5CAD-CAE-05-06 Проектир-ие и констр-е (1013988), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Сопоставив характер изменения этих функций a-a, b-b и c-c с областью допустимых значений переменных проектирования, можно легко обнаружить оптимальный проект. Он соответствует точке m, в которой d = 0,078м , δ= 0,001м и G = 17,6Н.

В данном примере оптимальный проект конструкции минимального веса приходится на точку пересечения кривой ограничения потери устойчивости по Эйлеру (кривая σ_э – σ =0) и нижнего предела толщины стенки δ= 0,001м. Однако, если пределы геометрических ограничений изменить таким образом, чтобы d ≤ 0,12м и δ ≥ 0,0003м, то оптимальный проект конструкции минимального веса будет соответствовать точке n (d = 0,001м , δ= 0,0005м и G = 10,8Н). Существенным моментом, который ясно виден на этом примере, является то, что при первоначальной постановке задачи оптимизации, вообще говоря, не было известно, какие из ограничений в форме неравенств станут критическими ограничениями (в форме равенств) для оптимального проекта. Приведенные выше результаты могут привести к заключению, что хотя мы не в состоянии заранее сказать, какое из ограничений станет критическим, оптимальный проект всегда соответствует точке соответствующих кривых в области переменных проектирования. Такое утверждение, однако, нельзя считать обоснованным, так как в общем случае функции ограничения и целевая функция являются нелинейными функциями, и оптимальный проект может оказаться и не на границе.

Ещё раз обратим внимание, что решение данной задачи удалось получить только благодаря малому количеству переменных и простоте формул, по которым подсчитывались целевая функция и ограничения.

В подавляющем большинстве случаев даже нахождение области допустимых значений и района наиболее вероятного экстремума представляет собой непростую задачу, а последующее нахождение самого оптимального решения становится невозможным без применения численных методов оптимизации, простейшими из которых являются методы одномерного поиска.

Задача одномерной оптимизации (с одним проектным параметром) можно поставить следующим образом 8.

Значения проектного параметра x должны быть заключены в интервале [а,в]. Приступая к решению задачи, мы ничего не знаем о характере изменения целевой функции Y(x), кроме того, что она унимодальна, т.е. имеет в рассматриваемом интервале только один минимум или максимум. Интервал [а,в значений x, в котором заключен оптимум, будем называть “интервалом неопределенности”. В начале процесса оптимизации этот интервал имеет длину b-a. Степень достижения минимума (максимума) определяется точностью Е.

Различают точность E_x достижения минимума (максимума) по проектному параметру и точность E_y достижения минимума (максимума) по целевой функции. Первый случай характерен при конструировании, когда необходимо точно определить оптимальное значение какого-либо конструктивного параметра (например, радиус отсека ЛА, высоту полки лонжерона и т.п.). Второй случай используется чаще всего при предварительном проектировании, когда необходимо определить минимально (максимально) возможное значение целевой функции для последующего принятия решения о целесообразности проектирования в выбранном направления (например, определить минимально возможную массу конструкции при заданном конструктивно-силовом исполнении).

Для решения подобных задач разработано большое количество довольно простых и эффективных методов (простого перебора, деления интервала неопределённости пополам, золотого сечения, Фибоначчи и множество других).

Но, конечно, в практике проектирования сложных технических систем задачи одномерного поиска почти не встречаются. Здесь обычны многомерные задачи с ограничениями в виде равенств и неравенств, решение которых представляет значительные трудности.

Теория оптимального проектирования получила в последнее время значительное развитие в связи с решением стоящих перед механикой важных задач снижения материалоемкости конструкций и улучшения их механических характеристик. Расширились и сами представления о наилучших, в том или ином смысле, конструкциях и условиях их функционирования. Были разработаны методы численной оптимизации, позволяющие эффективно оценивать чувствительность основных характеристик конструкций к изменениям параметров проектирования и анализировать способы формирования оптимальных решений. Достигнутые результаты позволили, в частности, широко использовать методы оптимизации в системах автоматизированного проектирования.

Специализированные САПР, предназначенные для решения задач проектирования силовых конструкций, получили в настоящее время широчайшее распространение и являются основным инструментом решения сложных проектировочных задач.

Рассматриваемые в теории оптимального проектирования задачи заключаются в определении формы, внутренних свойств и условий работы конструкций, доставляющих экстремум (минимум или максимум) выбранной характеристики конструкции при ряде дополнительных ограничений.

Строгая постановка задачи оптимизации конструкций включает формулировку основных определяющих уравнений (выбор модели), оптимизируемого функционала, ограничения на функции состояния и искомые управляющие переменные. С математической точки зрения эти задачи могут быть классифицированы в зависимости от типов рассматриваемых уравнений и граничных условий, размерности задачи, полноты информации (задачи с полной и неполной информацией), характера экстремума (одноэкстремальные и многоэкстремальные задачи) и способа определения оптимума (однокритериальные и многокритериальные задачи) и других обстоятельств.

