Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Если это значение производной недостаточно близко к предыду­щему, то оно вводится в формулу коррекции и итерационный про­цесс продолжается. Если же производная изменяется в допусти­мых пределах, то значение используется для вычисления окончательного значения y_n+1, которое и выдается на печать. После этого процесс повторяется — делается следующий шаг, на котором вычисляется у_п+2.

Если дифференциальное уравнение y'=f(x, у) проинтегри­ровано в интервале значений от х_п до x_n+k, то результат примет вид:

Этот интеграл нельзя вычислить непосредственно, так как за­висимость у(х) заранее неизвестна. Приближенное значение интеграла можно найти с помощью одного из конечно-разност­ных методов. Выбор метода и будет определять метод решения дифференциальных уравнений. На этапе прогноза можно исполь­зовать любую формулу численного интегрирования, если в нее не входит предварительное значение у' (x_n+1).

Метод Милна

В этом методе на этапе прогноза используется формула Мил­на:

А на этапе коррекции – формула Симпсона:

Последние члены в обеих формулах в действительности в итерационном процессе не используются и служат лишь для оценки ошибки усечения. Метод Милна относят к методам четвертого порядка точности, так как в нем отбрасываются члены, содержа­щие h в пятой и более высоких степенях. Может возникнуть во­прос, зачем вообще нужна коррекция, если прогноз имеет чет­вертый порядок точности. Ответ на этот вопрос дает оценка от­носительной величины членов, выражающих погрешность. В данном случае погрешность усечения при коррекции в 28 раз меньше и поэтому представляет большой интерес. Вообще итерационные формулы гораздо более точны, чем формулы прогноза, и поэтому их использование оправдано, хотя и связано с дополнительными трудностями. Несмотря на то, что формула Милна содержит меньший числовой коэффициент (1/90) перед отбрасываемым чле­ном, ее используют реже, чем другие (с большими отбрасывае­мыми членами), так как ей присуща неустойчивость. Это означает, что погрешность распространения может расти экспонен­циально, причем этот вывод справедлив для всех формул кор­рекции, основанных на правиле Симпсона.

Метод Адамса — Башфорта

Этот метод также имеет четвертый порядок точности. Используемая в нем формула прогноза получена интегрированием обратной интерполяционной формулы Ньютона и имеет вид:

На этапе коррекции используется формула:

Расчеты по методу Адамса — Башфорта выполняются так же, как и по методу Милна, однако в отличие от последнего ошибка, внесенная на каком-либо шаге, не имеет тенденции к экспонен­циальному росту.

Можно предположить, что поскольку величина отбрасывае­мого члена известна, то её можно использовать для уточнения скорректированного значения зависимой переменной. Однако это было бы равноценно использованию системы более высокого порядка точности. Так как внесение поправок в корректирующий член может отрицательно сказаться на устойчивости счета, то для повышения точности счета следует прибегать к методам более высоких порядков точ­ности.

Метод Хэмминга

В методе Хэмминга используются следующие формулы:

• Прогноза

• Уточнения прогноза

• Коррекции

Это устойчивый метод четвертого порядка точности, в основе которого лежат следующие формулы прогноза:

И коррекции:

Особенностью метода Хэмминга является то, что он позволяет оценивать погрешности, вносимые на стадиях прогноза и коррек­ции и устранять их. Благодаря простоте и устойчивости этот метод является одним из наиболее распространенных методов прогноза и коррекции.

Краткая характеристика методов прогноза и коррекции

По сравнению с одношаговыми методами методы прогноза и коррекции имеют ряд особенностей:

1. Для реализации методов прогноза и коррекции необходимо иметь информацию о нескольких предыдущих точках: дру­гими словами, они не относятся к числу «самостартующих» ме­тодов. Для получения исходной информации приходится прибе­гать к какому-либо одношаговому методу. Если в процессе реше­ния дифференциальных уравнений методом прогноза и коррек­ции изменяется шаг, то обычно приходится временно переходить на одношаговый метод.

2. Поскольку для методов прогноза и коррекции требуются данные о предыдущих точках, то соответственно предъявляются и повышенные требования к объему и памяти компьютера.

3. Одношаговые методы и методы прогноза и коррекции обеспечивают примерно одинаковую точность результатов. Однако вторые в отличие от первых позволяют легко оценить погрешность на шаге. По этой причине, пользуясь одношаговыми мето­дами, величину шага h обычно выбирают несколько меньше, чем это, строго говоря, необходимо, и поэтому методы прогноза и коррекции оказываются более эффективными.

