1 (1014108), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ю 2 Учитывая, что (л 1 !) (л !)ла з!п'а И 2Л' и Лз= Л„+ Ля, где Лз — — Л з!паап приходим к уравнению 3 2 2 2 2 — Л,+Л =1. Л+)г в 118 Таким образом, зависимость а (Л) в полярных координатах (Л, а ) выражается уравнением эллипса. данна малой полуоси эллипса Гл+ ! равна 1, длина большой полуоси равна У Расположим эллипс в плоскости годографа (рис. 3-23). Отрезок, соединяющий центр О с некоторой точкой на дуге эллипса Е, определяет в масштабе построения вектор скорости Л.
Угол между вектором Л и большой полуосью эллипса равен ам. Очевидно, что большая полуось ОМ при этом дает направление характеристики в поле потока, а малая полуось 01. — направление Ф характеристики в плоскости годографа. Следовательно, отрезок гН, параллельный ОЕ, является касательной к характеристике в плоско- хсти годографа в точке Р. я Проведя в нескольких точках )НЗ эллипса отрезки, параллельные ма. лой оси, и поворачивая эллипс вокруг центра О, мы можем построить группу характеристик первого семейства в плоскости годографа РГД Р РР и т. д. Так как пРн повоРоте эллипс Р с 323 " остро н ю харак- проходит через каждую точку теристик в плоскости годографа кольцевой области двалсды, то легко нанести и другую группу эпициклоид, составляюшнх второе семейство характеристик (пунктирные кривые на рнс. 3-23). Характеристики второго семейства являются зеркальным отображением характеристик первого семейства.
Годогрзф скорости можно также получить путем качения без скольжения окружности радиусом — ! У вЂ” — 1) по внутренней 2')У й — 1 окружности кольцевой области (штрих-пунктирная окружность на рис. 3-23). Диаграмма характеристик в плоскости годографа используется для приближенных расчетов плоских сверхзвуковых течений. С этой целью в плоскссти годографа наносят отрезки характеристик двух семейств на одинаковом и достаточно малом расстоянии друг от друга. Для практического использования достаточна часть кольцевой области, расположенная в секторе с углом 70о. Каждой эпициклоиде присваивается определенный номер.
Заметим, что любая окружность в плоскости годографа представляет собой линию постоянного модуля скорости, а любой луч, идущий из центра О, определяет направление 119 лй лл б,) 120 121 вектора скорости в данной точке (рис. 3-24). Внутренняя окружность разбивается на градусы; отсчет угла ведется от горизонтальной осн плоскости годографа (положительные угльг откладываются вверх, а отрицательные — вниз). Каждой эпициклоиде приписывается номер, показывающий угол луча, продолжением которого служит рассматри- Рис.
3-24. Обозначения характеристик и окружностей (ливий 1с = сонат) в диаграмме характеристик. ваемая эпициклоида (рис. 3-24). Эпициклоиды первого семейства, идущие вверх, имеют индекс 1 (10„20„о0, и т. д.), идущие вниз обозначены соответственно индексом 2(10„ 20„30, и т. д.). Окружности (линии л=сопз1) также обозначены определенным номером. При ускорении от Х =1 до заданного значения Х поток отклоняется на определенный угол й, который можно найти наложением двух лучей, пересекающих характеристику на окружности радиуса й = 1 и на окружности радиуса л (рис. 3-24). Вдоль окружности угол отклонения а сохраняет постоянное значение; он равен полусумме номеров эпициклоид двух семейств, пересекающихся на данной окружности.
Если номера эпициклоид' обоих семейств уменьшаются или увеличиваются на одну и ту же величину, то соответствующая нм точка в плоскости годографа перемещается вдоль окружности. Каждая окружность в диаграмме характеристик обозначена номером, показывающим сумму номеров эпицнклоид (имеющих разный знак ( )) нли разность номеров эпициклоид [имеющих одинаковый знак (+ или — )), пересекаю- ра Рис.
3-25. Примср расчета сверхзвукового потока вдоль криволинейной стенки методом характеристик. а п в †плоскос потока; 6 — пласкасгь Гадагркфк скорости. щихся на данной окружности, и равным удвоенному углу отклонения потока при расширении от к=1 до к, отвечающему рассматриваемой окружности. Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие методику пользования диаграммой характеристик. Так, на рис, 3-25,а показано обтекание выпуклой криволинейной стенки плоским сверхзвуковым потоком. Для приближенного расчета потока заменим плавную линию стенки АВС0 ломаной линией; каждый отрезок этой линии (АВ, ВС, СВ) поворачивается на одинаковый угол, равный, например, 5о. Перед характеристикой Атп, известны скорость потока хт = 1,227 и соответствующий угол и„, = =50о37г. В плоскости годографа (рис.
