Основы теории нечетких множеств и нечеткой логики (1013094)
Текст из файла
ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время все большее значение приобретают различные математические теории, оперирующие с неточно заданными, неопределенными, нечеткими объектами. На практике такие неопределенные объекты и понятия встречаются всюду. Многие понятия: высокий, низкий, красивый, зеленый и т.д. являются размытыми. Координаты, скорость, границы, вес, масса и многие другие физические характеристики объекта описываются нечетко, Для обращения с неточно известными величинами обычно применяют аппарат теории вероятностей, т,е. интуитивно принимается допущение, что неточность, независимо от ее природы, может быть Отождествлена со случайностью.
Впервые понятйя «случайность» й «нечеткость» былй разделейы .Ч.Заде — професс~ром йз унйверсйтета Берклй, С1.ЦА — В работах но теорйй нечетких множеств. Случайность связана е И~ЩФделенноотью„касанз1цейся прйнадлеж ности: йлй непринадлежности Объекта. к некоторому (Обычному) множеству, а понятие нечеткости Относится к к.Вксам, в котОрых ВОзможны различные Грвдацйи степени принадлежности, проме.- жуточные между полнОЙ принадлежностью и непринадлежностью Объектов к да~ному классу. Первой публикацией в построении йечеткой математйкй прйнято считать статью Л, Заде 11~, появившуюся в журнале «1П1огпзаноп апй СОП$го1» в 1965 ~оду, В атой статье Заде предложил Отказаться От основногО утверждения классической теории множеств О том, что некоторый Элемент может либо принадлежать,.
лйбо йе принадлежать множеству, й предложйл оненйвать степень принадлежности алемента мнОжестВу при помОщй специальной характеристической функции ~функции принадлежности), которая прйнймает значенйя йз интервала 10, 1~. 1 ем самым он заложйл о~~о~ы новой математической дисциплйны, в основе когорой лежит не классическая теория множеств, а иыеямя иечилкйх миО.~сесе~в. Цоня~йс нечеткого множес|'ва в смысле Заде положило нача 1о новому импульсу в области математических и прикладных исследований, в рамках которых за короткий срок были предложены нечеткие обобщения всех теоретико-множественных и формально-логических понятиЙ.
Начиная с середины 60-х годов прошлого века появилось большое число работ по теории нечетких множеств, непрерывноЙ и ~~четкой логике. На~более значимыми в атой облас~~ я~л~ю~~я работы Л.Заде, Д. Дюбуа и А. Прада — по теории нечеткой меры и меры возможности, М. Сугено — по нечеткому выводу и нечеткому интегралу, Дж. Беждека — по нечеткой кластеризации и распознаванию образов, Р. Ягера -- по и~четкой логике. Б.
носко была исследована взаимосвязь нечеткой логики и теории нейронных сетей, разр~ботан~ н~~е~кие когнитивные ~од~~~, на ~о~~рых базируется большинство соврем~нных систем динамического М~делирования В Финансах, политике и бизнесе, 8 работах М. Земанковой и других ученых были зало®ены Основы теори~ нечетких СУБД.
Практическое применение нечеткйх моделей В Щюмьпцленнос" ти принято Относить к середине 7О-х годов прошлого Века. 3. Мамдани (Великобритания) использовал нечеткую логику для управления парогенератОроч, Появление мйкропроцессОров и мйкрокОН- троллеров инициировало резко~ увеличение количества бьгговых приборов и промышленных установок с алгоритмами управления на основе нечеткой логики. Сегодня Япония вышла на первое место в мире по разработке и практическому применению нечетких технологий в самых различных технических устройствах, В данном пособии рассматриваются основные понятия теории нечетких множеств, нечетких отношений и нечеткой логики, Пособие создано на основе читаемых автором лекций для студентов специальности «Прикладная математика» по курсу «Дискретная математика».
Этот курс базируется на учебном пособии ~14~, а настоящее пособие является его расширением. Рассматриваемые понятия используются также в различных специальных учебных курсах, в которых изучаются методы интеллектуальных прикладных систем для технических и экономических областей применения. Некоторые работы, содержащие базовые знания о нечетких системах, приведены в библиографическом списке. 1.1. Определение нечеткого множества Интуитивно нечеткое миожвство представляет собой совокуп- НОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОИЗВОЛЬНОИ ПРИРОДЫ„ОТНОСИТЕЛЬНО КОТОРЫХ нельзя с полной определенностью утверждать — принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет.
Однако все рассматриваемые элементы должны принадлежать универсальному 1базовому) множеству Г Дадим математическое определение авчвткого миожества. Определение. Нечеткое множество А = ~< х,рА 1х) >» — это множество пар вида <х,р„(х) >, Где хек, а ц,1х) — функция при- нздлежности, которая стзВит В сОотВетстВие каждому из элементов хе ~У ~~которое действительное ~исло из Отрезка 10,1). Из этого Определения видно, что универсальное множество 11 нечеткого мно®ествз А оф~едевеио кзк ~йЬйгст~ оф~вдввей~я фу~~еЯии ифйиФдЯвм7й1ийи р.,~ . При э'тОм, если р,~(х) = 1 ддй некОторОГО хе 17, то Элемент х Определенно принадлежит нечеткому множеству А, 3 если 1хА(х) =О, то это означает, что элемент х определеи- НО не принздлешгг нечеткому множеству А.