4. Применяя метод Рунге — Кутта четвертого порядка точности, на каждом шаге приходится вычислять четыре значения функции, в то время как для обеспечения сходимости метода прогноза и коррекции того же порядка точности часто достаточно двух значений функции. Поэтому методы прогноза и коррекции требуют почти вдвое меньше машинного времени, чем методы Рунге — Кутта сравнимой точности. Это обстоятельство может оказывать сильное влияние на выбор алгоритма, так как стоимость машинного времени может быть весьма высокой.

Выбор шага

Одним из важных практических вопросов, которые встают пе­ред инженером, составляющим программы решения дифферен­циальных уравнений, является выбор подходящей величины шага. Если шаг слишком мал, то расчет потребует неоправданно много машинного времени, а число ошибок на отдельных шагах, складывающихся в суммарную ошибку, будет весьма велико. Если же, наоборот, шаг выбран слишком большим, то значитель­ной будет локальная погрешность, обусловленная усечением ря­дов, и накопившаяся суммарная ошибка будет также недопусти­мо большой.

Обычно, выбирая величину шага, стремятся, чтобы локальная ошибка на шаге была меньше некоторой заданной допустимой ве­личины. Вообще говоря, если порядок точности метода n, то ло­кальная ошибка определяется выражением Chⁿ⁺¹, где С — некоторая постоянная, a h — шаг.

Если используется один из методов прогноза и коррекции, то ошибка на шаге часто определяется величиной последнего члена в формуле коррекции (см., например, раздел, посвященный методу Милна). При использовании же метода Рунге — Кутта локальную ошибку не удается выразить в столь явной форме.

Если для вычисления значения искомой функции y_j+1 в точке x_j+1 используется шаг h, то разность между истинным и вычисленным значениями равна .

Если уменьшим шаг вдвое и вычислим в точке , то получим:

Вычитая это выражение из предыдущего, найдем:

Отсюда можно найти локальную погрешность:

Недостатком этого метода является то, что значение при­ходится вычислять дважды. Так как, для того чтобы вычис­лить в точке , приходится делать два шага, каждый из которых равен половине исходного, объем вычислений увеличи­вается более чем вдвое. Тем не менее, эта процедура часто вклю­чается в вычислительный алгоритм для автоматического изме­нения шага в процессе вычислений и часто используется в мето­дах Рунге — Кутта. Если же ошибка на шаге при данной его величине слишком велика, то ее можно уменьшить, используя при вычислениях член более высокого порядка. Это, конечно, лег­че сделать в случае методов прогноза и коррекции.

Главные достоинства методов Рунге — Кутта — простота на­чала счета и возможность быстрого изменения величины шага в процессе вычислений. С другой стороны, главным достоинством методов прогноза и коррекции является простота оценки ошибки на шаге. Раньше считалось, что эти достоинства нельзя совместить в одном алгоритме. Однако в настоящее время разработаны высокоэффективные алгоритмы, позволяющие использовать пре­имущества обеих групп вычислительных методов. Такие гиб­ридные методы могут быть весьма полезны при решении инже­нерных задач.

«Жесткие» задачи

Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения не ре­шаются ни одним из рассмотренных выше методов. Чтобы понять, почему это так, необходимо четко представлять структуру реше­ния дифференциального уравнения. Постоянная времени диф­ференциального уравнения первого порядка — это промежуток времени, по истечении которого величина нестационарной части решения убывает в e^-1 раз. В общем случае дифференциальное уравнение n-порядка имеет n постоянных времени. Если любые две из них сильно отличаются по величине или если одна из постоянных времени достаточно мала по сравнению с интервалом времени, для которого отыскивается решение, то задача назы­вается «жесткой» и ее практически невозможно решить обыч­ными методами. В таких случаях шаг должен быть достаточно мал, чтобы можно было учитывать изменение наиболее быстро изменяющихся членов уравнения даже после того, как их вклад станет практически незаметным. Если не удается сохранить до­статочно малую величину шага, то решение становится неустой­чивым. Хотя трудности, связанные с обеспечением устойчивости решения «жестких» задач обычными методами, можно временно обойти, уменьшив величину шага, такой подход имеет два не­достатка. Во-первых, если величина шага очень мала по сравне­нию с интервалом, для которого отыскивается решение, то для получения решения потребуется очень много времени. Во-вто­рых, накапливающиеся в процессе длительных вычислений по­грешности округления и усечения могут привести к получению бессмысленного результата.

Так как с «жесткими» задачами мы сталкиваемся при решении важных задач управления, расчета электрических сетей, хими­ческих реакций и пр., то в последнее время много внимания уде­ляется разработке эффективных методов решения и таких задач.

6

Характеристики

Список файлов лекций