Лекция 3 - 4 (1014390), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Процесс создания наилучшей конструкции получил название оптимального проектирования или оптимизации.

Общие положения

Термином “оптимизация” обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить наилучшее решение. Методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции из всех возможных вариантов, и, хотя именно это является целью оптимизации, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. Поэтому под оптимизацией понимают, скорее, стремление к совершенству, которое, возможно, не будет достигнуто. При конструировании летательных аппаратов – чрезвычайно сложных технических объектов, функции и эффективность которых, как уже говорилось, оказывают влияние, выходящее за рамки их непосредственного применения и распространяющееся на сферы экономики и политики, оптимальное проектирование, как метод, играет важнейшую роль.

Любая абстрактная система описывается конечным числом параметров (величин), находящихся во взаимном взаимодействии. Это взаимодействие, как правило, описывается какими-либо соотношениями или уравнениями. Задача проектировщика состоит в нахождении таких параметров (величин), сочетание которых будет наиболее оптимальным по отношению к какому-то заранее выбранному критерию или критериям. Рассматривая некоторую произвольную систему, описываемую m уравнениями с n неизвестными, можно выделить три основных типа задач. Если m = n, задачу называют алгебраической. Такая задача обычно имеет одно решение и вопрос об оптимальном соотношении параметров здесь вообще не стоит. Если m > n то задача переопределена и, как правило, не имеет решения. Наконец, при m < n задача недоопределена и имеет бесконечное множество решений. В практике проектирования чаще всего приходится иметь дело с задачами третьего типа и поэтому перед разработчиком, как правило, стоит задача выбрать из этого бесконечного множества решений такое, которое наилучшим образом удовлетворяет какому-либо критерию. Прежде чем приступить к обсуждению вопросов оптимизации, введем ряд определений и понятий.

Начнем с того, что идеализированная конструкция должна быть описана конечной системой величин, относящимся к размерам самой конструкции и её элементов, топологии конструкции (отражающей взаимное расположение элементов относительно друг друга и в пространстве), характеристик материалов, из которых изготовлены элементы конструкции и т.п. величин.

Заданными параметрами являются те, описывающие конструкцию величины, которые принимают фиксированные, неизменяемые значения. При реализации процедуры проектирования и переходе от одного варианта к другому заданные параметры не меняются.

Проектные параметры или переменные проектирования – это те, описывающие конструкцию величины, которые изменяются с помощью преобразования конструкции в процессе её проектирования. Эти величины являются независимыми переменными, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования.

Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. Это могут быть неизвестные значения длины, времени, массы, температуры, затем соотношения типа, например, отношения длины к радиусу, и, наконец, комплексные характеристики, например, площади, объемы, цена и т.п. Число проектных параметров характеризует степень сложности задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через n, а сами проектные параметры – через x с соответствующими индексами. Таким образом, n проектных параметров конкретной задачи будем обозначать через x₁, x₂, x₃, …….x_n-1, x_n

Целевая функция – выражение, значение которого инженер стремиться сделать максимальным или минимальным. Целевая функция – это функция переменных проектирования, которая, являясь критерием качества конструкции, позволяет качественно сравнить два альтернативных решения. Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются критерии стоимости, веса, прочности и т.п. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (n+1)-мерную поверхность, значение которой определяется проектными параметрами:

M = M(x₁, x₂, x₃, …….x_n-1, x_n)

Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить в виде кривой на плоскости. Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений. При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Свойства поверхности целевой функции играют очень большую роль в процессе оптимизации. Если поверхность целевой функции гладкая, без резких «впадин» или «выпуклостей», то процесс поиска наименьшего или наибольшего значения целевой функции значительно упрощается. Если поверхность очень сложна, то задача оптимизации становится чрезвычайно трудоемкой, причем, зачастую не имеющей тривиального решения.

Целевая функция в ряде случаев может принимать совершенно экзотические формы. Например, её далеко не всегда удается выразить в замкнутой математической форме. В одних случаях она может представлять собой кусочно-гладкую функцию, а в других - задаваться таблицей каких-то технических данных. В ряде случаях проектные параметры принимают только целые значения. Например, в задаче подбора числа зубьев в зубчатой передаче или число ступеней ракеты в задаче проектирования ракетной системы. Иногда проектные параметры имеют только два значения – да или нет. Качественные параметры, такие как надежность, эстетичность трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их очень сложно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.