Если для всякого хе У ц„1х) =1, то А считают совпядйюп1им с Г а если для Всякого хе 6' ц,,1х) =О, то А считают совпздзю$цим с Я . Г1оэтому нечеткОе пустО6 и нечеткое универсальное множестВЗ можно считать фОрмзльно Определенными и совпздзюйхими с их четкими классическими знзлОГами, 11сче1 кое множесз ВО А называется ЙВЙеййым, если ело носи~ель ЯА) -- конечное множество, В прОтивном случае не(Откос множество А бесйоиейаа, ХХосилелем не ~еткого множесз Ва А н; зы- Ваегся чегкое множество Л(А) = ° хе 1У~Д (х) > 11~. Выедай нечетко- .1 'Г го мно;кества А Обозначается Ь(А) и ОГ11зеделяе гся Ь(А) -= так ьА(х), жУ Иечеткое множество называется ЙюрмФМьиьФм тОГда и тОлькО тОГда, кОГда Й(А)--1.
Если нечеткое множество не Являе'гся но13- мальным, то его мо~но нормализовать при помощи преобразова- 1г ~(х) является уиимодальнОЙ (стрОГО унимодальной). Функция принадлежности Д~(х) называется уйймодйАВЙОЙ ЙЙ ОЙ~ризйи 1а„Ц = Я, если она непрерьгвна на 1а,Ц, а также существует некоторый непустой 1с,~1) с:.
~Й,Ц, такой, что а < с < И <1) и выполняются следующие условия: 1) функция 1х„(х) строго монотонно возрастает на 1а,с~; 2) функция ц~(х) строго монотонно убывает на ~АЙ; 3) любая гочка огрезка 1с,~1~:~а,й являегся точкои максимума функции р. (х). Если интервал 1с,1~ содержит одну точку, т.е. с= д„го функция принадлежности р,,(х) называется сицюго уйймода4ьйой на интервале 1и,Ь1. Функция принадлежности Р4(х) называется УЙЙмодйлВЙОЙ (сй~фоВО УЙЙмодй~ВЙой), если она УЙЙмо" графическая форма которого показана на рис. 1.1,а„или нечетким множеством А, которое определяется функцией принадлежности вида О В противном случае, Возможны и другие варианты.
Пример 1.2. Надо формализовать нечеткое определение «подходящая температура для купания в морг>. Решение задачи. Зададим область рассуждений 1базовое множество) в виде множества Ц =110',...,ЗО" ~. Первый отдыхающий, для которого комфортной является температура 21*, может определить для себя не~~ткое множество (~температура ок~л~ 21" комфортна для купания е морге) НО бЫЛО 6Ы ПРСДСТВВИТЬ В ВИДС МВТРИЦЫ 'г) — ' ~1И .~~ „В КОТОРОЙ ЗЛС- НВДЛСЛ~НОСТИ НСОб~ОДИМО: В) НййТИ Ь~ВИСИМВЛЬНОС СОбСТВСННОВ ЗНВЧСНИС ),„,„МВТРИЦЬ~ .4,; б) НВЙТИ СОбСТВСННЫЙ ВС~ТОР В~т СООТВСТСТВУИИЦИЙ СОбСТВСННОМУ ЗНВ~СНИ~О Х . т Т.С. РС~~ИТЬ УРВВНВНИС: А, В = Х~,„И . ТОГДа Р„(Х,.) =Юр ~ -— 1,2т...,Л, .ЦРММВР 1.5. ПУСТЬ ЗВДВН НОСИТСЛЬ Х = (1,2,...тл) УНИВСРСЗЛЬ- ного (базового) множества и чатрица „4„=~~а, .~ пооарных сравне- фУНИЦИй~ ИРИНВДЛСЛ:НОСТИ НО УСТОД~' ИВРНЫ~ СРВВНСНИЙ.
РСИ~ВНИС ВВДВИИ ВЫПОЛНИТЬ В (:КМ МВФСВ(3. Р~~ВЙ~С Вйдй Ш. 'гг Составляем программы вычисления матрииы ~, =~(а,,~~. ОснОюньи шияы функцйи щи~июдмиж7юсжм. Формальное Определение нечеткого множества не накладывает никаких Ограничений на выбор конкретной функции принадлежности. Однако в практике нечеткого моделирования часто используются типовые функции принадлежности, которые приведены в приложении 1. Пример 1.6. Надо формализовать нечеткое определение «скоростной автомобиль» на базовом множестве 0=10, х „.1, где х„„=100 км~час.
Для решения задачи использовать: а) кусочно-линейные функции принадлежности 1П1.5); б) формулировки, определяющие скорость автомобиля в разгОворной речи: «мйяяя скО~~Ося~ь йя~яомобяяя», «сРсдяяя с~о~~ося~ь йеиОмобияя», «60яьийя скОРОсиь пвждмОЙия». Функции принадлежнОсти нечетких мнОжестВ реализОВать в СКМ Ма1псад и построить их графики. Ре~йеийе зйдйчй, 1) Пусть формулировки, определяю~цие скорость автомобиля В разговОрной речи'.
елйлйЯ скйрйсиь йВшймйбилЯ», «сжднЯЯ скйрйсФь йвщймобилЯ», «большйЯ скорость йвтомобилЯ», порождают соответственно нечеткие множества М, С и В на базовом множестве ~О„х 2) Составляем программы вычисления функций принадлежности нечетких множеств М, Си 8. х = 0,3..100 3 В ф 1 1~~О:,30,50) РВ(ж„50,70) 0.4 ~ьГ(ж,50 „50 „50) ~щ 23 40 00 80 100 Е(А=В)=1 — гпах~р (х) — р. (х)~, где Т=(х~6'; р„(х) ~р8(х)). В Обхе г шсм случае, если некотОрзя задача требует Определения <'Олизос- ти» нечеткого множества к множестВу, исполня1ощему Роль атзло- нз., п15И Решении таких задач„кзк праВилО, используется пОнятие метрического пространства.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
