∩ B ∩ C ) ∪ (A ∩ B) ∪ B ∪(A ∩ B ∩ C ∩ D );(A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D );( A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ∩ D) ∪ ( A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ∩ D) ∪∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D) ∪ (A ∩ B ∩ C ∩ D );(A \ B \ B ∩ C) \ C ∪ D;(A ∪ A ∩ B ∪ A ∩ C) ∩ A ∩ B \ C;A \ B ∪ C \ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C;A ∪ A ∪ B ∪ B ∪ C \ A;A \ B ∩ C \ A ∩ B ∩ C ∪ A ∪ B ∩ C;A ∪ (A \ B) ∪ ( A \ B);A ∪ B ∩ B ∪ C \ B;( A ∪ A ∩ B ∪ A ∩ C) ∩ A ∩ B ∩ C ;(A ∪ B ∩ C) \ ( B ∪ C ∪ À ∩ B ∩ C) ∪ (A ∪ B ∪ C);( A ∪ ( B \ A ) ∪ A ∩ C) ∩ A ∩ C \ C .№ 1.22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
