Типовой расчет (Алгебра и геометрия математический анализ), 01 вариант (1016627), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Лз = 3 (3 11-1 1)-2 (2 11-1 5)+2 (2 1-3 5) = 36 36 12 3 3 12 Выпишем отдельно найденные переменные Х 24 х1=12=2 -24 х =12=-2 2 12 36 х = 2=3 3 12 Проверка. 3 2+2 -2+1.3 = 5 2 2+3 ° -2+1 3 = 1 2'2+1*-2+3 3 = 11 в) записать систему в матричной форме и найти ее решение с помощью обратной матрицы. Запишем матрицу в виде: г ~ г з г Вектор В: В = (5,1,11) Главный определить Л = 3 (3 3-1*1)-2 (2 3-1 ° 1)+2 (2 ° 1-3 1) = 12 Транспонированная матрица г г г 3 А' = з Алгебраические дополнения з 2 2 А А.
1 3 зз 2 2 А з Л„=(3 3-~ 1) =8 г 1 А,„= Л2 1 = -(2 3-! 2) = -4 3 2 з Лз,1=(2 1-3 2) =-4 3 2 А,з= 2 1 1 3 Л12 = -(2 3-1 ° 1) = -5 2 3 А,.з = 1 1 Л22 = (3'3-1'2) = 7 г Аз, = 1 1 Лз,2 = -(3'1-2'2) = 1 з Азз = г з Лз,з (3'1 1'2) 1 Лз.з = (3'3-2'2) = 5 л1з = (2 1-1 3) = -1 Обратная матрица 1 8 -5 -1 А 1= — -47 -1 12 -41 5 Вектор Х=А1 результатов Х В (8 5)+(-5 ° 1)+(-1 ° 1 1) (-4 5)+(7 1)+(-1 1 1) (-4 5)+(1 1)+(5 ° 11) 1 Х=— 12 24 -24 Зб Х=— 1 12 Решение Х = (2,-2,3) 24 х1 = /12=2 -24 х2= /12=-2 зб ХЗ /12 Проверка.
3 2+2 -2+1 3 = 5 2 2+3 ° -2+1 3 = 1 2 2+1 -2+3 3 = 11 Ответ; х1= 2, х2 =-2, хз =-3 Задача 3. В заданиях 3.1 - 3.30 найти все комплексне корни заданного уравнения. Отметить найденные корни на комплексной плоскости г -';гг +4=0 у=,ГЗ= .=,Гху+уй еп (-1)й+(,ГЗ) =г, ~д = — '=-,ГЗ= ф =~ . х 3 ' 2уг . 2уг1 Тогда — ! + д13г еа 2~сов — + у'яп — ) 3 3 ) 2уг 2уг -+2/руг -- +2Ы СОК +13!п 2 2 Отсюда по формуле Муавра т1 — 1-; — Чуг ю,гт получим 2 значения у- уг, . угу у-(1 . хГЗ ~ дГ2 д/б 1с=О -1+дГЗу = дГ2 сов — +1яп — = Г2 — +1 — ~ = +1 3 3) ~ь2 2 у 2 2 г-.
у-( 4уг . 4уг 1 г-( 1 . /3 1 дГ2 . чГ6 1с=1 -1+Ду =~г~ — + ~1п — )1=~г — — — — =-- — —— 3 3) ~ 2 2/,2 2 Дна числа =ь1 — 1 чхг: найдем модуль и аргументчисла: х=-1, у= — „ГЗ =Огеп,/х +у' = ~ — 1) +~ —.дГЗ) =2, ффусп — =~ГЗ~футп х 3 4гг . 4уг1 Тогда -1- дГ31 = 2 сов — +1яп — ) 3 3) 4уг 4уг + 2Ыуг + 2Ьг сов 3 +тяп 2 2 Отсюда по формуле муавра чг — 1чвг = Е получим 2 значения -1-дГ31 =дГ2 соя +1яп )=дГ2 — — +1 =- +1 2уг 2уг'1 ( 1 х/3 1 дГ2 .
~Гб 3 3) ~ г 2! г 5уг . 5уг1 г-(1 . чГ31 дГ2 . /6 — 1 — ГЗу = ~Г2 соя — +фяп — = д~2 — — г' — = — — 1— 3 3) 12 2! 2 2 Окончательно получим 4 решения ,Гг,/6,Гг,/6,Гг,Г6 Гг,Г6 г1 = — +1 —, гй =- — -1 —, гй =- — +1 —,:„= — -1— 2 2 2 2 2 2 2 2 Отметим найденные корни на комплексной плоскости 11 Сделаем замену дй = ~, тогда получим квадратное уравнение -2+2,/3 3-2-2,/Зу ~у+2~-р4сео.
Его корни ~, = = — 1+ /Зу, ~, = = — 1 — дГ31. г Тогда после обратной подстановки, получим ь=-1+Чаг И 'ю-1-Ч11 ИПИ юд-1гйаг, юд-1-Ча Запишем подкоренное значение числа в тригонометрическом виде. Дни числа =ь1 — 1+ '11: найдем модупь и аргументчисла: х=-1, Задача 4. В заданиях 4.1 - 4.30 решить матричные уравнения АХ = В и УА= В. А=( ~, В=~ Решение 1) АХ = В:~ А 'АХ = А'В:~ Х = А 'В 4 3 Найдем матрицу, обратную матрице А: с1е1 А = = 4-6=-2, тогда 2 1 2( — 2 Тогда 2 — 2 4 — 5 4 2 — 2"3 — 4"5 — 2" 2+4*4 2 — 26 12 (12 -6) 2) УА = В =-~ УАА ' = ВА ' ==.> У = ВА ' Тогда 2 — 5 4 — 2 4 2 — 5" 1 — 4*2 5*3+4 "4 2 б — 25 2 — 6 25 12 Задача 5.
В заданиях 5.1 - 530 решить найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, действующего в двумерном пространстве, если известна его матрица А в некотором базисе В = (е,;е,) . Решение Составляем характеристическое уравнение; 4 — Л вЂ” 3 =О, 2 — 1 — Л (4 — Л)~ — 1 — Л) — б=О=.~ — 4 — 4Л+Л+Л'+6=0=-:> Л вЂ” ЗЛ+2=0~ Л, =1,Л, =2 Имеем собственные числа Л, = 1,Л. = 2. Найдем для них собственные действительное число. Ответ: Собственные числа Л, = 1, Л„= 2, (3 собственные векторы г, =а(1;1), х, =а~ —;1 1,2 соответствующие им 13 векторы. (Зх — Зу = 0 Для Л, =1: =~х=у.
'12х-2у = 0 Следовательно х = а(1;1), действительное число (2х — Зу= о 3 Для Л, = 2: ( ==.> х = — у. (2х — Зу= О 2 Гз Следовательно г, = а ~ —;11, 1,2' )' где х - любое отличное от нуля где а - любое отличное от нуля .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