Классическая постановка задач оптимального проектирования широко известна. Существенным элементом постановки задачи является, как уже отмечалось выше, выбор механической модели. Сначала выбираются переменные состояния и уравнения L (x, u, h, q)=0, связывающие эти переменные с физическими и геометрическими параметрами конструкции и внешними воздействиями.

Здесь и={u₁(x),…,u_m(x)} — вектор функция, определяющая состояние конструкции. Независимая переменная x={х₁,…, x_l} принимает значения из некоторой области . Через L обозначен дифференциальный оператор по пространственным координатам x_i. Данное равенство можно рассматривать как систему дифференциальных, в общем случае нелинейных, уравнений. L зависит также от вектор-функции проектирования h={h₁(x),...,h_n(x)} и вектор-функции внешних воздействий q. Предполагается, что граничные условия, определяющие способ закрепления и нагружения конструкций, включены в оператор L.

Система уравнений при заданных нагрузках и параметрах конструкции должна быть замкнутой и определять переменные состояния, характеризующие напряженное и деформированное состояние конструкций. Отыскание состояния при заданных функциях проектирования будем называть прямой задачей.

Если уравнения, определяющие состояние конструкции, являются отражением физических закономерностей, то выбор переменных проектирования рассматриваемых функционалов, в том числе оптимизируемого функционала (критерия качества) и системы ограничений, диктуется назначением и условиями работы конструкции, технологическими возможностями ее создания.

Функции h_i(x) определяют форму и физико-механические свойства материала конструкции. (Например, функции распределения толщин и площадей сечений тела; функции, определяющие положение серединных поверхностей криволинейных стержней и оболочек).

Кроме функций состояния в оптимальном проектировании фигурируют функциональные характеристики — функционалы, зависящие от u, h и q. Причем в оптимальном проектировании рассматриваются функционалы двух типов:

• Интегральные (вида )

• Локальные (вида )

Интегрально представляются такие характеристики конструкции, как вес, энергия упругих деформаций (податливость), частоты собственных колебаний, критическая нагрузка, под действием которой конструкция теряет устойчивость. Локальными характеристиками являются величина максимального прогиба, интенсивность напряжений.

Кроме того, требования, предъявляемые к конструкции, приводят к ограничениям, накладываемым на управляющие переменные и функции состояния, составляющим систему неравенств. В конкретных задачах в качестве неравенств могут выступать ограничения разных типов на напряжения, деформации, перемещения и т.д.

Один из рассматриваемых функционалов или их функция принимается в качестве оптимизируемого функционала. Задача оптимизации заключается в отыскании функции доставляющей экстремум функционалу. Такой функционал в каждой конкретной задаче только один. Корректная же постановка задач оптимизации с векторным критерием качества становится возможной при использовании оптимальности в смысле Парето или других понятий многокритериальной оптимизации.

Основные функционалы и критерии оптимизации

Выбор функционалов, рассматриваемых при оптимальном проектировании, является частью постановок задач оптимизации. На этот выбор влияют многие обстоятельства: основное назначение конструкции, технологические возможности ее создания, условия эксплуатации, ограничения по стоимости и т.д.

Наиболее часто используемым интегральным функционалом при проектировании технических систем является вес. Вес — одна из основных характеристик конструкции, и поэтому в большинстве работ по оптимальному проектированию этот функционал либо рассматривается в качестве оптимизируемого критерия качества, либо фигурирует среди других принимаемых ограничений. Вес конструкции характеризует количество материалов, необходимых для ее создания и, кроме того, некоторые ее эксплуатационные свойства. Вес — интегральная характеристика конструкции. Для сплошных однородных тел вес пропорционален занимаемому им объему:

Где  — удельный вес материала. В этом случае для изменения веса конструкции требуется варьирование области интегрирования .

Для тонкостенных конструкций из однородных материалов вес представляется интегралом от функции распределения толщин вида:

В случае неоднородных тел функционал веса зависит от структуры материала.

Основные прочностные и деформационные характеристики имеют локальный характер. К локальным функционалам относится такая характеристика жесткости конструкции как максимальное смещение точек упругой среды. Применительно к изгибу балок и пластин жесткость оценивается величиной максимального прогиба пластин, а задача оптимизации жесткости при варьировании переменной проектирования естественно формулируется как задача минимизации максимального прогиба. К локальным функционалам относятся и многие прочностные характеристики.

Многие такие функционалы обычно принимаются в качестве целевых функций [2]. Напомним, что целевая функция - выражение, значение которого инженер стремиться сделать максимальным или минимальным. Целевая функция, являясь критерием качества конструкции, позволяет сравнить два альтернативных решения. Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются функции стоимости, веса, прочности и т.п. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить в виде кривой на плоскости. Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений. При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами.

Характеристики

Список файлов лекций