Вибрационное горение Раушенбах Б.В. (1014147), страница 83
Текст из файла (страница 83)
27) и (52.28). Для других точек, лежащих на границе устойчивости, частоты в отличаются от частот, определяемых выражением (52.27). Если оставаться в пределах значений г, показанных на рис. 112, то для крайних точек эти частоты будут отличаться от частоты, соответствующей г=0,5 на ь 10~/о (для верхней ветви границы устойчивости онн будут меньше, для нижней — больше). Поскольку, как это видно из приведенного примера, в довольно широком диапазоне изменений г возбужденные частоты близки к величинам, даваемым формулой (52.27), последним выражением можно пользоваться для приближенной оценки частот колебаний. Изображенная на рис.
112 кривая не является единственной границей устойчивости в плоскости параиетров (г; т„). Действительно, если обратиться к выражению (52.19), то сразу видно, что если для него существует 490 част!!Ык с.!ъ '!лп !'хмозозвуждкгн1Н !гл. Х хотя одно решение т„; о!*, то на его основе можно построить бесчисленное множество решений следующими двумя путями. Во-первых, не изменяя г и ничего не меняя в правой части равенства (в топ числе и ю*), можно сразу утверждать, что если решение существует для некоторого т„, то оно будет существовать и для всех т„=т,*,+, '" (Х=1, 2, 3, ...).
(52.29) Во-вторых, можно поступить следующим образом. Полагая Х = сове! н сохраняя г, изменим аргументы входящих в коэфф!щненты Ь и с тригонометрических функций следующим образом: о)та го та а (52.30) ' = —,ю =,,ю*+ 2(К вЂ” 1) н (К= '1, 2, 3, ...).
Здесь, как н в предыдущем случае, е!е,— частота, соответствующая К=1 (первой гармонике), а !е — частоты для всех гармоник. Приведенное здесь рассуждение можно приложить к каждой точке границы устойчивости, изображенной на рис. 112. Следовательно, всю границу можно перестроить и получить бесчисленное множество областей неустойчивости для всех комбинаций К и Х. Соответствующее построение для нескольких комбинаций значений К и Х приведено на рис. 114.
Как видно из приведенной диаграммы, увеличение К опускает область неустойчивости, в то время как увеличение Х поднимает ее. Если взять все возможные комбинации значений К и Х, то практически вся область, лежащая справа от штриховой линии г=-0,5, будет заполнена областями неустойчивости. Следовательно, при г ) 0,5 н при любом тв (кроме, конечно, та =О) колебательная система способна к возбуждению. В зависимости от т„ и г это будет касаться той илп иной гармоники пли сразу нескольких гармоник. 1 аз1 колввлния в жидкостных двиглтилях 491 До сих пор рассматривался почти исключительно тот случай, когда фронт горения расположен в непосредственной близости от головки двигателя.
Единственным исключением было построение диаграммы устойчивости на рис. 113, которая остается справедливой для произвольного расположения фронта горения по длине камеры сгорания. При обсуждении указанной диаграммы говорилось, в частности, что в узле давления возбуждение системы М'=4йх у У г г Рзс. 1!4. Областп неустойчивости длн двух гар- мон~н системы. невозможно. Поэтому следует проанализировать более подробно вопрос о склонности рассматриваемой колебательной системы к самовозбуждению в зависимости от положения фронта горения по длине камеры сгорания двигателя. Чтобы осуществить такой анализ, следует пользоваться точными соотношениями для фронта горения (52.11), а не приближенными (52.22).
Это связано с тем, что по мере перемещения к узлу давления (т. е. по мере уменьшения абсолютных величин р, и р, и увеличения и, и и,) пренебрежение членом, имеющим множителем нт во втором равенстве (52.7), является незаконным. Действительно, 492 частнын случаи слмовозвь ждвния [гл. Х условие р,=р„которое заменяет второе уравнение (52.7) в соотношениях (52.22) (в них, кроме того, полагается г, =за=О), можно рассматривать как приближенную запись второго равенства (52.7) при г,=О, поскольку 1 —,р 1. Однако прп рз — ь О и р;ь О такое утверждение становится ошибочным'). Выше было поназано, что возбуждение продольных акустических колебаний в жидкостных реактивных двигателях существенно связано с двумя параметрами: г и т„.
Приступая к анализу влияния на самовозбуждение колебаний относительного расстояния фронта горения от головки двигателя ~й, надо условиться о предположениях, которые будут сделаны относительно г и т„. Величина г будет задаваться и оставатьсн постоянной. Параметр т„будем считать переменным и выбирать его так, чтобы соз штя= — 1.
Если выбирать ти из написанного условия, то будут обеспечиваться наилучшие условия для возбуждения колебаний. Это видно, например, из того, что при соз штя= — — 1 вектор т на диаграмме рнс. 113 располагается горизонтально (фазы т н р будут совпадать) и поэтому возбуждение системы окажется воз- ') В этом пуанте в упоминавшейся книге Кровно и Чжена (а также в статьях пааванных авторов в периодической литературе) допускается неточность. Они пользуются приближенным соотношением типа (62.22) для произвольного положения фронта горения и делают ряд упрощающнх предположений, законность которых не вполне ясна.
