Лекция 15 (1014401), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Покажем теперь решение подобных задач методом конечных элементов (вариационным подходом).
При расчете методом конечных элементов за неизвестные принимаются перемещения узлов по границам элементов, на которые расчленена вся конструкция.
Установим зависимость между перемещениями узлов треугольного элемента 
и действующими на узлы силами 
(см. рисунок).
Так как максимальная степень (по производным) уравнений (6.38) равна 2 (2m = 2), то минимальная степень интерполирующего полинома для этой задачи будет равна n = 2m –1 = 1. Поэтому примем, что перемещения любой точки внутри треугольного элемента зависят от координат точки линейно, т.е.:
Применяя первую формулу из (6.46) к узлам получим:
Отсюда определяем коэффициенты
, выражая их через координаты узлов. Аналогично, записав вторую формулу из (6.46) для перемещений v узлов, выразим 
через координаты узлов. Подставив найденные значения в формулы (6.46), получим:
Где
, а остальные коэффициенты получаются круговой перестановкой индексов i, j, m. Величина f представляет собой площадь треугольника, т.е.
Где 
означает определитель матрицы.
Имея формулы (6.47) для перемещений, можно по формулам Коши (6.44) найти деформации в точке пластины:
Где 
, а вектор 
– вектор перемещений узлов, т.е. 
.
Напряжения выражаются формулами (6.40) или в матричной записи:
.
Более компактно это запишется так:
, где
- матрица упругости (жесткости) элемента.
Вектор нагрузок:
и вектор перемещений узлов:
связаны известным уравнением 
.
Для установления интересующей нас зависимости, воспользуемся обозначением 
из формулы (6.42), полученной вариационным методом.
Так как 
, где 
– толщина пластины, 
– элемент площади, то считая постоянным и интегрируя, найдем для матрицы жесткости 
элемента формулу:
Где 
– матрица геометрии, – толщина пластины.
Матрицу жесткости можно записать в виде:
Если произвести перемножение матриц в формуле (6.48), то для коэффициентов 
получим:
Напряжения в пластине будут: 
Построение матрицы жесткости системы (пластины)
Пусть требуется найти напряженно-деформированное состояние плоской пластины (см. рисунок), находящейся под действием системы распределённых нагрузок, приложенных к её сторонам (нагрузки находятся в равновесии, т.е. суммарные силы от этих нагрузок соответственно по осям х и у равны нулю).
Для решения задачи методом конечных элементов разбиваем пластину на треугольные панели – конечные элементы и заменяем распределённые нагрузки сосредоточенными в узлах силами в виде компонентов по осям xи y.
Например, для i- го узла, лежащего на границе, такими компонентами будут силы Pxi и Pyi. Цифры 1,2,3 и т.д – номера узлов, при этом 1,2,3,5 – узлы, лежащие на внешней границы пластины, а узел 4 – внутренний, к которому внешние нагрузки не приложены.
В дальнейшем будем рассматривать узел iи примыкающие к нему конечные элементы Л, П и Н, обозначающие соответственно левый, правый и нижний конечный элемент.
В i – ом узле конечных элементов Л, П и Н действуют силы 
. Эти же силы будут действовать в обратном направлении и на узел i, вырезанный из пластины, но на него также действуют и внешние силы
. Из условия равновесия узла получим:
Такие условия равновесия можно составить для всех узлов пластины.
Условия равновесия в общей матрице будут:
, где 
- система сил, действующих в узлах конечного элемента I, записанная в столбце, содержащих 2n элементов; 
- система сил, действующих в узлах конечного элемента II и т.д.
Узловые силы в этой формуле могут быть определены как произведение матрицы жесткости на перемещения, т.е.
,только в соответствии с размером столбца сил, матрица жесткости должна быть записана как часть матрицы размером 2n х 2n, в которой 6 х 6 элементов соответствуют жесткости рассматриваемой части панели m в соответствующих ей строках и столбцах, а остальные элементы нулевые. Вектор 
представляет 2n всех перемещений узлов и имеет размерность2n.