В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда эти целевые функции могут оказаться несовместимыми друг с другом. Примером может служить проектирование самолётов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях приходится вводить систему приоритетов и ставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель, отражающий разработанную систему приоритетов. В результате формируется функция «компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.

Пространство проектирования. Область, определяемая всеми возможными значениями n параметров проектирования. Пространство проектирования ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы - ограничения-равенства и ограничения-неравенства.

Ограничения-равенства – это зависимости между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Если какое-либо из таких соотношений можно разрешить относительно одного из проектных параметров, то это позволяет исключить данный параметр из процесса оптимизации. Тем самым уменьшается число измерений пространства проектирования и упрощается решение задачи.

Ограничения-неравенства указывают некоторые зависимости между проектными параметрами, но только в виде неравенств. Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями такого типа оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхности имеют нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.

Локальный оптимум это точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее (наименьшее) значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. Обычно пространство проектирования содержит много локальных оптимумов. Следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.

Глобальный оптимум – есть оптимальное решение для всего пространства проектных параметров. Оно лучше всех других решений, соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования.

Поиск минимума и максимума. Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие – для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи можно пользоваться по сути одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный.

Последовательность решения задач оптимального проектирования

Решение задач оптимального проектирования обычно включает два этапа:

1. Определяется и исследуется пространство проектирования с целью нахождения области минимального (максимального) значения целевой функции. Это делается для выделения области глобального оптимума и производится обычно простейшими средствами - просчетом пространства параметров с каким-то шагом для проектных параметров. В результате анализа результатов счета получают значения проектных параметров (соответствующих оптимуму), являющихся исходными для следующего этапа.

2. Используются математические методы поиска оптимума. На этом этапе составляются (или используются готовые) достаточно сложные и более точные программы поиска минимума или максимума целевой функции, работающие по специальным алгоритмам.

Для начала работы этих программ необходимо назначать начальные значения проектных параметров. Изменяя параметры согласно этим специальным алгоритмам, программа находит оптимум с необходимой точностью.

Приведем пример постановки и решения задач оптимального проектирования 9.

Рассмотрим шарнирно опертый тонкостенный цилиндрический стержень, схематически изображенный на рис. 2.3.

Стержень нагружен силой Р = 22,3 кН. Длина стержня = 2,54м, модуль упругости Е=7·10⁷кПа, плотность материала ρ=2770кг/м³. Все перечисленные величины являются заданными параметрами. В качестве независимых переменных проектирования (проектных параметров) принимаются средний диаметр d цилиндрического стержня и толщина δ его стенки. Задача сводится к отысканию таких значений d и δ, чтобы вес стержня был минимальным, т.е.

(целевая функция),

при условии выполнения требований по геометрическим ограничениям

d ≤ 0,9м , δ ≥ 0,001м и d/δ ≥ 10,

и по ограничениям прочностного характера

Поясним ограничения. Первое из них d ≤ 0,9м может появиться из-за необходимости избежать слишком большого диаметра цилиндрического стержня. Второе δ ≥ 0,001м - чисто технологическое ограничение (не будем забывать, что всё, что мы получим, надо будет ещё и изготовить). Третье ограничение d/δ ≥ 10 появилось из-за стремления удержать конструкцию в пределах применения используемых прочностных формул.

Ограничения прочностного характера также требуют пояснений. Очевидно, что под действием сжимающей силы Р стержень может потерять устойчивость, причем как общую (стержень изогнется), так и местную (тонкостенный стержень покоробится). Понятно, что в процессе оптимизации следует следить за тем, чтобы действующие напряжения не превышали критических напряжений общей потери устойчивости (подсчитанных по формулам Эйлера) и местной потери устойчивости, подсчитанных по полуэмпирической формуле .

Таким образом, мы имеем задачу на поиск минимума функции двух переменных с пятью ограничениями в виде неравенств. Решить её аналитически невозможно, но можно выявить пространство проектирования средствами графической интерпретации (прежде всего, в силу того, что задача описывается только парой переменных), а затем найти оптимальные проекты путем визуального анализа графиков в пространстве переменных проектирования. Область всех возможных положительных значений d и δ, показанная на рис.2.4. относится именно к двухмерному пространству переменных проектирования. Поясним рисунок.

Характеристики

Список файлов лекций