В результате полученные нми границы устойчивости (фиг. 29 названной книги и ряд других) вызывают сомнение. Это видно, в частности, из такого примера. Рассмотрим устойчивость основного тона при положении фронта горения в середине камеры сгоразшя, т. е. в узле давления. Если пользоваться соотношением типа (62.22), то это даст р,=р,=О и с,=с,, или (учитывая, что л=( и т=() ОЕ=О и ОХ=О (см. формулы ((7Л)). Тогда в системе без потерь типа рассматриваемой в настоящем параграфе будут нейтральные колебания. Это подробно показано в 1 22 при обсуждении равенства (22.6). Следовательно, при положении фронта горения в середине камеры сгорания система будет на границе устойчивости. В книге же Кровно и Чзкена такому положению фронта горения соответствует устойчивость. Надо заметить, что возможные уточнения могут изменить лишь количественную, но не качественную сторону выводов Крокко и Чжена.
колнвания в жидкостных двигатклях 493 $521 можным при минимальной абсолютной величине т. Если указанное условие выполнено, а г=0,5, то частоты колебаний даются формулой (52.27), т. е. совпадают с «естественными» акустическими частотами. Поскольку ниже будут рассматриваться сравнительно близкие к 0,5 значения г, то и частоты колебаний должны быть близкими к частотам (52.27). Таким образом, ниже будут рассмотрены колебания с частотами, близкими к обычным акустическим частотам, и при таких т„, которые в известной мере наиболыпнм образом содействуют возникновению автоколебаний, Пусть г ) 0,5.
Тогда при положении фронта горения у головки колебательная система будет возбуждаться (это видно из рис. 114). Начнем перемещать фронт горения от головки и найдем положение, прн котором само- возбуждение станет невозможным. Напишем выражение для потока акустической энергии, излучаемой зоной горения, и приравняем его нулю. При сделанных предположениях он будет равен 2 (Рзо~'ю .Рю"ы) = ~ (аьРщ~+аз~~~) =О, (52.31) где а, и а, — численные коэффициенты, которые легко получаются при почленном скалярном перемножении равенств (52.11), приведенных к виду (52.14), друг на друга с учетом того, что при ~~„=йот„, взятых по оговоренному выше условию, 1 — е "из= 2. Величины р,', и ю,', связаны равенством (45.6) и поэтому абсолютные величины рд и о,е могут быть записаны прн помощи формул (45.7).
Тогда равенство (52.31) сведется к следующему уравнению относительно параметра ~р, определяющего положение сечения Х вдоль стоячей волны акустических колебаний: а, сов' ~р + а з(п' ~р = 0 аз + (аэ — а,) з)в~ ~р = О, 494 чАстные случаи слмовозвь"~кдения [гл. х откуда з1п~р= ~I (52.32) Построим для упоминающегося выше численного примера зависимость гр от г (козффициент а, является фуккцией >). Результаты расчетов можно представить следующей таблицей: 0,75 О, 50 2,00 Ц25 Чтобы придать атому расчету наглядность, на рис. 115 изображена зпюра стоячей волны давления и скорости )ггт(гВ 125 Рис.
115, Эпюры стоячих воли давления и скорости в области неустойчивости для различяых г. при изменении 19 от О до я н положения найденных сечений на ней. Как видно из диаграммы, по мере унеличе- о Л о — л 0,35 2,79 — 0,35 — 2,79 0,59 — 0,59 — 2,53 0,71 2,43 — 0,71 — 2,43 полквмшн н жидкостных двигателях 495 ння з увеличиваются области неустойчивости в окрестностях ~р=О и ~р= и.
Зто означает для первой гармоникп, что неустойчивость будет возникать в двух случаях: прп положении фронта горения у головки п прп положении его у сопла. Пользуясь найденными величинами, Ул Рнг. Нб. Диаграмма распределения областей неустойчивости Лля первых четырех гармоник, и зависимости от положения плоскости горения но длине камеры сгорания. можно построить диаграмму распределения зон устойчивого и неустойчивого процесса, в зависимости от положения фронта горении по длине трубы, наподобие диаграмм рпс.
48. Поскольку слева и справа от зоны горения тохшература газов одинакова, частота гармоники не будет изменяться прн смещении плоскости горения вдоль камеры двигателя. На каждой стоячей волне можно отмстить точки, соответствующие приведенным в таблкце значениям параметра гр. В таком случае, отмечая, как и в предыдущих главах, области неустойчивости прямыми линиями, легко построить диаграмму, приведенную на рнс.
116, для какого-либо зафиксированного значения г, Из диаграммы на рис. 116 видно, что если процесс в камере сгорания склонен к вибрационному горению, то оно должно наступить вне занпспмостп от положении 496 чАстные случАи сАмовозвуждения [га. х зоны горения по длине камеры сгорания. Разница будет заключаться лишь в том, что в зависимости от координаты фронта горения 0 < ~ < 1 будет возбуждаться та или иная гармоника. Чтобы ввести дополнительную ясность в этот вопрос, напомним, что в настоящем параграфе рассматривается система без потерь. Если написать краевое условие у сопла более строго, с учетом градиента скорости в нем, то, как показано в книге Кровно и Чжена, демпфирующее влияние сопла будет возрастать с увеличением частоты колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