Подставляя в условия равновесия в общей матрице получаем:
Где 
представляет суммарную матрицу жесткости пластины.
Таким образом, образовав матрицу жесткости пластины путём занесения в неё матриц жесткости треугольных элементов, получим систему уравнений (6.50), которая в развернутой записи имеет вид:
Чтобы исключить перемещения пластины как твердого тела, необходимо ввести условия закрепления пластины; если пластина закреплена в каких-то точках, то соответствующие перемещения нужно принять равными нулю и исключить соответствующие этим перемещениям строки и столбцы; если пластина закреплена по всей стороне, то следует приравнять нулю перемещения всех узлов этой стороны. Например, если пластина закреплена по левой стороне, т.е. закреплены узлы 1,3,5 и т.д., то нужно принять 
и исключить в системе уравнений строки и столбцы 1,2,6,7,10,11, 2n-1, 2n.
Из решения уменьшенной системы уравнений найдутся перемещения всех узлов, а по ним определяются узловые силы .
Напряжения в пластине будут:
МКЭ и МКР
Завершая рассмотрение МКЭ приведем его сравнение с МКР:
| Метод конечных разностей | МКЭ |
| Приближенный метод решения дифференциальных уравнений. | Приближенный метод решения задач,описываемых дифференциальными уравнениями. |
| Включает решение больших разреженных систем уравнений. | Включает решение больших разрешенных систем уравнений. |
| Постановка довольно проста, содержит мало выводов и выдач. | Постановка может быть достаточно сложной, с многочисленными вводами и выводами. |
| Обычно постановка задачи и структура программы не имеют ничего общего с физической задачей. | Метод очень физичен. Структура близка к действительной физической задаче. |
| Для решения каждой задачи составляется своя программа. | Позволяет создать универсальные программы. |
| Чтобы получить решение, достаточно описать задачу дифференциальным уравнением. | Требует достаточно высокой квалификации – опыта. |
| Обычно используются правильные сетки. Локальное сгущение сетки затруднительно. Трудно выбрать экономическую сетку. | Весьма велик выбор типов, форм и размеров элементов. Сгущение сетки не вызывает проблем. |
| Представление граничных условий связано с трудностями. | Представление граничных условий не вызывает затруднений. |
| Плохо приспособлен для решения задач с неоднородным и анизотропным распределением параметров. | Позволяет решать задачи с неоднородным и анизотропным распределением параметров. |
| Каждое решение применимо лишь для конкретной задачи - решения не допускают обобщения. | Каждое решение применимо лишь для конкретной задачи - решения не допускают обобщения. |
Приложение. Примеры использования вариационного подхода
Пример 1
Задача с кручением призматического стержня произвольного сечения сводится к решению уравнения в частных производных:
В области Ω при нулевом значении функции 
на контуре 
поперечного сечения.
Известно, что решение этой задачи эквивалентно отысканию функции , удовлетворяющей на контуре краевым условиям, и минимизирующей функционал будет:
При использовании МКЭ поперечное сечение стержня разбивается на совокупность конечных элементов, для каждого из которых составляется выражение, аппроксимирующее искомую функцию (x,y):
Подставляя последнее выражение в Э, интегрируя по площади e - го конечного элемента(e ) и дифференцируя полученное выражениеЭ((e )) по каждой из узловых неизвестных, получаем:
Или
Где:
Пример 2
Несколько иной подход – метод Бубнова – Галеркина.
Если записать общее выражение для функционала Э(U) затруднительно, а дифференциальное уравнение рассматриваемой задачи известно, то для построения матриц
и 
можно воспользоваться процедурой метода Бубнова - Галеркина:
От функцииU(x,y,z), входящей в подынтегральное выражение, требуется непрерывность во всей области вплоть до производных (2m-1) – го порядка.
Напомним, что при использовании вариационного способа для получения уравнений МКЭ достаточно было обеспечить непрерывность функции и ее производных доm – го порядка.
18
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