3-25,5) этой харак- теристике отвечает точка А', которая в диаграмме харак" теристик может быть выбрана произвольно на окружности 10, соответствующей скорости Х, = 1,227, Возьмем эту точку на пересечении характеристик ' +Ь вЂ” о 3 Прн переходе в область П поток отклоняется на угол 5'. Следуя вдоль характеристики +5, в плоскости годографа, находим окружность, проходящую через точку В' (номер окружности равен 15 — сумме 5 и 10), и соответствующие скорость в области !1 2, = 1,344 и угол а = 42'54'. Переходя в область 111 и далее в область !1г, последовательно находим в диаграмме характеристик точки С' и Р' и соответствующие скорости потока Х, и Х„а также а и а Совершенно аналогично может быть произведен расчет течения около вогнутой стенки (рнс.
3-25,в). Если скорость перед Рт, равна 2, = — 1,539, а углы поворота отрезков РС, СВ, ВА одинаковы и, как и в случае «а>, приняты равными 5с, то изменения скорости и нйправления потока в областях 1, 11, 111 и 1Р' находим по диаграмме характеристик, переходя вдоль зпицнклоиды+5, от точки Р' к точке А'. 3-В. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ На рис. 3-26 представлена схема пересечения двух волн разрежения, образующихся благодаря поворотам стенок канала на углы о, и соответственно е,. Так как угол оа~Л„то волна ВСР имеет меньшую интенсивность по сравнению с волной АСЕ. Если припять, что во всех точках области 1 скорости одинаковы, то первые характеристики ЛС и ВС имеют одинаковый угол наклона к линиям тока невозмущенного течения.
В области П устанавливается давление, которое может быть определено по формулам З 3-6. Правее характеристики АЕ давление р, будет меньше, чем р„так как поток проходит более интенсивную волну разрежения АСЕ. В зонах 11 и 1П линии тока принимают направление, параллельное стенкам ЛА, и ВВ,. Вслед за тем линии тока еще раз пересекают участки волн разрежения Р)КР и ЕРСН, которые являются продолжением волн ЛСЕ и ВСР, При этом давление потока снижается до р„а скорость соответственно увеличивается (Х„,)2ш) Х„) Х,). 122 П и пересечении волн Р1КЕ и ЕГСВ линии тока отклоняются в противоположных направлениях, при этом линия тока а — а поворачивается на больший угол, чем линия тока 5 — 5. Правее КЕО линии тока имеют одинаковое направление и отклонены на угол Ьэ=-о, — е, от первоначального направления, так как пересекающиеся волны а! Рис.
3-26. Взаимодействие двух волн разрежения. имеют различную интенсивность. Результативное отклонение потока происходит в том направлении, которое диктуется более мощной волной, в данном случае волной ЛУКА. Параметры потока за системой пересекающихся волн (область 1Г) могут быть определены по формулам, приве- енным в предыдущих параграфах.
Построение спектра дени м течения и определение параметров в зоне пересекающихс я волн можно осуществить с помощью диаграммы характеристик. 123 Рассмотрим пересечение двух пар характеристик (рис. 3-26,6), причем параметры и направление потока в области 1 будем считать заданными. Величина и направ- ление скорости в этой области определяются в той точке- плоскости годографа, в которой пересекаются эпициклоиды двух семейств. Пусть для рассматриваемого примера число Х в области 1 равно 1,522 и соответствующие эпициклоиды имеют номера + 20, и — 20, (- — ') (номер окружности 40). +203 з ',: 20,,) Направление потока в области 1 совпадает с направлением луча 0 (см.
диаграмму характеристик). При переходе в область П поток пересекает характеристику Ь„ причем мы предполагаем, что при переходе через эту характери- стику угол отклонения потока составляет 1с. Тогда, пере- мещаясь вдоль эпициклоиды 20, находим в плоскости го- дографа точку, отвечающую состоянию потока в области П (-'; + 22, '). Аналогично находим величину и направление ско- — 20, рости в зоне П1 после пересечения характеристики а,. Соответствующие эпициклоиды имеют номера+ 22, и + 22з т — 21,(+ '11. При переходе в область Л2 отклонение по- 1 тока происходит в противоположном направлении иа ту же величину (1с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
